第七章第五节.docx
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第七章第五节
第五节 探究弹性势能的表达式
1．理解弹性势能的概念。
2．进一步了解功和能的关系，掌握弹力做功与弹性势能变化的关系。
3．知道弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关。
4．领悟通过细分过程化变力为恒力计算变力做功的思想方法。
1.弹性势能的认识
（1）弹性势能的概念
发生
弹性形变的物体的各部分之间，由于有
弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。
（2）弹簧的弹性势能
当弹簧的长度为
原长时，它的弹性势能为0，弹簧被
拉长或被
压缩后，就具有了弹性势能。
2．探究弹性势能的表达式
（1）决定弹性势能大小相关因素的猜想
①猜想依据：
弹性势能和重力势能同属
势能，重力势能大小与物体的
质量和
高度有关，弹簧弹力与其
形变量和
劲度系数有关。
②猜想结论：
弹性势能与弹簧的
形变量l和
劲度系数k有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能
越大；在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量l越大，弹簧弹性势能
越大。
（2）探究思想
①弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能变化的关系
相似。
②用拉力缓慢拉动弹簧，拉力做的功
等于克服弹力做的功。
（3）数据处理
拉力随形变量的增大而
增大，故拉力为变力。
计算拉力做功可以用以下两种方法：
①微元法（“化变为恒”法）：
把整个过程划分为很多小段，各个小段上的拉力可以近似认为不变，整个过程拉力做的总功等于各段拉力做功的代数和：
W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…。
②图象法：
作出Fl图象，则弹力做功等于图象与l轴
围成的面积。
（4）结论
Fl图象如图所示，拉力F等于弹力kl，故当弹簧形变量为l0时，F0＝
kl0（k为弹簧的劲度系数），图中图线与l轴围成的面积表示拉力做功，W0＝
kl
。
由此可得出，弹性势能的表达式为Ep＝
kl2。
判一判
（1）不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。
（ ）
（2）同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同。
（ ）
（3）弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加。
（ ）
提示：
（1）×
（2）√ 弹力做功多少除与它的形变量有关外，还与它的劲度系数有关。
（3）× 弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加。
想一想
1.压缩的弹簧可以把小球弹出很远、拉开的弓可以把箭射出、撑杆跳高运动员可以借助手中的弯曲的杆跳得很高……，这些现象说明什么？
提示：
说明发生弹性形变的物体具有能量，这种形式的能量是由物体的形变而引起的。
2．如图所示，用一弹簧制作一弹射装置。
要想把小球弹的越远，弹簧的形变量必须怎样？
由此设想，对同一条弹簧而言，弹性势能与什么因素有关，弹簧把小球弹出过程能量是如何转化的？
提示：
弹簧形变量越大，小球弹的越远，弹性势能与弹簧形变量有关，小球弹出过程中弹簧弹性势能转化为小球动能。
课堂任务
弹性势能的产生及相关物理量
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：
甲、乙图中射箭和弹弓有什么共同点？
提示：
都是依靠物体产生弹性形变而具有弹性势能进行工作的。
都是形变的物体恢复原状的过程中对另一个物体有作用力，从而使“箭”或“弹”射出。
活动2：
甲、乙图中的装备不变怎么能使“箭”或“弹”射得更远？
与弓的质量有关吗？
提示：
只有加大力度让弹性形变的物体形变量更大才行。
增加或减小弓的质量不起作用，与弓的质量无关。
活动3：
乙图中小男孩如何实现拉开橡皮条较小距离就可以使同样的石头射得更远？
提示：
多用几条橡皮条，或者换用要较大力才能拉开同样距离的橡皮条，类似于增大弹簧的劲度系数。
活动4：
如丙图所示，将同一弹簧压缩到不同的程度，让其推动木块，哪种推得更远？
提示：
压缩量大的弹簧把木块推得更远。
活动5：
如丙图所示，取一个硬弹簧，一个软弹簧，分别把它们压缩相同程度，让其推动木块，哪种推得更远？
提示：
硬弹簧把木块推得更远。
活动6：
讨论、交流、展示，得出结论。
（1）弹性势能的产生原因
①物体发生了弹性形变。
②各部分间的弹力作用。
（2）影响弹簧的弹性势能的因素
弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性势能的因素猜想如下：
