实数无理数常见形式汇编.docx

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实数无理数常见形式汇编

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：

xxxxx年级：

xx课时数：

xx

学员姓名：

xxxx辅导科目：

数学学科教师：

xx

授课类型

C（数的开方）

C（实数及其运算）

T（实数应用）

授课日期及时段

Xxxx年x月x日xxxx---xxxx

教学内容

一、专题讲解

平方根

定义：

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。

特点：

一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。

表示方法：

一个整数a的正的平方根表示为“

”或“

”，其中a叫做被开方数;“

”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“

”或“

”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－

”或“－

”；正数a的平方根为±

，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根

称为a的算术平方根。

开平方运算

定义：

求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系

平方根（或算术平方根）的几个公式：

式子±

有意义的条件为a≥0；

表示a的算术平方根，

是非负数，即

≥0；

=a（a≥0），

=a（a≥0）；

=

=a，a≥0或；－a，a﹤0

例题：

1、使式子

有意义的x的取值范围是。

2.使等式

成立的x的值（）

A、是正数B、是负数C、是0D、不能确定

3.

的平方根是（　　）

A．

　　　　　　　B．

　　　　　　C．

　　　　　　　D．

非负性：

A．非负数：

若a≥0，则称a为非负数，初中阶段有三种非负数：

，

，

B．若几个非负数的和为0，在这几个非负数均为0.

例题：

1.已知

。

2.已知实数

。

3.△ABC的三边长为a、b、c，a和b满足

，求c的取值范围。

立方根

定义：

如果一个数x的立方等于a，即

=a，那么就称这个数x为a的立方根或三次方根。

表示法：

a的立方根表示为

，其中a为被开方数，“

”中的3为根指数（根指数3不能省略）；

读作“三次根号a”或“a的立方根”。

性质：

任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。

正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0.

有关立方根的补充说明和公式

1）在

中，被开方数a可为正数，负数，0；且

的正负与a一致

2）

=－

；3）

=

=a

4）开立方运算：

求一个数a的立方根的运算叫做开立方运算。

（开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系）

练习：

1、已知实数a满足

。

2.立方根等于

的数是（　　）

A．

　　　　　B．

　　　　　C．

　　　　　D．

3.设

开平方与开立方的联系与区别

在遇到开方开不尽的情况时，如无特殊说明，计算结果一律保留四位有效数字。

在实数运算中，被开方数如果是带分数，要先化为假分数，然后再进行计算

二、专题达标

一、细心填一填（每空2分，共32分）

1、–125的立方根是_____，9的算术平方根是。

的平方根是；

2、如果

，那么x＝________；如果

，那么

________．

3、要使

有意义，则x可以取的最小整数是.

4、平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______

5、如果

，那么

若

，则x

6、若

是实数，

，则

7、

的立方根是。

计算：

8、若

和

互为相反数，求

的为

9．式子

中的

的取值范围是

15．－

+2的相反数是__________________；绝对值是__________________。

10、已知正数a和b，有下列命题：

（1）若

，则

≤

（2）若

则

≤

（3）若

则

≤

，根据以上的规律猜想：

若

，则

≤________．

16．若1＜

＜3，化简

+

=_________。

20．已知实数

在数轴上的位置如图所示，化简

－

的结果是_________________

二、精心选一选（每小题3分，共21分）

1、

的算术平方根是（）

A、9B、–3C、

D、3

2、下列叙述正确的是（）

A、0.4的平方根是

B、

的立方根不存在

C、

是36的算术平方根D、–27的立方根是–3

3、下列等式中，错误的是（）

A、

B、

C、

D、

4、下列各数中，无理数的个数有（）

A、1B、2C、3D、4

5、化简

的结果是（）

A、

B、

C、2D、

8．下列说法正确的个数是（）

①．两个无理数的和一定是无理数②．两个无理数的和一定是有理数

③．两个无理数的积一定是无理数④．两个无理数的积一定是有理数

A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个

三、认真答一答（共47分）

2、求下列各式中的x的值：

（8分）

①

②

3、已知

满足

，求

的平方根.（6分）

4、若

，求yx的值。

（5分）

5、代数式

的最大值为。

6、

，求a+b的值

四、实践与探究:

（12分）先计算下列各式：

=___，

=___，

=__，

=___，

=__，

=___.

根据计算结果，回答：

⑴

一定等于a吗？

你发现其中的规律了吗？

请你用自己的语言描述出来.

