数学湖南省师范大学附属中学学年高一上学期期末考试试题解析版.docx

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数学湖南省师范大学附属中学学年高一上学期期末考试试题解析版

湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期

期末考试数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题

1．若直线过点（1,2），（2,2＋），则此直线的倾斜角是（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

2．已知直线l1：

ax－y－2＝0和直线l2:

（a＋2）x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（）

A．2B．1C．0D．－1

3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（）

①a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α，a⊥bb∥α；③a∥α，a⊥bb⊥α.

A．1B．2C．3D．0

4．在空间直角坐标系中，点B是A（1，2，3）在xOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（）

A.B.C.D.

5．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外切D．外离

6．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（）

7．已知圆C：

x2＋y2－4x－5＝0，则过点P（1，2）的最短弦所在直线l的方程是（）

A．3x＋2y－7＝0B．2x＋y－4＝0

C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝0

8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

9．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为（）

A.B.C.D.－1

10．如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）

A．恒有DE⊥A′F

B．异面直线A′E与BD不可能垂直

C．恒有平面A′GF⊥平面BCDE

D．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上

二、填空题

11．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′＝3,O′B′＝4，则△AOB的面积是________．

12．在三棱锥A－BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．

13．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．

三、解答题

14．已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－.

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x＋y－11＝0上的圆的方程．

15．已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点A（26，1），B（2，1）的距离之比等于5.

（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点P（－2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

16．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

（Ⅰ）求证：

PA∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：

平面PAC⊥平面BDE；

（Ⅲ）若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

第Ⅱ卷

一、选择题

17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：

“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？

”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n（modm），例如11＝2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）

A．21B．22C．23D．24

18．在四棱锥P－ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是

A．直线的一部分

B．半圆的一部分

C．圆的一部分

D．球的一部分

二、填空题

19．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝则关于x的函数F（x）＝f（x）－的所有零点之和为________.

三、解答题

20．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．

（Ⅰ）求证：

AC⊥BD1；

（Ⅱ）是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？

若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．

21.平面直角坐标系中，在x轴的上方作半径为1的圆Γ，与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为－1，A（x，y）是圆Γ外一动点，A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.

（Ⅰ）求动点A的轨迹方程；

（Ⅱ）设l2是圆Γ平行于x轴的切线，试探究在y轴上是否存在一定点B，使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变．

22.已知函数f（x）＝log2（x＋1）．

（Ⅰ）若f（x）＋f（x－1）＞0成立，求x的取值范围；

（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x＋2）＝－g（x），且当0≤x≤1时，g（x）＝f（x），求g（x）在[－3，－1]上的解析式，并写出g（x）在[－3，3]上的单调区间（不必证明）；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g≥g在R上恒成立，求实数t的取值范围．

【参考答案】

第Ⅰ卷

一、选择题

1.C　

【解析】利用斜率公式k＝＝tanθ，可求倾斜角为60°.

2．D　

【解析】由题知（a＋2）a＋1＝0a2＋2a＋1＝（a＋1）2＝0，

∴a＝－1.也可以代入检验．

3．A　

【解析】①正确．

4．D　

【解析】点A（1，2，3）在xOz坐标平面内的射影为B（1，0，3），

∴|OB|＝＝.

5．B　

【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，（x－2）2＋（y＋1）2＝9，可知圆心距d＝，由于2

6．C　

【解析】当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.

7．D　

【解析】化成标准方程（x－2）2＋y2＝9，过点P（1，2）的最短弦所在直线l应与PC垂直，故有kl·kPC＝－1，由kPC＝－2得kl＝，进而得直线l的方程为x－2y＋3＝0.

8．C　

【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为正方体ABDC－A1B1D1C1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于BA1与BD1所成的角，为60°.

9．B　

【解析】当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d＝，切线长＝＝.

10．B　

【解析】对A来说，DE⊥平面A′GF，∴DE⊥A′F；

对B来说，∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A′E）2＋EF2＝（A′F）2时，直线A′E与BD垂直，故B不正确；

对C来说，因为DE⊥平面A′GF，DE平面BCDE，∴平面A′GF⊥平面BCDE，故C正确；

对D来说，∵A′D＝A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG＝G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，正确．

二、填空题

11．12　

【解析】△OAB为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12.

12．50π

　【解析】三棱锥A－BCD的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球，所以外接球的半径R满足：

2R＝＝5.所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积S＝4πR2＝50π.

13.a>6　

【解析】由PA⊥平面AC，PE⊥DE，得AE⊥DE.问题转化为以AD为直径的圆与BC有两个交点，所以>3，解得a>6.

三、解答题

14．（Ⅰ）3x＋4y－14＝0

（Ⅱ）（x－5）2＋（y－6）2＝25

15．解：

（Ⅰ）由题意，得＝5.＝5，

化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.

即（x－1）2＋（y－1）2＝25.

∴点M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－1）2＝25，

轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：

x＝－2，

此时所截得的线段的长为2＝8，

∴l：

x＝－2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为

y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0，

圆心到l的距离d＝，

由题意，得＋42＝52，

解得k＝.

∴直线l的方程为x－y＋＝0.

即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0.

16．（Ⅰ）证明：

连接OE．

∵O、E分别为AC、PC中点，

∴OE∥PA.

∵OE面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面BDE.

（Ⅱ）证明：

∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.

又∵BD平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.

（Ⅲ）解：

取OC中点F，连接EF.

∵E为PC中点，

∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.

又∵PO⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD，

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.

∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，

∴∠EOF＝30°.

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，

∴EF＝OF·tan30°＝a，∴OP＝2EF＝a.

∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.

第Ⅱ卷

17．C

18．C　

【解析】因为AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD∥BC，且∠DAP＝∠CBP＝90°.又∠APD＝∠CPB，AD＝4，BC＝8，可得tan∠APD＝＝＝tan∠CPB，即得＝＝2，在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（－3，0）、B（3，0）．设点P（x，y），则有＝＝2，

整理得x2＋y2＋10x＋9＝0.

由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个圆，但要去掉二个点，选C.

19．1－2

【解析】∵当x≥0时，f（x）＝；

即x∈[0，1）时，f（x）＝log（x＋1）∈（－1，0]；

x∈[1，3]时，f（x）＝x－2∈[－1，1]；

x∈（3，＋∞）时，f（x）＝4－x∈（－∞，－1）；

画出x≥0时f（x）的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y＝，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）－＝0共五个实根，

最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，

∵x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（－x）＝log（－x＋1），

又f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－log（－x＋1）＝log（1－x）－1＝log2（1－x），

∴中间的一个根满足log2（1－x）＝，

即1－x＝2，解得x＝1－2，

∴所有根的和为1－2.

20．（Ⅰ）证明：

如图，连结BD.

∵正方体ABCD－A1B1C1D1，

∴D1D⊥平面ABCD.

∵AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

∵BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BDD1.

∵BD1平面BDD1，∴AC⊥BD1.（5分）

（Ⅱ）解：

存在．答案不