例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时不会有弹性势能
B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能
C．在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大
D．火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小
（1）什么物体具有弹性势能？
提示：
只要有弹性形变的物体都具有弹性势能。
（2）弹簧弹性势能与哪些因素有关？
提示：
与弹簧的形变量和劲度系数有关。
形变量越大，劲度系数越大，弹性势能越大。
[规范解答] 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A错误；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B错误；弹性势能大小与弹簧形变量大小有关，形变量越大，弹性势能越大，C正确；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D错误。
[完美答案] C
所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，弹性形变越大，劲度系数越大，弹性势能越大。
关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是（ ）
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，劲度系数k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
答案 C
解析 弹簧弹性势能的大小，跟劲度系数和形变量（拉伸或压缩的长度）有关，劲度系数越大，形变量越大，弹性势能越大，C正确，D错误。
如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应先减小后增大，在原长处最小，A错误，同理，B错误。
课堂任务
弹性势能与弹力做功的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：
小孩拉弹簧时小孩对弹簧做什么功？
弹簧的弹力做什么功？
弹簧的弹性势能怎么变化？
提示：
小孩拉弹簧时，拉力和位移方向一致，小孩对弹簧做正功。
而弹力与位移方向相反，弹力做负功。
弹簧的形变量增大，弹性势能增加。
活动2：
弹簧伸长后（处于拉伸状态）小孩松手弹簧恢复原长的过程中弹簧的弹力做什么功？
弹簧的弹性势能怎么变化？
要是小孩在弹簧恢复原长的过程中还拉着弹簧，弹性势能还减小吗？
提示：
小孩松手后，弹簧恢复原长的过程中，弹力与位移方向一致，弹力做正功。
弹簧形变量减小，弹性势能减小。
小孩在弹簧恢复原长的过程中拉不拉着弹簧结论都是一样的。
活动3：
小孩压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力做什么功？
做的功越多弹性势能越大吗？
提示：
小孩压缩弹簧的过程中，弹力与位移方向相反，弹力做负功。
形变量增大，弹性势能增加；而且，做的负功越多，压缩量越大，弹性势能越大。
活动4：
讨论、交流、展示，得出结论。
（1）弹性势能与弹力做功的定性关系
①弹力做负功时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
②弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
（2）弹性势能与弹力做功的定量关系：
弹力做功与弹性势能的关系式为W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
（3）弹性势能与弹力做功的关系图
弹性势能只与弹力做功有关，跟其他任何力是否做功、做多少功没有关系。
例2 如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是（ ）
A．重力做功－mgh，重力势能减少mgh
B．弹力做功－WF，弹性势能增加WF
C．重力势能增加mgh，弹性势能增加FH
D．重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh
（1）重力势能的改变只与________有关，与有无其他力做功、做多少功________。
提示：
重力做功 无关
（2）弹性势能的改变只与________有关，与有无其他力做功，做多少功________，但由于弹力是________力，所以往往间接求弹力做功。
提示：
弹力做功 无关 变
[规范解答] 可将整个过程分为两个阶段：
一是弹簧伸长到物体刚要离开地面，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增量；
二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增量，又由WF＝WF1＋WF2可知A、B、C错误，D正确。
