建立用标准化变换后的指标xk*表示综合指标Fj的方程
，也可建立用原指标Xk表示综合指标Fj的方程
。
对系数aik由以下原那么决定:
（1）各个综合指标Fj彼此独立或不相关;
（2）各个综合指标Fj所反映的各个样品的总信息等于原来p个指标Xk*所反映的各个样品的总信息,即p个Fj的方差λj之和等于p个Xk*的方差之和,也就是
且λ1≥λ2…≥λP。
称上述彼此独立或不相关又不损失或损失很少原有信息的各个综合指标。
yj为原指标
的主成分.其中,第一综合指标F1的方差最大，吸收原来p个指标的总信息最多，称第一主成分；第二综合指标F2的方差次之，吸收原来p个指标的总信息次之，称为第二主成分；同理，F3F4…Fp分别称为第三主成分、第四主成分……第p主成分。
【9】
2.2主成分分析能否旋转
2.2.1主成分分析与因子分析的联系与区别
相当数量的应用文章对主成分分析与因子分析不加严格区分，因而对分析结果的解释非常模糊。
文献【1】认为主成分分析与因子分析两者之间有联系，但也存在着明显的区别。
从联系上看，主成分分析和因子分析都是将多个相关变量〔指标〕转化为少数几个不相关变量的一种多元统计分析方法。
其目的是使在高维空间中研究样本分布规律的问题，通过降维得到简化，并尽量保存原变量的信息量。
两者都有消除相关、降维的功能。
主成分分析是通过变量变换把注意力集中到具有最大变差的那些主成分上，而视变量不大的主成分为常数予以舍弃；因子分析是通过因子模型把注意力集中到少数不可观测的公共因子上，而舍弃特殊因子。
主成分个数与公共因子个数的选择准那么通常是一样的。
主成分分析中主成分向量Y与原指标向量X的表达式为
式中
；而因子分析中的因子模型为
其中ε为特殊因子，
当
时，可采用主成分分析法估计A阵，那么
。
对主成分分析中的主成分与因子分析中的公共因子的含义均需进展明确解释，否那么，会遇到应用上的困难。
虽然主成分分析法与因子分析法有着密切的联系，但从应用上更需关注的是它们之间的区别。
1、主成分分析的实质是P维空间的坐标旋转，并不改变样本数据构造，不能作为模型来描述；因子分析的实质是P维空间到M维空间的一种映射，需构造模型。
2、主成分的个数与原变量个数相等，而公因子的个数小于原变量的个数。
3、主成分分析是把主成分表示为原变量的线性组合，因子分析是把原变量表示为公共因子和特殊因子的线性组合。
4、主成分分析由可观测的变量X直接求的主成分Y，并可逆；因子分析只能通过可观测的原变量去估计不可观测的公共因子F，不能用X表示F。
5、主成分分析中的L阵是唯一的正交阵；因子分析中的A阵不唯一，也不一定是正交阵。
6、主成分分析主要应用在综合评价和指标筛选上；因子分析除这两个作用以外，还可以应用于对样本或变量的分类。
2.2.2能否对主成分实施旋转
对于主成分能否进展旋转这一问题，很多研究学者认为，当主成分不能很好解释综合评价结果时，可以像因子分析那样进展正交旋转，从而使主成分得到更好的解释。
关于主成分能否旋转的问题，文献【1】【4】【5】【7】【8】均做了论证，发现这种方法是不可行的。
论证具体如下：
主成分分析的实质是对原始指标变量进展线性变换，即F=XA，其中
显然A为正交矩阵，如果对主成分进展旋转，那么有：
其中L是正交矩阵。
由于X矩阵不变，其相关矩阵R对应的特征根和单位特征向量也不变，即说明矩阵A具有唯一性。
由上式知：
如果主成分能旋转那么说明矩阵A不是唯一的。
从而我们可以得出：
主成分不能进展旋转。
3主成分分析做综合评价的局限性与改良方法
3.1传统主成分分析做综合评价的一般步骤
（1）将原始数据标准化。
将各样品指标值xi按
式转化成标准化指标Xi*,其中，E（Xi）和D（Xi）分别是Xi的均值和方差。
Xi的均值是0，方差是1.
