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二分答案
二分答案
有人看到“二分答案”这个题目，可能会很不解。
题目过程可以二分，答案怎么也能二分呢？
事实上，当你看到找极大值中的最小值或者求极小值中的最大值的题目时，二分答案或许是一个不错的选择。
根据数据范围判断是否选用二分（二分能把时间复杂度降到logn），再和上文所说的条件结合，一般就不会错了。
先看一个例题。
【描述】
现在某组织中（记作R）有n个人，他们的联络网形成一棵以Saltless为根的树，有边相连代表两人可以直接联络。
每个人有一个代号，Saltless代号为1，且除Saltless外每个人的父节点的代号小于他自己的代号。
由于某些原因，Saltless给R的成员分别下达紧急任务，R需要分成m组行动，每个组必须满足如下条件：
1、每个组员仅分在本组中
2、至少有一个组员
3、任意两个组员无需通过本组外的人就可以联络（但可以通过本组组员进行联络）
每个人有一个能力指数，一个组的能力指数是全组人能力指数之和。
对于任意一种正确的分组，平均度就是m组中最小能力指数。
为了分组较为平均，Saltless希望平均度尽可能大。
【格式】
PROGRAMNAME:
organ
INPUTFORMAT:
第一行为三个数：
n,m,和Saltless的能力指数（1<=m<=n<=10000）。
接下来n-1行，每行两个数：
此人的父节点代号和他的能力指数（能力指数值为正整数，不超过30，行数就是他本身的代号）
OUTPUTFORMAT:
输出格式：
一个数，表示最大的平均度。
SAMPLEINPUT（organ.in）
722
14
15
21
22
34
43
SAMPLEOUTPUT（organ.out）
10
【Hint】
分组：
{1,3,6},{2,4,5,7}
看到这个题，出口很明显，可能首先想到DFS。
但是10000的数据DFS显然是不能承受的。
这时候我们采用二分答案。
我们先记录下所有人能力指数之和tot，然后假设它的中间值mid就是我们要找的最优解。
然后根据这个下限进行分组，把得到的组数num和m进行比较，如果num>m则表示分组过多，则答案在mid+1到tot的区间内；如果num当左右指针重合时，最优解也就找到了。
参考代码：
1programsai;
2var
3m,n,tot:
longint;
4mid,num,l,r:
longint;
5i:
integer;
6p,w,t:
array[0..10000]oflongint;
7functionget（x:
longint）:
longint;//分组
8var
9i,num:
integer;
10begin
11num:
=0;
12t:
=w;
13fori:
=ndownto1do//从儿子找起，以消除后效性
14ift[i]=t[p[i]]+t[i]
15elseinc（num）;//如果一个组的能力指数之和达到了中间值就加一组
16exit（num）;
17end;
18begin
19assign（input,'sai.in'）;
20reset（input）;
21assign（output,'sai.out'）;
22rewrite（output）;
23readln（n,m,tot）;
24w[1]:
=tot;
25fori:
=2tondo
26begin
27readln（p[i],w[i]）;
28tot:
=tot+w[i];
29end;
30l:
=1;
31r:
=tot;
32whilel<=rdo
33begin
34mid:
=（l+r）>>1;//mid记录了临时的最优解
35num:
=get（mid）;
36ifnum>=mthenl:
=mid+1elser:
=mid-1;//与组数进行比较，确定下一个搜索区间
37end;
38writeln（r）;//右指针记录的是最优解
39close（input）;
40close（output）;
41end.
