大兴区学年度第一学期期末高三数学理试题及答案WORD版.docx
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大兴区学年度第一学期期末高三数学理试题及答案WORD版
大兴区2018~2019学年度第一学期期末检测试卷
高三数学（理）
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合
，
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
，则下列不等式成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）在复平面内，复数
对应的点的坐标为
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）执行如图所示的程序框图，若输出的
的值为
，
则输入
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知数列
，则“存在常数
，对任意的
，且
，都有
”是“数列
为等差数列”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知
，
，
为共面的三个单位向量，且
，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）A，B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如下表：
A品牌车型
A1
A2
A3
环比增长率
-7.29%
10.47%
14.70%
B品牌车型
B1
B2
B3
环比增长率
-8.49%
-28.06%
13.25%
根据此表中的数据，有如下四个结论：
①A1车型销量比B1车型销量多；
②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；
③B品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；
④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．
其中正确的结论个数是
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
（9）抛物线
的焦点到准线的距离等于．
（10）
展开式中，常数项的值为.
（11）在
中，已知
，则
________.
（12）若存在满足
的非负实数
，使
成立，则
的取值范围
是．
（13）直线
与圆
交于
，
两点，当
的面积最大时，
的值为．
（14）设函数
①若
，则
的最大值为；
②若函数
有两个零点，则
的取值范围是．
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本小题13分）
已知函数
.
（Ⅰ
）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值
．
（16）（本小题13分）
自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在
且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用
表示这3人中年龄在
的人数,求随机变量
的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日
该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
（17）（本小题14分）
如图，边长为
的正方形
和高为
的等腰梯形
所在的平面互相垂直，
，
，
与
交于点
，点
为线段
上任意一点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点
使平面
与平面
垂直，
若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.
（18）（本小题13分）
已知函数
．
（Ⅰ）若曲线
在
处的切线方程为
，求
的值；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的极值．
（19）（本小题14分）
已知椭圆
的离心率为
，左顶点为
，过椭圆
的右焦点
作互相垂直的两条直线
分别交直线
于
两点，
交椭圆
于另一点
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）求证：
直线
恒过定点，并求出定点坐标．
（20）（本小题13分）
设有限数列
，定义集合
为数列
的伴随集合．
（Ⅰ）已知有限数列
和数列
．分别写出
和
的伴随集合；
（Ⅱ）已知有限等比数列
，求
的伴随集合
中各元素之和
；
（Ⅲ）已知有限等差数列
，判断
是否能同时属于
的伴随集合
，并说明理由．
大兴区2018~2019学年度第一学期期末检测
高三数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
C
A
D
B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（只写一个且正确得3分）（14）1；
（第一个空3分，第二个空2分）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（Ⅰ）
……3分
……5分
，……6分
所以
的最小正周期
．……7分
（Ⅱ）因为
，所以
．……2分
所以当
，即
时，
取得最大值为
；……4分
当
，即
时，
取得最小值为
．……6分
（16）（共13分）
解：
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，
年龄在[30,50）且未使用自由购的共有3+14=17人，……1分
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50）且未使用自由购的概率为
．……4分
（Ⅱ）
所有的可能取值为1,2,3，……1分
……2分
……3分
.……4分
1
2
3
所以
的分布列为
……5分
所以
的数学期望为
.……6分
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有
人，……1分
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
.……3分
（17）（共14分）
证明：
（Ⅰ）因为正方形
中，
与
交于点
，
所以
.
因为
，
所以
且
……1分
所以
为平行四边形.……2分
所以
.……3分
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.……4分
解：
（Ⅱ）取
中点
，连结
，因为梯形
为等腰梯形，所以
.
又因为平面
平面
，
平面
，
平面
平面
所以
平面
.……1分
又因为
所以
两两垂直.
如图，建立空间直角坐标系
，……2分
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，所以
.……4分
设直线
与平面
所成角为
，
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.……6分
（Ⅲ）设
，……1分
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
.
所以
.……2分
若平面
与平面
垂直，则
.……3分
由
，得
.
所以线段OF上存在点
使平面
与平面
垂直，
的值为
.……4分
（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）因为
，
所以
，
所以
.……2分
因为
在
处的切线方程为
.
所以
，……3分
解得
.……4分
（Ⅱ）因为
，
，
所以
，……2分
①当
，即
时，
在
恒成立，
所以
在
单调递增；
所以
在
无极值；……4分
②当
，即
时，
在
恒成立，
所以
在
单调递减，
所以
在
无极值；……6分
③当
，即
时，……7分
变化如下表：
-
0
+
单调递减↘
极小值
单调递增↗
……8分
因此，
的减区间为
，增区间为
．
所以当
时，
有极小值为
，无极大值.
……9分
（19）（共14分）
解：
（Ⅰ）由题意
，……1分
离心率
，所以
.……2分
所以
，……3分
所以椭圆
的方程为
．……4分
（Ⅱ）由题意，设
，
．……1分
令
，得
，
，……3分
又
，所以直线
的方程为
．……4分
由
，消元，得
，
即
，……5分
设
，则
，所以
．……6分
所以
，……7分
又
，
所以直线
的斜率为
，……8分
所以直线
的方程为
，
即
，……9分
直线
恒过定点
．……10分
（20）（共13分）
解：
（Ⅰ）数列
的伴随集合为
，
数列
的伴随集合为
．……3分
（两个集合都对3分，只写对一个集合给2分．）
（Ⅱ）先证明对任意
或
，则
．
假设
．
当
且
，因为
，则
，即
，
所以
，与
矛盾．
同理，当
且
时，也不成立．……1分
当
且
时，不妨设
，因为
，则
，
所以
，……2分
左边为奇数，右边为偶数，所以
，……3分
综上，对任意
或
，则
所以求集合
中各元素之和时，每个
均出现
次，……4分
所以
．
……5分
（Ⅲ）假设
同时属于数列
的伴随集合
．
设数列
的公差为
，则
即
……1分
②-①得，
，
③-①得，
，
两式相除得，
，……2分
因为
，
所以
，
，……3分
所以
．
又因为
，
所以
，
，……4分
所以
，与
矛盾，
所以
不能同时属于数列
的伴随集合
．……5分
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