（2）求各标准化指标Xi*的两两相关系数rij，并写出相关系数矩阵
。
其中，
（i,j=1,2,…,p）
（3）求相关矩阵的特征根λi*（i=1,2,…，p），将其由大到小排序。
λ1*≥λ2*…≥λP*≥0，称
为第i个主成分Fi的奉献率；
为前m个主成分F1,F2,…，Fm的累计奉献率。
由累积方差奉献率确定主成分的个数m（m≤p），求出λi*（i=1,2,…，m）对应的奉献率、累计奉献率。
（4）求各个主成分Fi与标准化指标Xi*对应的系数关系。
（5）求各例样品在m个主成分的得分y1,y2,…，y.m。
（6）求各样品综合得分y，并排列名次。
3.2主成分分析的局限性
3.2.1第一主成分未必能用于综合评价
文献【8】通过论证指出，主成分奉献率的大小反映的是该主成分包含原始数据的信息量的大小，这种信息不一定指的是综合水平，也有可能指的是变量间的差异性。
对于有些情况做综合评价，如一个班同学的综合排名，用于综合评价的需是水平因子，但只考虑第一主成分的话，得到的会是一个形状因子，所以在这种情况下，第一主成分奉献率再高，用于综合评价也是不合理的。
3.2.2主成分分析标准化的缺乏
文献【2】【3】【7】等文献指出，原始数据保含两局部信息：
一局部是个指标变异程度的差异信息；另一局部是个指标间相互影响程度上的相关信息。
但在主成分分析过程中，为了消除指标纲量和数量级的影响往往对原始数据进展标准化：
，i=1，2，…，n；j=1,2,…,p
其中
，
，j=1，2，…，p。
由此可以看出标准化使各指标的方差全为1，在消除量纲和数量级影响的同时，也消除了各指标变异程度上的差异信息。
而从标准化后的数据提取的主成分，即从相关系数矩阵来计算主成分，实际上只包含了各指标间相互影响这一个方面的信息，所以不能准确反映原始数据所包含的全部信息。
3.2.3“线性〞相关度的缺乏
文献【3】指出，主成分分析只是一种“线性〞降维技术，之梦处理线性问题：
一方面主成分是原始指标的线性组合，另一方面对原始数据进展标准化处理，是协方差矩阵变成相关系数矩阵，而相关系数矩阵矩阵只能反映指标间的“线性〞相关程度。
研究实际问题时，不仅指标见有非线性关系，有时主成分与原始数据之间也呈非线性关系，如果简单地进展先行处理，必然导致评价结果的偏差。
3.3关于主成分分析做综合评价的改良
3.3.1可用于综合评价的主成分的条件
在用主成分分析做综合评价的改良时，对选择第一主成分还是多个主成分现在任有一定的分歧，就此问题许多学者都做了研究探讨【1】【7】【8】，过程如下：
当〔Xi1，Xi2，…，Xip〕>（Xk1,Xk2,…，Xkp）时，称第i个样本点优于第k个样本点；
当〔Xi1，Xi2，…，Xip〕≥（Xk1,Xk2,…，Xkp）时，称第i个样本点不劣于第k个样本点；假设〔Xi1，Xi2，…，Xip〕≥（Xk1,Xk2,…，Xkp）和（Xk1,Xk2,…，Xkp）≥〔Xi1，Xi2，…，Xip〕同时成立，称第i个样本点无异于第k个样本点。
定义假设综合评价得分y是有序的，当且仅当
yi≥yk〔其中yi是第i个样本点的综合得分i=1,2,…,n〕时，有〔Xi1，Xi2，…，Xip〕≥（Xk1,Xk2,…，Xkp），否那么称y是无序的。
将y改写成一般形式如下：
上式中tj可取-1,1或0〔0表示不选择第j个主成分〕，由上式得：
综合评价得分y对应于指标Xi的权数为
。
由于各指标是正向指标，我们可以得到如下定理。
定理综合评价得分y是有序的，当且仅当
≥0，i=1,2,…,p。
由上述推导可知，要想第一主成分能有效用于做综合评价，那么按第一主成分做综合评价的得分值y必须是有序的，当且仅当aij≥0，j=1,2,…,p。
即第一主成分的系数均为正值时，第一主成分做综合评价的取值y才是有序的，此时才可以用第一主成分做综合评价，否那么不行。
类似地，还可以令ti=1，其它为0的情况，可得到第i主成分有序的充要条件是aij≥0，j=1,2,…,p。
3.3.2均值法的应用
由于传统主成分分析无量纲化，即标准化处理会导致原始信息的丧失，许多学者就此思考了改良方法，并大多注意到了协方差举证能够完整的反映原始数据的信息；协方差矩阵的主对角线上的元素恰好为个指标的方差，而非主对角线上的元素那么包含了各指标间的相关系数的信息。