浅析二分答案
二分答案，顾名思义，大家应该想到了二分查找和二分法对题目的优化，我这里要说的二分答案也是如此。
使用范围：
二分答案必须在满足单调性的情况下才可以使用。
例如下面的一道例题：
一个美丽的夜晚，Bingo和他的MM坐在高高的N骨N堆旁看着天上稀稀拉拉的星星。
Bingo对着MM说：
“我们就像指数函数。
你是底数，我是指数。
不管你是大于一还是大于零小于一，我都可一让我们的幸福指数（不同于上面的指数）到正无穷。
”MM说“你是底数，我是指数，我要顺着你改变”。
Bingo一阵感动，但是，作为一个男人，Bingo怎么能委屈自己的MM呢。
Bingo说：
“不行，我会心疼你的。
”MM说：
“我也会心疼你啊”。
…………
【题目描述】
为了不让Bingo和他的MM谁更心疼，也就是让他们一样心疼对方，给你一个数n，请你找出最小的整数x使得xx的位数大于等于n。
【输入】
一个数，n。
【输出】
一个数x，满足xx的位数大于等于n，x-1x-1的位数小于n。
【样例】
heart.in
11
heart.out
10
【数据规模】
n<=1，000，000，000，000，000，000。
【时间，内存限制】
各个测试点1s，64M。
题目解析：
这道题目是典型的二分答案，因为随着mid的增大，mid^mid的位数会随之增大而增大，因此满足单调性，可以使用二分答案来求解；【代码如下】：
programHeart;
varl,r,mid:
qword;
n:
qword;
begin
readln（n）;
l:
=0;
r:
=1shl59;
whilel<>rdo{注意这里，一个奇怪的跳出，这种跳出的优点在于不会为输出l还是r来就接}
begin
mid:
=（l+r）shr1;
iftrunc（mid*ln（mid）/ln（10））+1{换底公式求出它的位数，注意要加1}>=nthenr:
=midelsel:
=mid+1;
end;
writeln（l）;
end.
是不是很短，其实二分并不复杂，其实很EASY。
本题的另外一个难点在于怎么由已知的一个十进制的数来求位数。
其实就是高一数学，用上指数函数的换底公式就可以了。
另外需要注意的一点便是二分边界的维护，这个要根据实际情况而定是要打成r：
=mid-1还是r：
=mid；
许多问题不易直接求解,但如果我们却可以判断某个解是否可行.构造函数ok（x），布尔型，若最终答案为ans,当x=ans时，ok（x）=true（反之亦可）,则满足了二分的条件.假设有一个高效的求ok（x）的算法，则可以通过二分x来获得ans。
请看下面的题目:
奇怪的函数（xx.pas/c/cpp）
问题描述
使得x^x达到或超过n位数字的最小正整数x是多少？
输入数据
输入一个正整数n。
输出数据
输出使得x^x达到n位数字的最小正整数x。
输入样例
11
输出样例
10
时间限制
各测试点1秒
数据规模
n<=2000000000
分析:
直接求解不容易.但对于给定的x我们容易知道x^x的位数.且对于递增的x,位数不降.于是可以二分.
下面给出位数的求法:
令Xx=10p，只要求出p即可。
两边取对数：
Xlnx=pln10
所以p=xlnx/ln10，位数即[xlnx/ln10]+1
代码:
constoo=2000000000;
var
l,r,m,n:
int64;
functioncheck:
boolean;
begin
m:
=（l+r）shr1;
if（m*ln（m）/ln（10））>=n-1thenexit（true）
elseexit（false）;
end;
begin
assign（input,'xx.in'）;reset（input）;
readln（n）;
close（input）;
l:
=1;r:
=oo;
whilel<>rdo
ifcheckthenr:
=m
elsel:
=m+1;
assign（output,'xx.out'）;rewrite（output）;
writeln（l）;
close（output）;
end.
电话网络（phone.pas/c/pp）
[题目描述]
由于地震使得连接汶川县城电话线全部损坏，假如你是负责将电话线接到震中汶川县城的负责人，汶川县城周围分布着N（1≤N≤1,000）根按1..N顺次编号的废弃的电话线杆，任意两根电话线杆间都没有电话线相连。
一共P（1≤P≤10,000）对电话线杆间可以拉电话线，其余的由于地震使得无法被连接。
第i对电话线杆的两个端点分别为Ai，Bi，它们间的距离为Li（1≤Li≤1,000,000）。
数据中保证每对（Ai，Bi）最多只出现1次。
编号为1的电话线杆已经接人了全国的电话网络，整个县城的电话线全都连到了编号为N的电话线杆上。
也就是说，你的任务仅仅是找一条将1号和N号电话线杆连起来的路径，其余的电话线杆并不一定要连人电话网络。
电信公司决定支援灾区免费为汶川县城连结K（0≤K对于此外的那些电话线，需要为它们付费，总费用等于其中最长的电话线的长度（每根电话线仅连接一对电话线杆）。
如果需要连接的电话线杆不超过K对，那么总支出为0。
请你计算一下，将电话线引到震中汶川县城最少需要在电话线上花多少钱?
