最新北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系32用关系式表示的变量间关系 备课素材.docx
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素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 活动内容：
随着手机的普及，现代人们的通信越来越便捷．
图3－2－1
而打电话就要交话费，下表是某同学家长调取的几次通话时间和对应的通话费用：
通话时间（分）
1
2
3
4
5
6
通话费用（元）
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
（1）你能说出表格中的两个变量中哪一个是自变量，哪一个是因变量吗？
（2）随着通话时间的增加，通话费用是如何变化的？
（3）如果用字母x表示通话时间，用字母y表示通话费用，你能用字母表示它们之间的关系吗？
说明：
手机是现代生活中最常见的通信工具，通过这个情境更能够激发学生的学习兴趣．比引入既复习了上节课用表格表示变量间的关系，又引出了关系式的概念并进行了简单的应用，让学生初步经历了用关系式表示变量间关系，培养学生学习数学、应用数学的意识．建议：
通过熟悉的事物让学生回顾上节所学，理解变量、自变量、因变量、常量等概念；看懂表格，准确得出信息，独立完成解答．
置疑导入 同学们，你知道你穿的鞋的长是多少厘米以及它是多少码的吗？
请量一量．用表格表示变量间的关系：
鞋的长度（cm）
23
24
25
26
…
鞋的码数
36
38
40
42
…
（1）表格反映的是哪两个变量之间的关系？
谁是自变量？
谁是因变量？
（2）根据表格中的数据，说一说码数是怎样随长度的变化而变化的．
如果长度为x，码数为y，我们能否将y用含x的代数式表示出来？
今天，我们就来学习用关系式表示的变量间关系．
说明：
让学生经历动手实践，将实际问题抽象为数学问题的过程，感受数学知识与生活的联系，激发学生的学习兴趣，也为新课的学习做好铺垫．建议：
先让学生自己量一量，然后用表格表示变量间的关系，结合表格复习回顾上节课的内容．
复习导入 在“小车下滑的时间”中：
支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是__变量__．其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化，支撑物
的高度h是________，小车下滑的时间t是________．
说明：
通过复习回顾变量、因变量、自变量的概念，加深理解变量有关的概念．建议：
引导学生回顾上节课“小车下滑的时间”的问题情境，回答哪些是变量？
哪些是自变量？
哪些是因变量？
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第66页做一做
图3－2－2
如图3－2－2，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r的关系式为________．
（3）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由________cm3变化到________cm3.
【模型建立】
用关系式表示变量之间的关系，其基础是列代数式，用一个含有自变量的代数式表示因变量，而当给出自变量的值时，利用求代数式的值的方法代入计算即可．
【变式变形】
1．一根蜡烛长20cm，每小时燃烧5cm，点燃后剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）之间的关系式为________．
2．如图3－2－3所示，长方形的长为12，宽为x，若设长方形的面积为S，则面积S与宽x之间有什么关系．
图3－2－3
（1）若用C表示长方形的周长，则周长C与宽x之间的关系是________；
（2）当x增加一倍时，长方形的面积S是________，周长C是________；
（3）当x＝________时，长方形会变成一条线段．
3．烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧水时每分钟可使水温提高8℃，烧了x分钟后水壶的水温为y℃，当水开时就不再烧了．
（1）y与x的关系式为________，其中自变量是________，它应在0～10范围内变化．
（2）当x＝1时，y＝________；当x＝5时，y＝________．
（3）当x＝3.5时，y＝________；当x＝7.5时，y＝________．
素材三 考情考向分析
根据关系式进行计算
在已知关系式的前提下，任意给出自变量或因变量的值都能用代入计算的方法求解另一个变量的值．如课本第67页随堂练习第1题．
例 声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温x℃之间有如下关系：
y＝x＋331.