[完美答案] D
弹性势能的变化与弹力做功的关系
（1）弹力做功和重力做功一样也与路径无关，只与初、末位置有关。
（2）弹性势能的变化只与弹力做功有关，与其他任何力做不做功都没关系。
弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少，克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少，弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值，即W弹＝－ΔEp。
（3）弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，故在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能位置。
弹簧原长处弹性势能最小，往往认为是零。
如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功
B．重力做正功，弹簧弹力做正功
C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
答案 D
解析 在重物由A点摆向最低点B的过程中，重力做正功，弹簧伸长，弹力做负功，弹性势能增加，故D正确，A、B、C错误。
课堂任务
弹性势能的表达式
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：
甲图是什么意思？
提示：
是指匀变速直线运动可以采用微元法来求位移，当无限细分时，匀变速直线运动的位移可以看成无数个匀速直线运动的总位移，这样就可以像匀速直线运动一样，用速度与时间轴所围成的面积表示位移。
活动2：
乙图是什么意思？
提示：
和甲图的思维类似，“化变为恒”求拉力做的功：
W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…。
最终Fl图象与l轴围成的面积就表示拉力克服弹力所做的功。
活动3：
当把弹簧拉伸l1时，克服弹力所做的功是多少？
弹性势能是多少？
提示：
Fl图线下方三角形的“面积”值就是克服弹力所做的功，克服弹力做的功为
kl
，即弹簧弹力做功W＝－
kl
，根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系知道弹性势能Ep＝－W＝
kl
。
活动4：
讨论、交流、展示，得出结论。
（1）弹性势能的表达式为：
Ep＝
kl2
①弹簧处于原长时没有形变，弹性势能最小，通常认为为零。
②对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的。
对于某一弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两个不同的状态。
（2）变力做功的计算方法：
①微元法；②图象“面积”法。
（3）重力势能和弹性势能的对比
例3 弹簧原长l0＝15cm，受拉力作用后弹簧逐渐拉长，当弹簧伸长到l1＝20cm时，作用在弹簧上的力为400N，问：
（1）弹簧的劲度系数k为多少？
（2）在该过程中弹力做了多少功？
（3）弹簧的弹性势能变化了多少？
（1）用什么规律找到弹簧形变与力的关系？
提示：
胡克定律F＝kl。
（2）能用W＝Flcosα来计算弹力所做的功吗？
提示：
公式W＝Flcosα只适用于恒力做功，弹簧弹力是变力，拉伸弹簧时弹力做的功不能用恒力做功的公式计算；由弹力做功与弹性势能变化的关系或图象“面积”法可以得出弹力所做的功。
[规范解答]
（1）根据胡克定律F＝kl得：
k＝
＝
＝
N/m＝8000N/m。
（2）根据F＝kl作出Fl图象如图所示，求出图中阴影部分的面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F的方向与位移l的方向相反，故弹力F在此过程中做负功，W＝－
×0.05×400J＝－10J。
（3）弹力F做负功，则弹簧弹性势能增加，且做负功的多少等于弹性势能的变化量，ΔEp＝10J。
[完美答案]
（1）8000N/m
（2）－10J （3）10J
在一次演示实验中，一个压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一个小球，测得弹簧压缩的长度d和小球在粗糙水平面滚动的距离x如下表所示。
由此表可以归纳出小球滚动的距离x跟弹簧压缩的长度d之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能Ep跟弹簧压缩的长度d之间的关系分别是（选项中k1、k2是常量）（ ）
实验次数
1
2
3
4
d/cm
0.50
1.00
2.00
4.00
x/cm
4.98
20.02
80.10
319.5
A．x＝k1d，Ep＝k2dB．x＝k1d，Ep＝k2d2
C．x＝k1d2，Ep＝k2dD．x＝k1d2，Ep＝k2d2
答案 D