[输入格式]
输入文件的第一行包含三个用空格隔开的整数：
N，P和K。
第二行到第P+1行：
每行分别都为空格隔开的整数：
Ai，Bi和Li。
[输出格式]
输出文件中仅包含一个整数，表示在这项工程上的最小支出。
如果任务不可能完成，则输出-1。
[输入样例]
571
125
314
248
323
529
347
456
[输出样例］
4
分析:
这是一道典型的二分答案题,先确定一个长度下限m，大于m的将为免费的。
这样对给出的图中，若某条边小于m，则赋值为0，否则赋值为1。
求1到N的最短路即可。
如果最短路<=电信公司提供的数目，说明m可行，接下来二分枚举比m小的值，反之二分枚举比m大的值。
代码:
const
maxn =1000;
maxm =10000;
oo =100000000;
var
g,gg :
array[1..maxn,1..maxn]oflongint;
d :
array[1..maxm]oflongint;
vis :
array[1..maxn]ofboolean;
p :
array[1..maxn]oflongint;
n,m,k,u,v,l,r,mid,i,j:
longint;
functionok（x:
longint）:
boolean;
var
i,j,l,r,u,v :
longint;
begin
fori:
=1tondo
forj:
=1tondo
ifgg[i,j]ifgg[i,j]<=xtheng[i,j]:
=0elseg[i,j]:
=1;
l:
=1;r:
=1;d[1]:
=1;
fori:
=2tondop[i]:
=oo;
fori:
=2tondovis[i]:
=false;vis[1]:
=true;
whilel<=rdo
begin
u:
=d[l];
forv:
=1tondo
ifp[u]+g[u,v]begin
p[v]:
=p[u]+g[u,v];
ifnotvis[v]then
begin
inc（r）;
d[r]:
=v;
vis[v]:
=true;
end;
end;
vis[u]:
=false;
inc（l）;
end;
ifp[n]<=kthenexit（true）elseexit（false）
end;
begin
assign（input,'phone.in'）;
reset（input）;
assign（output,'phone.out'）;
rewrite（output）;
readln（n,m,k）;
fori:
=1tondoforj:
=1tondogg[i,j]:
=oo;
fori:
=1tomdo
begin
readln（u,v,gg[u,v]）;
gg[v,u]:
=gg[u,v];
ifgg[u,v]>rthenr:
=gg[u,v]
end;
l:
=0;
g:
=gg;
whilelbegin
mid:
=（l+r）shr1;
ifok（mid）then
r:
=midelsel:
=mid+1
end;
ifok（l）thenwriteln（l）elsewriteln（-1）;
close（output）
end.
集训第七次考试第四题二分答案
注：
二分应该时目前我用的最少的一种思想，已经两次遇到了。
什么样的题目能用二分做呢？
常见的有在一堆极大值中找最小值或在一堆极小值中找最大值，数据量大于10000为二分答案的提示，二分可以减小答案范围，变成log级别的。
二分的关键就是当l与r相等的时候是最大值，如果当前解比mid大，就在mid和r中找，反之在l和mid中找。
l和r为限定的最大值和最小值。
例题：
【描述】
现在根中有n个人，他们的联络网型成一棵以团藏为根的树，有边相连代表两人可以直接联络。
每个人有一个代号，团藏代号为1，且除团藏外每个人的父节点的代号小于他自己的代号。
晓的活动暂时放缓，团藏要当火影的野心一天比一天大，所以他给根的成员分别下达紧急任务，根需要分成m组行动，每个组必须满足如下条件：
1、每个组员仅分在本组中
2、至少有一个组员
3、任意两个组员无需通过本组外的人就可以联络（但可以通过本组组员进行联络）
每个人有一个能力指数（就是贤、力、精、幻、忍、体的综合指数），一个组的能力指数是全组人能力指数之和。
对于任意一种正确的分组，平均度就是m组中最小能力指数。
为了分组较为平均，团藏希望平均度尽可能大。
可怜的佐井迫于团藏的威胁，被要求算出这个最大值，不管怎么说，佐井是个好孩子~而且他只会拿笔画画，不会算这种问题~你就帮帮他好了~~
【格式】
PROGRAMNAME:
sai
INPUTFORMAT:
第一行为三个数：
n,m,和团藏的能力指数（1<=m<=n<=10000）。
接下来n-1行，每行两个数：
此人的父节点代号和他的能力指数（活动程度值为正整数，不超过30，行数就是他本身的代号）
OUTPUTFORMAT:
输出格式：
一个数，表示最大的平均度。
SAMPLEINPUT（filesai.in）
722
14
15
21
22
34
43
