B.当三条线段中，较短的两条线段之和大于长线段时，能组成三角形，或当三条线段中最短的线段大于其他两边只差时，能够组成三角形。
例题2:
已知a、b、c是三角形三边长，试化简：
|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣
|a-b+c|．
【答案解析】解：
∵a、b、c是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b．
例题3:
如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．
（1）你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
（2）若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
【解题思路】我们需将线段AB,AC,OB.OC通过“等量代换”转化在同一个（或几个）三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决.那么怎样进行“等量代换”转化呢?
因为题中AB、AC与OB、OC各自孤立而无联系,为打破这个僵局,可将BO延长与AC交于E（或将CO延长与AB交于F）,于是它们之间便建立了密切的联系,并有等量可代了.
【答案解析】解：
（1）如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；
在△EOC中，OE+EC＞OC，
两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
（2）因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．
又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．
【规律总结】在证明线段和（或差）的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”在一个或几个三角形中,然后利用三角形三边关系定理来解决.
类型二、三角形中的重要线段
例题1:
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【解题思路】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．
此题我们重点注意分类讨论思想：
BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．
【答案解析】
解：
如图
（1），设AB＝x，AD＝CD＝．
（1）若AB+AD＝12，即，所
以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．
（2）如图
（2），若AB+AD＝15，即，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【规律总结】在证（解）题中,对可能出现的不同情况要采取分类讨论的方法予以解答,这对学好数学是非常重要的，要养成这种严谨的学习习惯。
例题2:
有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.
【答案解析】方案1：
如图
（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．
方案2：
如图
（2），分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．
方案3：
如图（3），取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．
方案4：
如图（4），在AB取点D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、
F，连接CE、CF．
类型三、与三角形有关的角
例题:
已知△ABC中，AE平分∠BAC
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【解题思路】
（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣
∠2﹣∠3计算即可．
【答案解析】证明：
（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，
∴∠1=
=36°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．
（2）成立．
如图2，∵AE平分∠BAC，
∴∠1=
=
=90°﹣
，
∴∠3=∠1+∠C=90°﹣
+
，又∵PF⊥BC于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=
．
类型四、三角形的稳定性
例题1:
如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【解题思路】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.
【答案解析】
解：
这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距
离。
它的固定方法是：
任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
例题2:
如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?
使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?
使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【答案解析】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，
至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉（n-3）根木条．类型五、巧引辅助线构造全等三角形
（1）.倍长中线法
例题1:
已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.
【解题思路】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.
【答案解析】BE＋CF＞EF；
证明：
延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG
∵D是BC中点
∴BD＝CD
又∵DE⊥DF
在△EDG和△EDF中
∴△EDG≌△EDF（SAS）
∴EG＝EF
在△FDC与△GDB中
∴△FDC≌△GDB（SAS）
∴CF＝BG
∵BG＋BE＞EG
∴BE＋CF＞EF
例题2:
已知：
如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：
CD＝2CE．
【答案解析】证明：
延长CE至F使EF＝CE，连接BF．
∵EC为中线，
∴AE＝BE．
在△AEC与△BEF中，
∴△AEC≌△BEF（SAS）．
∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）
又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．
∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．
∴AB＝BF．
又∵BC为△ADC的中线，
∴AB＝BD．即BF＝BD．
在△FCB与△DCB中，
∴△FCB≌△DCB（SAS）．
∴CF＝CD．即CD＝2CE．
（2）.作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形
例题3:
如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.
（1）求证：
∠B与∠AHD互补；
（2）
若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.
【答案解析】证明：
（1）在AB上取一点M,使得AM＝AH,连接DM.
∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,
∴△AHD≌△AMD.
∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.
∵HD＝DB,
∴DB＝MD.
∴∠DMB＝∠B.
∵∠AMD＋∠DMB＝180°,
∴∠AHD＋∠B＝180°.即∠B与∠AHD互补.
（2）由
（1）∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180°.
∵∠B＋2∠DGA＝180°,
∴∠AHD＝2∠DGA.
∴∠AMD＝2∠DGM.
∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.
∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.
∴∠DGM＝∠GDM.
∴MD＝MG.
∴HD＝MG.
∵AG＝AM＋MG,
∴AG＝AH＋HD.
（3）.利用截长（或补短）法作构造全等三角形
例题4:
如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．
【解题思路】截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．
（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．
（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF
⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．
【答案解析】
（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，
∴∠APB=60°，
又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，
∴∠ABP=30°，
∴∠PAB=90°，
∴BP=2AP，
∵AP=2，
∴BP=4；
（2）结论：
PA+PC=PB．
证明：
如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，
∵∠APB=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°，
∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD与△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP，
∴PC=BD，
∴PA+PC=PB；
（3）结论：
PA+PC=PB．
证明：
如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，
∴AP=AD，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠APB=30°，
∴∠DAP=120°，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP，
∴BD=PC，
∵AF⊥PD，
∴PF=
AP，
∴PD=
AP，
∴
PA+PC=PB．
例题5:
如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：
AB－AC＞BD－DC
【答案解析】证明：
在AB上截取AE＝AC,连结DE
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED与△ACD中
∴△AED≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC
在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC
∴AB－AC＞BD－DC
（4）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段
例题6:
如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．
【解题思路】已知角平分线，构造全等三角形，综合利用角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH
≌△CFG即可．
【答案解析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．
例题7:
如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，，求证：
BD是∠ABC的平分线．
【解题思路】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加
方法.
【答案解析】证明：
延长AE和BC，交于点F，
∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），
∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．
所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．
则AF=BD（全等三角形对应边相等）．
∵AE=
BD，∴AE=
AF，即AE=EF．
在Rt△BEA和Rt△BEF中，
则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．
所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．
类型六、全等三角形动态型问题
例题:
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.
（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：
EF＝AE＋BF.
（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线
在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.
【答案解析】证明：
（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋
∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3。
∵在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。
（2）①EF＝AE－BF，理由如下：
∵AE⊥，BF⊥，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。
∵在△ACE和△CBF中
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。
②EF＝AE―BF
③EF＝BF―AE证明同①.
【解题规律】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：
（1）变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；
（2）图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段
之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；
（3）几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，
其结论有时变化，有时不发生变化.例题2:
【问题情境】
如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
【探究展示】
（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：
∠BAE+∠EFC=∠DCF．
（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？
若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）
如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：
AE=EF．
【答案解析】
（1）证明：
取AB的中点M，连结EM，如图1：
∵M是AB的中点，E是BC的中点，
∴在正方形ABCD中，AM=EC，
∵CF是∠DCG的平分线，
∴∠BCF=135°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠MAE=∠CEF=45°，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
（2）证明：
取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：
∵AE⊥EF，AB⊥BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
∵AM=EC，
∴在正方形ABCD中，BM=BE，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
（3）证明：
取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：
∵AM=CE，AB⊥BC，
∴∠AME=45°，
∴∠ECF=AME=45°，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∵MA⊥AD，AE⊥EF，
∴∠MAE=∠CEF，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴AE=EF．
二、三角形的线段和角
（一）选择题
典型题1：
难度★
已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，记a＝∠A＋∠B，β＝∠B＋∠C，γ
＝∠C＋∠A，则a、β、γ中锐角至多有（）.
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
【答案解析】
方法1根据题意，a、B、Y分别与∠C、∠A、∠B互补，a、β、γ中锐角的个数就是∠
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