所以对数据的均值化处理【1-8】是大家普遍认同的一个对主成分分析较好的改良方法。
方法如下：
设有n个被评价的对象，及p个指标，原始数据为
，各指标的均值为xi
均值化就是用各指标的原始数据除以相应的均值，即
i=1,2,…,n；j=1,2,…,p
其中
，j=1,2,…,p，得到均值化数据矩阵
设Y=〔Y1，Y2，…，Yp〕的协方差矩阵为U=（uij）p×p,因为Y中每个向量的均值为1，所以有：
其中sij为原始数据的协方差，i,j=1,2,L,p.特别地
，即均值化数据的协方差矩阵主对角线元素为各指标见变异系数的平方。
设均值化数据各指标的相关系数为
，那么
，
其中
为原始指标间的相关系数，由上可以得到：
均值化不改变各指标间的相关系数，
相关系数矩阵的所有信息都在相应的协方差矩阵中得到了反映。
3.3.3对原始数据的非线性化
根据主成分分析中“线性〞相关度的缺点，文献【2】【3】提出了非线性主成分分析方法的一种——对数中心化，其根本方法是：
1、对原始数据作中心对数化变换：
2、计算对数中心化的样本协方差矩阵
3、从S出发求主成分
设λ1≥λ2≥…≥λP是S的P个特征根，a1,a2,…,aP是相应的标准化特征向量，那么第i个非线性主成分为
从上述分析可知，非线性主成分分析与传统主成分分析相比有两处改良：
一是通过对原始数据作对数中心化变换，将主成分表示为原始数据的非线性组合；二是分析的出发点是协方差矩阵，不再是相关系数矩阵。
通过这两处的的改良，会明显提高降维效果，用更少的主成分更多的反映原始指标的信息。
4实例分析
本文采用SPSS15.0为数据分析工具，以某高校学生在校期间的各科学习成绩为样本，运用改良的合理选取主成分的方法对每位学生的三项指标的原始数据进展分析比拟。
样本如表1所示：
表1学生成绩
学生
高数成绩
外语成绩
专业课成绩
1
80
111
103
2
76
78
104
学生
高数成绩
外语成绩
专业课成绩
3
62
140
78
4
110
120
98
5
102
111
67
6
115
84
89
7
67
89
102
8
87
98
110
9
89
95
99
10
91
139
109
11
150
100
117
12
140
125
83
13
123
78
75
14
104
97
109
15
105
90
127
16
74
19
96
17
65
86
79
18
89
80
96
19
91
77
106
20
100
102
110
首先对原始数据进展均值化处理，再用优化指标的协方差矩阵代替相关系数矩阵进展分析，计算结果如表2：
表2：
数据计算表
原始主成分分析
均值化主成分分析
改良主成分分析
特征值
方差奉献率
累计奉献率
特征值
方差奉献率
累计奉献率
特征值
方差奉献率
累计奉献率
1
1.8772
0.3754
0.03754
0.0655
0.4114
0.4114
0.0558
0.3878
0.3878
2
1.2103
0.2421
0.6175
0.0444
0.2789
0.6903
0.0366
0.2543
0.6421
3
0.0986
0.1973
0.8248
0.0068
0.0427
1.0000
0.0079
0.0429
0.8534
结论：
1、从计算结果可以看出，均值化处理可以使第一主成分包含的信息比传统的方法第一主成分承载的信息高，咳哟个较少的主成分提取更多的原始信息。
2、非线性化处理后，计算得出的累计奉献率更有突破，到达了主成分分析简化指标维数的主要目的。
5结语
针对主成分分析在综合评价中的广泛应用中遇到的计算结论常与事实有所矛盾的问题，结合现行各类文献资料，整理归纳了主成分分析的传统方法在综合评价中的缺乏、不合理之处整理出了局部实验结果较好的改良方法，同时得出，在运用主成分分析进展综合评价时，应当根据原始数据情况做出及时合理的调整，采用适当的主成分或改良主成分传统分析中的缺乏之处，借此时主成分分析在综合评价应用中功能得到更大、更合理的发挥。
参考文献：
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