量子力学导论第4章答案参考资料.docx

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量子力学导论第4章答案参考资料

第四章力学量用算符表达与表象变换

F均可

11

4.1）设A与B为厄米算符，则—ABBA和AB一BA也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符

22i

分解为f=F.•iFF与F_均为厄米算符，且

证：

i）1ABBA

1-ABBA为厄米算符。

ii）扌AB一BA

111

二—BA-AB二丄BA-AB二丄AB-BA-2i2i2i

二1（AB-BA）也为厄米算符。

iii）令F二AB，则F二AB=BA；=BA,

由i）,ii）得F.=F,F_=F_，即卩F和F_皆为厄米算符。

则由

（1）式，不难解得FiF

4.2）设F（x,p）是x,p的整函数，证明

整函数是指F（X,p）可以展开成F（X,p）=vCmnXmpn。

m,n=0

证：

（1）先证p,xmL-mixm4,X,pn]二nipn/。

p,xm]=xm4lp,x「p,xm4x

ixm4xm^ip,xkp,xmQx2

--2ixm4xm：

b,x殳2b,xm；x3

=-3ixm4■'p,xm^x3二…

=-m-1i乂心■b,xm—zxm_

--m-1ixm4-ixmJ二mixm4

同理，

X,pn.1-pn二X,pZ-X,pnJIp

=i*pn'+pn~IX,p】p+X,pn~】p2

=2i%n」+k,pn，】p

2

=n卷pn」

现在，

Ip,F]=|P,hCmnX”

=送Cmnb,XmIp"

qQ

Cmn-mixmJpn

m,n兰

:

F7

而-i——Cmn-mixmJpn。

-Xm,n£

「°o

X,F丄X,VCmnXm|m,n=0

qQ

二'CmnXmnid」

m,n=0

CmnXmnipn°

m,n=0

&,FI-i亠F

cp

4.3）定义反对易式A,^-ABBA，证明

Ab,c亠aB,c-A,Cl.BA,BC-A,Bl.c-b'-a,c1.

证：

Ab,c丄aB,c〔-A,cB

=ABC-ACBACB-CAB二ABCCB-ACCAB

二aB,cI-A,c1B

A,BCI-A,BCBA,cl-ABC-BACBAC-BCA

-iABBAC-BACCA1=A,B丨C-B〔A,C1.

4.4）设A,B,C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为

AB="A

：

■,:

=x,y,z,；一：

为Levi-civita符号，试验证

ABC二AB--AB|C

（1）

&

ABCLAB_C一ABC

（2）

'-ABC〔.=ABC-ABC（3）

证：

（1）式左端二ABC二AxByCz-ByCzAyBzCx-BxCzAzBxCy-ByCx

电冷A^BpCY

（1）式右端也可以化成ABC.la.B:

C。

（1）式得证。

（2）式左端二ABCI.=ABC-ABC■（:

=1,'=2,=3）

=A,；B-.C：

…B-：

C-A、.”BC-B-.C=A’B-.CAB-.C…A-B-ABC-.

（2）式右

端二AB.C-ABC.

=ABC：

A-：

B：

C-：

AB-C-A：

.B：

C：

-A-：

BC：

-ABC：

=A：

B：

C：

AB.C-A：

B：

ABC：

故

（2）式成立。

（3）式验证可仿

（2）式。

4.5）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明

F,AB=F,ABAF,B〔

（1）

F,AB」F,A】BAF,B】

（2）

证：

（1）式右端二FA-AFBAFB-BF

二FAB-AFBAFB-ABF

二FAB-ABF二F,ABL

（1）式左端

（2）式右端二:

FA-AFBAFB-BF

—r—*>—*■―b-—S-—*>—*■—is-

二FAB-AFBAFB-ABF

二FAB-ABF二F,AbL

（2）式左端

4.6）设F是由r,p构成的标量算符，证明

证:

L,fLLFp_"兰

即cr

F1Lx,FiLy,FljlLz,Fk

Lx,FI-〔ypz—zpy,N-yIpz,Nly,F血-zp,N-lz,FIpy

（4.2题）.：

f•:

F:

F

-hyFiFpzizF-i

z；:

y；y

z

;F

.Py-Pz

cF

・!

（cF

cF、

一Py

-I舟

y

-z——

印z/

创）

同理可证,

Ly,FLj-

将式（3）、

cF-

点Pyz

（4）、（5）代入式

（2），

-i

-i

-；:

Fr

旨丿y

；:

F

r

&丿;

是

（1）式得证。

（i）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.7）证明

pLLp二2ip

ipL-Lp二L2,p1。

+

■■

z

L

y

y

z

L

z

p

y

L

+

y

L

z

p

-

LJTX

L：

-,pP：

Li；：

：

p

利用基本对易式

即得pLLpx=2ipx。

因此pLLp=2ip

其次，由于Px和Lx对易，所以

=i-pzLy-LypzpyLzLzPy

-PyLz-PzLy-LyPz-LzPy

LJrx

因此，i州庄L2,；］

222

4.8）证明L=rp-：

rpAirp

TT22一一

Lpi=!