⑵利用你总结的规律，计算①若

，则

②

=_____

一、专题精讲

实数可以分为有理数和无理数两类

无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

三种常见的无理数：

1）所有开不尽的方根都是无理数，2）一些含π的数是无理数，3）无限不循环的小数

例题：

1、下面5个数：

，其中是有理数的有（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

2.在下列说法中，错误的是（　　）

A．无限小数都是无理数　　　　　　　B．实数与数轴上的点一一对应

C．无理数都是无限小数　　　　　　　D．带有根号的数不都是无理数

实数a的相反数为-a；0的相反数是其本身，若a与b互为相反数，则a+b=0

实数a的倒数为

（a≠0）若a与b互为倒数，则有ab=1

实数a的绝对值表示为

，正实数的绝对值等于它本身，0的绝对值为0，负实数的绝对值是它的相反数，即

=﹛a，a≥0；-a，a＜0﹜

例题：

1.

的倒数是　　　　；

的绝对值是　　　　；

的相反数是　　　　．

实数与数轴上的点一一对应，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示。

在数轴上，右边对应的实数比左边点对应的实数大；正实数大于一切负实数，0大于一切负数，正实数大于0。

实数的运算顺序和有理数一样

练习：

1.若

（）

A、0B、1C、-1D、2

实数的大小比较方法：

1）数轴比较法：

2）代数比较法；3）差值比较法；4）商值比较法；

5）倒数比较法：

若

＞

，a＞0，b＞0，则a＞b

6）平方比较法：

若a＞0，b＞0，

＞

则a＞b

7）开方比较法：

若a＞0，b＞0，

＞

则a＞b

8）估算法。

5.实数中的非负数即性质

（1）任意实数a的绝对值是非负数，即

≥0；任意实数a的平方是非负数，即

≥0.（

≥0，n为正整数）；任意非负数a的n次算术平方根是非负数，即

≥0（a≥0），常用的是

≥0

（2）性质：

若

+

=0，则﹛a=0，b=0，反之亦然，若

+

=0，则a=0，b=0，反之亦然

若

+

=0则a=0，b=0，非负数有最小值，最小值为0，有限个非负数之和仍然是非负数。

例题：

1．若

，则

的值等于（　　）

A．

　　　　　　B．

　　　　　　C．

　　　　　　D．

2.已知m，n是有理数，且

，求m，n的值。

二、专题过关

（一）．填空题

1、

的算术平方根是__________。

2、

＝_____________。

3、2的平方根是__________。

4、实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示

化简

＝________________。

5、若m、n互为相反数，则

＝_________。

6、若

＝0，则m＝________，n＝_________。

7、若

，则a______0。

8、

的相反数是_________。

9、

＝________，

＝_________。

10、绝对值小于π的整数有__________________________。

（二）．选择题

11、代数式

，

，

中一定是正数的有（）。

A、1个B、2个C、3个D、4个

12、若

有意义，则x的取值范围是（）。

A、x＞

B、x≥

C、x＞

D、x≥

13、若x，y都是实数，且

，则xy的值（）。

A、0B、

C、2D、不能确定

14、下列说法中，错误的是（）。

A、4的算术平方根是2B、

的平方根是±3

C、8的立方根是±2　　　　　　　Ｄ、立方根等于－１的实数是－１

15、64的立方根是（）。

A、±4B、4C、－4D、16

16、已知

，则

的值是（）。

A、

B、－

C、

D、

17、计算

的值是（）。

A、1B、±1C、2D、7

18、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（）。

A、－1B、1C、0D、±1

19、下列命题中，正确的是（）。

A、无理数包括正无理数、0和负无理数B、无理数不是实数

C、无理数是带根号的数D、无理数是无限不循环小数

20、下列命题中，正确的是（）。

A、两个无理数的和是无理数B、两个无理数的积是实数

C、无理数是开方开不尽的数D、两个有理数的商有可能是无理数

（三）、解答题：

21、求

的平方根和算术平方根。

22、计算

的值。

23、解方程x

－8＝0。

24、若

，求

的值。

25、计算

26、若

，求3x＋y的值。

四、综合应用：

（本题共10小题，每小题2分，共20分）

27、若a、b、c满足

，求代数式

的值。

28、已知

，求7（x＋y）－20的立方根。

1、实数应用题

例7.

（1）检修小组从A地出发，在东西路上检修线路.如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中行驶记录如下（单位:

km）:

-4,+7,-9,+8,+6,-4,-3

（1）求收工时距A地多远?

（2）若每千米耗油0.3L,问从出发到收工共耗油多少升?

（2）小丽想用一块面积为400cm2正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积位300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：

2，不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”,你同意小明的说法吗?

小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?

（3）已知某商品价格逐年下降,到第四年销售价已经变成原来的80%.假设每年下降的百分比是一样的,试求该商品每年下降的百分比（已知

结果精确到0.1%）.

2.技巧性实数运算

（1）

（2）

例8．计算：

（1）

（2）

（3）

练习：

（1）

（2）

3.实数规律,探索性问题

例9.

（1）观察下列数2,5,10,

26,37,50,