解析 弹簧压缩量d1∶d2∶d3∶d4＝1∶2∶4∶8，对于小球滑行距离在误差范围内有x1∶x2∶x3∶x4＝1∶4∶16∶64，则可归纳出x＝k1d2。
弹簧释放后，小球在弹簧的弹力作用下加速，在粗糙水平面滚动距离x，从能量转化的角度得弹性势能转化为克服摩擦力做功的能量，列出等式Ep＝fx，f为摩擦力，恒量，所以Ep正比于d2，即Ep＝k2d2，D正确。
A组：
合格性水平训练
1．（弹性势能的认识）（多选）下列物体中，具有弹性势能的是（ ）
A．被拉长的橡皮筋B．在空中自由下落的球
C．被拉细的铜丝D．被弯曲的钢片
答案 AD
解析 拉伸的橡皮筋、弯曲的钢片具有弹性势能，自由下落的小球、被拉细的铜丝无弹性势能，A、D正确，B、C错误。
2.（弹性势能与形变）如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是（ ）
A．弹力变大，弹性势能变小
B．弹力变小，弹性势能变大
C．弹力和弹性势能都变小
D．弹力和弹性势能都变大
答案 D
解析 将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大，故A、B、C错误，D正确。
3．（弹力做功与弹性势能的变化）（多选）某同学利用橡皮条将模型飞机弹出，在弹出过程中，下列说法正确的是（ ）
A．橡皮条收缩，弹力对飞机做功
B．飞机的动能增加
C．橡皮条的弹性势能减少
D．飞机的重力势能减小，转化为飞机的动能
答案 ABC
解析 橡皮条收缩产生弹力将飞机推出，弹力对飞机做正功，飞机动能增加，橡皮条弹性势能减少，飞机上升，重力势能增加，A、B、C正确，D错误。
4．（弹力做功与弹性势能的变化）（多选）关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是（ ）
A．弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
B．克服弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能
C．弹力所做的功等于弹簧弹性势能的减少
D．克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加
答案 CD
解析 弹力做功的过程是弹簧弹性势能变化的过程，克服弹力做多少功，表明弹性势能变化了多少，与物体具有多少弹性势能无关，A、B错误；弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，做负功则弹簧的弹性势能增加，C、D正确。
5．（弹性势能的变化）（多选）图甲是玩蹦极游戏的示意图，将弹性绳子的一端系在人身上，另一端固定在高处，然后人从高处跳下。
图乙是人到达最低点时的情况，其中AB为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是人所到达的最低点，对于人离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力对人一直做正功
B．人的重力势能一直减小
C．人通过B点之后，弹性绳子具有弹性势能
D．从A点到D点，弹性绳子的弹性势能一直增加
答案 ABC
解析 整个过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小；人从高空落下到弹性绳子达到原长的过程中，弹性绳子不做功，此后弹性绳子一直做负功，弹性势能一直增加，A、B、C正确，D错误。
6．（弹力做功和弹性势能的变化）一根弹簧的弹力—位移图象如图所示，那么弹簧由伸长8cm到伸长4cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为（ ）
A．3.6J，－3.6JB．－3.6J,3.6J
C．1.8J，－1.8JD．－1.8J,1.8J
答案 C
解析 弹簧由伸长8cm到伸长4cm的过程中，弹力做正功，且做的功等于Fx图象与x坐标轴围成的面积，故W＝
×（30＋60）×0.04J＝1.8J，据W＝－ΔEp知，弹簧弹性势能的变化量ΔEp＝－1.8J，C项正确。
7．（弹性势能与形变）（多选）如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x，关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图象正确的是（ ）
答案 AD
解析 因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律F＝kx可知，Fx图象为过原点的倾斜直线，A正确、B错误；因为Ep＝
kx2，所以D正确、C错误。
8．（弹性势能的决定因素）如图所示，在光滑水平面上有A、B两物体，中间连一弹簧，已知mA＝2mB，今用水平恒力F向右拉B，当A、B一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep1，如果用水平恒力F向左拉A，当A、B一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep2，比较Ep1与Ep2的大小。