（1）在这一变化过程中，自变量是________，因变量是________；
（2）当气温x＝15℃时，声音速度y＝________米/秒；
（3）当气温x＝22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距________米．
动点问题中的关系式
动点问题往往伴随着几何图形的面积的计算，根据动点和顶点构造的特殊几何图形，通过对其面积的表示得到相应的关系式，进而发现其变化的规律．如课本第68页习题3.2第3题．
例 如图3－2－4，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝4cm，BC＝5cm，点P为CB边上一动点，当点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．
图3－2－4
（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；
（2）如果设CP的长为xcm，△APC的面积为ycm2，则y与x的关系可表示为________；
（3）当点P从点D（点D为BC的中点）运动到点B时，则△APC的面积从________cm2变到________cm2.
素材四 教材习题答案
P67 随堂练习
1．在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T＝10－来表示.根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果．
解：
见下表．
d/m
0
200
400
600
800
1000
T/℃
10
8.67
7.33
6
4.67
3.33
2.仿照“议一议”中的
（2），你能说一说家用自来水二氧化碳排放量随自来水使用吨数的变化而变化的情况吗？
解：
二氧化碳排放量随自来水用量的增加而增加．
P68 习题3.2
1．地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y＝35x＋20来表示.当x的值分别是2，3，5，7，10，13时，计算相应的y值．
解：
见下表．
x/km
2
3
5
7
10
13
y/℃
90
125
195
265
370
475
2.如图，圆锥的底面半径是2cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥的高为h（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与h的关系式为____________．
（3）当高由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由____________cm3变化到____________cm3.
解：
（1）高是自变量，体积是因变量．
（2）V＝h （3）π π
3．如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8.
（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从4变到14时（每次增加1），y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？
说说你的理由．
（4）当x＝0时，y等于什么？
此时它表示的是什么？
解：
（1）y＝4x＋60.
（2）填表略．
（3）x每增加1时，y增加4.理由略．
（4）当x＝0时，y＝60.此时它表示的是三角形的面积．理由略．
4．具体计算一下你家本月的二氧化碳排放量，并与小明家相应的项目进行比较，谁家的生活更“低碳”些？
解：
略．
素材五 图书增值练习
专题一用关系式表示两个变量之间的关系
1．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
x（千克）
x≤20
20 x>40
每千克价格
8元
7元
6元
若小强购买香蕉x千克（x大于40千克）付了y元，则y关于x的关系式为.
2.
（1）某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排
的座位数m与这排的排数n的关系式，并写出自变量n的取值范围．
（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式是m=2n+18
（1≤n≤25，且n是正整数）；
②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是m=3n+17
，m=4n+16
（1≤n≤25，且n是正整数）；
③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式．
专题二用关系式求值
栽种以后的年数n/年
高度h/厘米
1
105
2
130
3
155
4
180
…
…
3．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：
2.
3.
（1）此变化过程中栽种以后的年数
是自变量，树苗的高度
是因变量；
（2）树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为；
（3）栽种后8年
后，树苗能长到280厘米．h=80+25n
4．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：
每月每户用水量
每吨价（元）
不超过10吨部分
0.50
超过10吨而不超过20吨部分
0.75
超过20吨部分
1.50
（1）现已知小伟家四月份用水18吨，则应缴纳水费多少元？
（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式．
（3）若已知小伟家五月份的水费为17元，则他家五月份用水多少吨？
【知识要点】
1．用关系式表示两个变量间的关系
两个变量间的关系有时可用一个含有两个变量的数学式子表示出来，这种表示变量间关系的方法叫关系式法.
2．根据关系式求值
利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可根据因变量的值求出相应自变量的值.
【温馨提示】
1．写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.
2．自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.
3．实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.
【方法技巧】
列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.
答案：
1．y=20×8+20×7+6（x-40）
2．解：
（1）找出座位数m与排数n之间的关系：
第一排：
20+0；第二排：
20+1；第三排：
20+2；…第n排：
20+（n-1）.∴可得规律m=n+19，1≤n≤25．
∴每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式为m=n+19，自变量n的取值范围为1≤n≤25．
（2）①根据题意：
第一排有20个座位，当后面每一排都比前一排多2个座位，则可以得出：
每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是m=20+2（n-1），故答案为m=2n+18；
②同理，当后面每一排都比前一排多3个座位时，m=20+3（n-1），故m=3n+1
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