实验1华工电信数学实验大二下.docx
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实验1华工电信数学实验大二下
实验名称：
斐波那契数列
专业：
电子科学与技术
班级：
姓名：
序号：
36
提交日期：
2011年4月16日
一、实验目的与要求
1．认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；
2．了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；
3．掌握matlab软件中plot,polyfit等函数的基本用法；
4．提高对数据进行分析与处理的能力。
二、问题描述
1．讨论数列
的变化规律。
（1）在平面坐标系中画出数列变化的折线图；
（2）观察图形，你认为数列的极限是什么；
（3）观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；
2．讨论调和级数的变化规律。
（1）画出部分和数列变化的折线图，观察变化规律；
（2）引入数列：
，作图观察其变化，猜测是否有极限；
（3）引入数列：
，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；
（4）调和级数的部分和数列的变化规律是什么？
三、问题解决
第一题：
讨论数列
的变化规律。
（1）在平面坐标系中画出数列变化的折线图；
（2）观察图形，你认为数列的极限是什么；
（3）观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；
解:
（1）为了研究题设数列的变化规律，我们分别取此数列的前50项、前100项、前200项和前500项来观察。
利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。
具体的实现流程为：
（1）定义数组fn；
（2）显示数组fn。
具体的代码如下：
fn=[1,2];%将数列的第一项第二项放到数组fn上
fori=3:
n%fn的第三项到第n项
fn=[fn,fn（i-1）+1/fn（i-1）];%将第i项添加到数组fn中
end%循环结束
plot（fn）%将装有数列前n项的数组显示出来
n=50
n=100
n=200
n=500
综上：
从图像看来，该数列是递增数列。
（2）从图像看来，随着n的增大，数列趋向于无穷大。
即极限为无穷大。
（3）经过上一步的观察，觉得这些数据应该是幂函数的形式。
为了进一步验证这个结论是否正确，可以利用幂函数取对数后，将lnx作为x轴，如果这些数据确实是幂函数的形式，则经过变化后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。
因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。
具体的实现流程为：
（1）定义数组fn；
（2）数组fn取对数；（3）显示数组fn。
具体的代码如下：
fn=[1];%将数列的第一项放到数组fn上
fori=2:
n%fn的第2项到第n项
fn=[fn,fn（i-1）+1/fn（i-1）];%将第i项添加到数组fn中
end%循环结束
fn=log（fn）;%将原来的数据取对数
x=1:
n;
x=log（x）;plot（x,fn）%将装有数列前n项的数组显示出来
经观察，觉得它确实象一条直线。
可以改变参数n的值，反复观察。
n=50
n=100
n=200
n=500
经过以上第一步的观察，确定数列的数据是幂函数的关系，第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为数列的数据关系就是幂函数，乘方后就是线性函数，即一阶多项式。
利用Matlab软件的数据拟合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到数列通项公式的一个近似表达式。
具体的实现流程为：
（1）定义数组fn；
（2）数组fn取对数；（3）用一阶多项式拟合数组fn。
具体的代码如下：
fn=[1];%将数列的第一项放到数组fn上
fori=2:
n%fn的第2项到第n项
fn=[fn,fn（i-1）+1/fn（i-1）];%将第i项添加到数组fn中
end%循环结束
fn=log（fn）;%将原来的数据取对数
xn=1:
n;
xn=log（xn）;
polyfit（xn,fn,1）%拟合装有数列前n项的数组
为了提高精度，可以加大n的值。
取n＝10000时得到结果：
0.4994,0.3518
从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：
fn≈1.422n^0.4994
经过第三步的拟合，得到了题设数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。
具体的实现流程为：
（1）定义数组fn1,fn2；
（2）显示数组fn1,fn2。
具体的代码如下：
fn1=[];%装拟合数据的数组
fori=1:
n%fn1的第1项到第n项
fn1=[fn1,1.424*i^0.4991];%将第i项添加到数组fn1中
end
fn2=[1];%将数列的第一项放到数组fn2上
fori=2:
n%fn2的第2项到第n项
fn2=[fn2,fn2（i-1）+1/fn2（i-1）];%将第i项添加到数组fn2中
end%循环结束
x=1:
n;%定义横坐标
plot（x,fn1,x,fn2,'r*'）%显示,fn1:
兰线，fn2：
红星
n=50
n=100
从图上可以看出可以用函数y=1.424n^0.4991近似拟合。
第二题:
讨论调和级数的变化规律。
（1）画出部分和数列变化的折线图，观察变化规律；
（2）引入数列：
，作图观察其变化，猜测是否有极限；
（3）引入数列：
，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；
（4）调和级数的部分和数列的变化规律是什么？
解：
（1）为了研究数列的变化规律，我们取此数列的前50项、前100项、前200项和前500项来观察。
利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。
具体的代码如下：
S=[];%装拟合数据的数组
S
（1）=1;%将数列的第一项放到数组S上
forn=2:
n,%S的第二项到第n项
S=[S,S（n-1）+1/n];%将第i项添加到数组fn中
end%循环结束
x=1:
n;%x的范围
plot（x,S,x,S,'r*'）%将装有数列前n项的数组显示出来
得到图像：
n=50
n=100
n=200
n=500
观察得到部分和数列开始增长极快，随后上升趋势慢慢减缓，增长越来越慢。
依照图猜测其极限为正无穷。
（2）同上我们取此数列的前50项、前100项、前200项和前500项来观察。
利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。
具体的代码如下：
Hn=[1/2,7/12];
fori=3:
n
Hn=[Hn,Hn（i-1）+1/（2*i*（2*i-1））];
end
plot（Hn）
图形如下：
n=50
n=100
n=200
n=500
由上图猜测该数列有极限为0.7.
（3）引入，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合：
代码如下：
Gn=1.5;
forj=2:
n
Sn=1;
fori=2:
2^j
Sn=Sn+1/i;
end
Gn=[Gn,Sn];
end
plot（Gn）
图像如下：
n=10
n=20
观察发现，Gn的图像近似于一条直线，利用拟合代码如下：
Gn=1.5;
forj=2:
20
Sn=1;
fori=2:
2^j
Sn=Sn+1/i;
end
Gn=[Gn,Sn];
end
x=1:
20;
polyfit（x,Gn,1）
返回：
0.68710.6640
即：
Gn=0.6871n+0.6369
下面观察拟合数据与原始数据的吻合程度。
经过第三步的拟合，得到了gn数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将gn数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。
具体代码如下：
Gn=1.5;
forj=2:
n
Sn=1;
fori=2:
2^j
Sn=Sn+1/i;
end
Gn=[Gn,Sn];
end
fn1=[];
fori=1:
n
fn1=[fn1,0.6871*i+0.6369];
end
x=1:
n;
plot（x,fn1,x,Gn,'r*'）
得到的图像如下：
n=10
n=20
由图可知，拟合的数据与原始的数据的拟合程度比较高，近似通项公式能很好地表示Gn。
（4）调和级数的部分和数列的变化规律：
具有对数增长趋势，极限为正无穷；
增长趋势随n的增大而减缓，最后趋近与0.7
具有线性增长趋势，无极限。
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