答案 Ep1>Ep2
解析 设mB＝m，则mA＝2m，
向右拉B时加速度a1＝
。
对A物体有kx1＝2ma1，得x1＝
＝
。
当向左拉A时，加速度a2＝
，
对B物体有kx2＝ma2，得x2＝
＝
，
可见x1>x2，从而Ep1>Ep2。
9.（弹力做功和弹性势能的变化）如图所示，水平弹簧劲度系数k＝500N/m。
用一外力F（F未画出）推物块，使弹簧压缩10cm而静止。
突然撤去外力F，物块被弹开，那么弹簧对物块做多少功？
弹性势能的变化量是多少？
（弹簧与物块没连接，水平面光滑）
答案 2.5J 减少2.5J
解析 解法一：
弹簧被压缩，具有弹性势能，其大小Ep＝
kx2＝
×500×0.12J＝2.5J，撤去外力F弹簧具有的弹性势能通过做功转化为别的能，当恢复原长时弹力为零不再做功，故弹力对物体做了2.5J的功，弹性势能减少了2.5J。
解法二：
由于有时不要求记忆弹性势能公式，故可以通过变力做功方式进行计算。
弹簧的弹力是变力，不能直接用W＝Flcosα进行计算。
但由于弹簧的弹力遵循胡克定律，可以作出胡克定律的图象表示功。
弹开过程弹力逐渐减小，当恢复原长时弹力为零，根据胡克定律，弹簧被压缩10cm时，F＝k·Δl＝50N，可作物块的受力与位移的关系如图，根据力—位移图象所围面积表示在这一过程中的功，有W＝
×50×0.1J＝2.5J。
由弹力做功与弹性势能变化的关系可知，弹性势能的变化量ΔEp＝－W＝－2.5J。
B组：
等级性水平训练
10．（弹力做功特点）如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹簧弹力大小相等的位置），今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功W2，则这两次弹力做功的关系为（ ）
A．W1C．W2＝2W1D．W1＝W2
答案 D
解析 弹力做功的特点与重力做功一样，不用考虑路径，只看起始与终止位置，故D项正确。
11．（弹力做功和弹性势能的变化）如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
答案 D
解析 撤去F后物体向右运动的过程中，弹簧的弹力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大，D正确。
12．（弹性势能的决定因素）一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度v随时间t变化的图象如图所示，图中只有Oa段和cd段为直线。
则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为（ ）
A．仅在t1到t2的时间内B．仅在t2到t3的时间内
C．在t1到t3的时间内D．在t1到t5的时间内
答案 C
解析 小孩从高处落下，在0～t1时间内小孩只受重力作用；在t1～t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力；t3时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小。
故C正确。
13．（综合提升）如图所示，一劲度系数k＝800N/m的轻质弹簧两端分别焊接着A、B两物体，mA＝16kg，mB＝8kg，直立于水平地面而静止，现给物体A加一个竖直向上的力F，使A由静止开始向上做匀加速运动，经0.2s，B刚要离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s2）。
（1）求B刚要离开地面时，A物体上升的高度；
（2）求在此过程中所加外力F的最大值和最小值；
（3）求在此过程中弹性势能的变化量；
（4）在此过程中弹簧对A做了正功还是负功，做了多少功？
答案
（1）0.3m
（2）480N 240N （3）－12J
（4）正功 12J
解析
（1）A静止时设弹簧压缩了x1，
则有kx1＝mAg，所以x1＝
＝0.2m，
设B刚要离开地面时弹簧伸长了x2，
则kx2＝mBg，所以x2＝
＝0.1m，
所以在此过程中A上升的高度
h＝x1＋x2＝（0.2＋0.1）m＝0.3m。
（2）由位移公式h＝
at2，得a＝
＝15m/s2。
当弹簧处于压缩状态时，A受弹力向上，故有F＋kx－mAg＝mAa，
当压缩量x最大时，F最小，此时x＝x1，
所以Fmin＝mAg＋mAa－kx1，代入数据，
得Fmin＝240N。
当弹簧处于伸长状态时，A受弹力向下，故有F－kx－mAg＝mAa，
当伸长量x最大时，F最大，此时x＝x2，
所以Fmax＝mAg＋mAa＋kx2，代入数据，
得Fmax＝480N。
（3）弹性势能改变量
ΔEp＝Ep2－Ep1＝
kx
－
kx
＝－12J。
（4）由ΔEp＝－12J知弹性势能减少了12J，则弹簧对A物体做了正功，为12J。
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