SAMPLEOUTPUT（filesai.out）
10
【Hint】
分组：
{1,3,6},{2,4,5,7}
分析：
这个题目描述告诉我们，我们的目标是在保证为m组的情况下，在各组都极大时找一个最小值，而数据量为10000，所以能用二分做。
二分时以每组最小价值为二分依据，设定一个最大价值：
总价值divm+1，一个最小价值1；二分mid:
=（l+r）shr1;判断当价值为mid时能达到的组数，如果小于要求组数，就证明价值太大了，令r等于mid反之令l等于mid，一直到l与r相等就找到了最优解。
代码：
var
n,m,l,r,i,mid,zhi:
longint;
s,f,sc:
array[1..10000]oflongint;
functioncal（x:
longint）:
longint;{计算以x为答案时组数}
var
i,now,ans:
longint;
begin
sc:
=s;
ans:
=0;
fori:
=ndownto1do{依然是倒序}
ifsc[i]>=xthen{只要当前父节点已经能满足值为x，就算一组}
begin
inc（ans）;{ans为组数}
now:
=f[i];{递归减去已经抛开的一枝}
whilenow<>0do
begin
sc[now]:
=sc[now]-sc[i];
now:
=f[now];
end;
end;
exit（ans）;
end;
begin
readln（n,m,zhi）;
s[1]:
=zhi;{s数组记录当前父节点的所有儿子的价值与其之和}
fori:
=2tondo
begin
readln（f[i],zhi）;
s[i]:
=zhi;
end;
fori:
=ndownto2do{计算所有父节点的总值，倒序消除后效型}
inc（s[f[i]],s[i]）;
ifm=1then
begin
writeln（s[1]）;
exit;
end;{特殊情况}
l:
=1;
r:
=s[1]divm+1;{先找一个可能的最大值和最小值，然后逐步
缩小答案范围，这是二分答案的关键}
whiler-l>1do{一直找到r与l相等就证明已经找到了最优解}
begin
mid:
=（l+r）div2;{二分，效率为log级别}
ifcal（mid）=midelsel:
=mid;{cal计算以mid为答案时的组数
如果组数小，就证明值太大，
反之就是值太小，变换l，r}
end;
writeln（l）;
end.
pku3657：
很有意思的题，大意是给你若干句形如a,b,c的描述，表示a~b的最小值为c，要你求第一句出现矛盾的话。
乍一看没什么好想法，模拟吧，不可能，线段树吧，判不出，怎么办？
回过头想想，为什么麻烦了，麻烦在了哪里，依我看，就是麻烦在了"求第一句出现矛盾的话"上，"第一句"会卡死了我们的思路，怎么解决呢？
二分答案！
二分的性质很显然，解会是连续的，而且二分答案之后就可以排序了，此为此题收获之一，二分答案以获得更多信息和更宽松的条件
好了，排完序之后容易想到按c从大到小排序，有如下两种情况可能产生矛盾：
如果一段区间的最小值已知为c1了，那么此为此题收获之二,细致的读题是ac的必要条件。
。
第二种情况我自己就没有想到。
。
这个染色的过程用什么东西来实现？
线段树？
麻烦。
模拟？
。
。
不予评价。
这都不是最佳选择。
由于每个点只能被染色一次，那么并查集就能够胜任这个过程了。
具体方法就是每个点的f[i]记录当前它被一整段区间所覆盖的最左边那个点，这样，每次给区间染色就可以用并查集做到均摊O（alpha（n））的了。
并查集的妙用，此为此题收获之三
看这个神奇的数据
103
1101
115
10104
输出3的同学要注意了，普通的离散化不能区分[a,a]U[b,b]和[a,b]，那么我们离散化的时候往[a,b]（a+1离散化时的细节（好像离散化经常要插点啊什么的），此为此题收获之四
代码:
viewplaincopytoclipboardprint?
programsyj;{erfenans+rangecovering_usingbingchaset}
const
maxn=25000+5;
varn,q,nn,l,r,mid,i:
longint;
x,c,p,f,color:
array[0..maxn*4]oflongint;
a:
array[1..maxn]oflongint;
proceduresort1（l,r:
longint）;
vari,j,k,z:
longint;
begin
i:
=l;j:
=r;k:
=x[（l+r）div2];
repeat
whilex[i]whilex[j]>kdodec（j）;
ifi<=jthenbegin
z:
=x[i];x[i]:
=x[j];x[j]:
=z;
z:
=c[i];c[i]:
=c[j];c[j]:
=z;
inc（i）;dec（j）;
end;
untili>j;
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