pLi=」LppLLp

（2）

—lpLLp=L2p24'2p2

（3）

LpLp=-iLp

（4）

证：

（i）利用公式，A.（BxC）=（AxB）C，有

L2=—prrpprHpprrL〔prrIp

二pr2P_prrp

山fcn—►

其中pr2=r2p-T\r2二r2p—2「r

>*ff-1-—t-*—k-

pr二rp「i一ir二rp「3i

因此L2二r2p2_rp2irp

（2）利用公式，Lp・p=L・pp=O（△）

可得-'LppL=」Lpp「L

二Lpp1Lpp〔L=Lp2一0L=L2p2L,p2Lo①

Cr2

pLpLp二L」pLpl

二Lp2L一pLpLL2p2L,p2Lo②

pL$二pLpL二〔pLp】L

=Lp2_pLp】L=L2p2③

由①②③，则

（2）得证。

（3）—pLLp47）⑴pLpL-2i'p

=pL_2ipLp

空L2p2-2「2ip-Lpp^^L2p242p2

（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）

（2）,

ABCB：

.C-ABC.

■LpLp[=；LpLxplLpLpx，

其中LxP二pLx「Pzez-Pyey

（即Lx,PxiPyjPzk」0「Pzj—「Pyk）

■LpLp!

二LppLxrLpPzez-Pyey—〔LpLd样！

J吨WLGRx

JiLp2x=—iLxp2

类似地。

可以得到y分量和z分量的公式，故（4）题得证。

4.9）定义径向动量算符Pr

J）,

0r.丿

证明：

a

+

pr-pr，

r,pj=i,

A厂ic

12r

:

r汀

证：

a

ABC=CBA,

Pr

1•

2rrp

「-

lr丿

■‘1十一十1

J」r

即Pr为厄米算符。

b

PP

r

r

'■

2

c

-1

「r

r

r>

/

.r

Pr

卫丿＜r

r

-T

r

3r

cr2

i—rr

2Hr

:

r

'2

1

r:

:

r

-1

:

rr

1

r\r\

2J一r一

2

:

r

:

r

r

2

■.2「.

（e据4.8）

（1）,L2=r2p2—G，p）+"rp。

.:

r

22

-rp

.:

r2

4.10）利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

2

解：

一维谐振子能量E^=-p^—m■2x2。

2m2

_-bo

又xxe「xdx=0奇，：

二m-，Px=0，

3a

（由（3.8）、（3.9）题可知

x=0,Px=o）

Px二Px

一Px=Px，

由测不准关系,

xPx

Px

二2x。

Ex

2m

J2x丿

dEx

■2

dx

8m

=0，得

2m

E0x

2m1

8m\、、_

li

1■

2

E°z

同理有E°y

谐振子（三维）基态能量

E。

=E°x'E0y

-E0z

4.11）利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。

解：

类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数•e换成•ze

（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。

故玻尔轨迹半径a°=与/2，在类氢原子中变为a=ayZ。

类氢原子基态波函数屮100=JZ^e^a，仅是r的函数。

\na

：

p^r~-，类氢原子径向能量为:

dd1d，故只考虑径向测不准关系

dr"rdrsinrd:

2

ze

。

r

4.12）证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。

证：

设定态波函数的空间部分为即），则有H|屮）=EW）

为求p的平均值，我们注意到坐标算符Xj与H的对易关系:

从,HPjPj2uVx二iPi.u。

ILj

这里已用到最基本的对易关系Xj,PjLp,',ij，由此

=詈細XiH叫—俚|HXi呵）

这里用到了H的厄米性。

这一结果可作一般结果推广。

如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子C二iA,B，则在A

或B的本征态中，C的平均值必为0。

4.13）证明在的本征态下，Lx=Ly=0。

（提示：

利用LyLz-LzLy二ilx，求平均。

）

证：

设|屮）是Lz的本征态，本征值为m办，即Lz屮）=m幷屮）

Lz^Lx」LzLx-LxLz=i'Ly，

□昭LzLy叩

）—^|LzLy叩）-m«空|Ly时）=0同理有：

Ly-0。

4.14）设粒子处于Yimf状态下，求“Lx2和厶Ly2解：

记本征态Ym为Im），满足本征方程

L2Im）=1（1+1严Im），Lz|lm）=m^lm）,〈lm|Lz=m^Im），

利用基本对易式LL=il,

可得算符关系「Lx2二「LxLx二LyLz-LzLyLx二LyLzLx-LzLyLx

二LyLxLziLy-LzLyLx/Ly2LyLxLz-LzLyL：

将上式在I耐态下求平均，因Lz作用于Im）或（lm后均变成本征值m办，使得后两项对平均值的贡献互相抵消,

因此.'Lx2

Ly2

又；

Lx

-Lz2.：

=l丨1-m212

l丨1-m^'2

上题已证：

LxyfLy；=0。

22

上LxLx-LxLx-Lx=L

2L2-L2

X_Lx-Lx

同理'■■-Ly2ll1-m22。

2

4.15）设体系处于屮-GYm+C2丫20状态（已归一化，即G

+C2

2“

=1）,求

（a）Lz的可能测值及平均值；

（b）L2的可能测值及相应的几率;

（c）Lx的可能测值及相应的几率。

解：

L2Y11=22Y11,L2Y20=6一2丫20;

Lz丫11二Y11，LzY20=0丫20。

（a）

由于.已归一化，故Lz的可能测值为',0,相应的几率为

C1

C2

。

平均值Lz=G办。

（b）

-22

L2的可能测值为2炉,6呼，相应的几率为C

2,C2

（c）

若G,C2不为0,则Lx（及Ly）的可能测值为：

2一,

0,

*0

1

2h

1）Lx在丨=1的空间，L,Lz对角化的表象中的矩阵是—

‘010、

1

'a''

101

b

=A

b

e10丿

lc」

求本征矢并令一=1,则1

V2

得，b=、2a,ac=2b,b

i）取，=0,得b=0,c二-a，本征矢为

，归一化后可得本征矢为

1

0

-1

a

ii）取人=1，得b=y/2a=v2c，本征矢为v'2a，归一化后可得本征矢为

a」

iii）取，=-1，得b=-2a=--2c,归一化后可得本征矢为

2

在C1Y11=C10态下，

l0,

Lx取0的振幅为&100

-1

Lx取0的几率为

1

—丘。

1

C1

的振幅为C11001

2

Lx取-一的振幅为C11

2）Lx在丨=2的空间,

利用

jm1jx

jm—1jx

22jx21）=1，

'0

1

0

32

0

1

V2"=

，相应的几率为

1

-..2

C1

，相应的几率为

C1

。

总几率为

C1

（L2,Lz对角化表象中的矩阵

jm=2J（j_mIj+m+1）

jm=\jmj-m1

〈21jx20

3，20jx2「

2—1jx2—2=1

0

32

0

32

0

本征方程

i），=0,b=0,a=_

'0

1

0

身，

0

0

0

0

0

0

0

f_、

fn\

a

a

0

b

b

0

c

:

—?

匕

c

1

d

d

0

o

0

0

■=0,_1,_2。

寺,d“，…导本征矢为

。

在C2Y20=C2

态下，测得Lx=0

'3

的振幅为C200100

0

■■3

0

ii）■=1,

—b,

d=e，本征矢为

C2001

iii）

-1

I-1

b--a,c=0,d--b,

e二-d，本征矢为

iv）■=2,b=2a,c=.6a,

c

d=2e=2a,e=——

J6

一“1的振幅为C200100-

4

V）

C2

£三。

几率为

2

-1

一1丿

-1

-1

本征矢为

在C2丫20态下，测得Lx

在C2丫20态下，测得Lx

=的振幅为

在C2丫20态下,

测得Lx=2

2

.6

_2,b=-2a,c=〔6a,

3

几率为-C

—C2。

几率为

4

'331!

2

2

_+-+—|C2

—

C2

。

1884丿

3C

本征矢为

-2

.6

-2

，在C2丫20态下，测得

Lx=-2一的

在「-Ci^iC2Y20态中，测Lx（和Ly）的可能值及几率分别为:

4.16）设属于能级

E有三个简并态’-；1，匸2和'-：

3，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归

一的波函数。

解：

:

一1屮

1

「1「1

2^'-；2

1'

-，「2二•’「2,

>2浮2）

3」3

1'

一「1「3「1一：

2「3「2，「——,'3。

.：

3,「3

；1,：

2,；：

3是归一化的。

「1「2二1'US-厂2「1,「11"，

严2严2）

J,'US-f3「1,「1-「2「3「1,「21=0，

3,3

；2,；3=1'「2上3-「1,5：

2「1一：

2「3「2J2^0。

「3「3

■它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：

它们仍对应于同一能级）。

4.17）设有矩阵A,B,C,S等，证明

detAB=detAdetB，detS」AS二detA，

TrAB二TrBA，TrS’AS二TrA，TrABC=TrBCA=TrCAB，

detA表示矩阵A相应的行列式得值，TrA代表矩阵A的对角元素之和。

证：

（1）由定义detA=7Pi^'ina1ha2^"ani

12

故上式可写成：

detA二'PhinPj1jn&第兀2a^，

i「in

其中j/jn是1…n的任意一个置换。

八Pi1…inVaij!

bj1iia2j2bj2i^'Oinbjnin

il…injl…jn

—区aijia2j2…anjnP（il…inbjiiibj2i2…bjninj"In」i"n

Pji…Jnaij’a2j2…anjn|•Ph…inPji…jnbjiiibj2i2bjninji'jn|ii…in

二detAdetB

（2）detS」AS二detS，detAdetS二detS」detSdetA

二detS」SdetA=detA

（3）TrAB='耳山八bkiaik=TrBA

ikik

（4）TrS」AS二TrS」AS丨=Tr〔ASS」TrASS」二TrA

（5）TrABC八aijbjkCki-'=TrBCA-'bjk=TrCAB

ijkijkijk

15

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