放缩法技巧全总结非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华.docx
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放缩法技巧全总结非常精辟是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华
放缩法技巧全总结（非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!
!
）
2010高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：
通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.
（1）求的值;
（2）求证:
.
解析:
（1）因为,所以
（2）因为,所以
奇巧积累:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）
（10）（11）
（11）
（12）
（13）
（14）（15）
（15）
例2.
（1）求证:
（2）求证:
（3）求证:
（4）求证：
解析:
（1）因为,所以
（2）
（3）先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
（4）首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
解析:
一方面:
因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,所以综上有
例4.（20XX年全国一卷）设函数.数列满足..设，整数.证明:
.
解析:
由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则
,否则若,则由知
,,因为,
于是
例5.已知,求证:
.
解析:
首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,即等价于
即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:
.
解析:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明:
因为
所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：
.
解析:
先构造函数有,从而
因为
所以
例9.求证:
（1）
解析:
构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:
例10.求证:
解析:
提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:
从而,
取有,,
所以有,,...,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:
和.
解析:
构造函数后即可证明
例12.求证:
解析:
叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:
（加强命题）
例13.证明:
解析:
构造函数,求导,可以得到:
令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14.已知证明.
解析:
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案）
放缩思路：
。
于是，
即
注：
题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
例15.（20XX年厦门市质检）已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
（I）求证：
函数上是增函数；
（II）当；
（III）已知不等式时恒成立，
求证：
解析:
（I）,所以函数上是增函数
（II）因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
（3）
......
相加后可以得到:
所以令,有
所以
（方法二）
所以
又,所以
例16.（20XX年福州市质检）已知函数若
解析:
设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减.
∴的最小值为，即总有
而
即
令则
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀"小者小,大者大"
解释:
看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19.姐妹不等式:
和
也可以表示成为
和
解析:
利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析:
运用两次次分式放缩:
（加1）
（加2）
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.（20XX年全国高中数学联赛加试改编）在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
（1）证明>>4，;
（2）证明有，使得对都有<.
解析:
（1）依题设有：
，由得：
又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
（2）证明：
设，则
设，则当时，
。
所以，取，对都有：
故有<成立。
例23.（20XX年泉州市高三质检）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？
并证明你的结论。
解析:
首先求出,∵
∴,∵,,...
故当时,,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.（20XX年中学教学参考）设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,
当时,求证:
.
解析:
容易得到,所以,要证只要证,因为
,所以原命题得证.
五、迭代放缩
例25.已知,求证:
当时,
解析:
通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26.设,求证:
对任意的正整数k,若k≥n恒有:
|Sn+k－Sn|<
解析:
又所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析:
设则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28.求证:
解析:
设则
,从而
,相加后就可以得到
例29.若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明：
对任意的整数
，有
解析:
容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31.设函数.若对一切，，求的最大值。
解析:
由知即
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条件是，
即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析:
此数列的通项为
，，
即
注：
①应注意把握放缩的"度"：
上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过"度"了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析:
例34.已知为正数，且，试证：
对每一个，.
解析:
由得，又，故，而，
令，则=，因为，倒序相加得=，
而，
则=，所以，即对每一个，.
例35.求证
解析:
不等式左=，
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
解析:
其中:
因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:
.
解析:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以
所以所以
例39.已知,求证:
.
解析:
.
例40.已知函数f（x）=x2－（－1）k·2lnx（k∈N*）.k是奇数,n∈N*时,
求证:
[f'（x）]n－2n－1·f'（xn）≥2n（2n－2）.
解析:
由已知得，
（1）当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.
（2）,左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以综上，当k是奇数，时，命题成立
例41.（20XX年东北三校）已知函数
（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；
（2）令求证：
★例42.（20XX年江西高考试题）已知函数,.对任意正数,证明：
．
解析:
对任意给定的,,由,
若令，则①,而②
（一）、先证；因为，，，
又由，得．
所以
．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（ⅰ）、当，则，所以，因为，
，此时．
（ⅱ）、当③，由①得,，，
因为所以④
同理得⑤，于是⑥
今证明⑦,因为，
只要证，即，也即，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得．
综上所述，对任何正数，皆有．
例43.求证:
解析:
一方面:
（法二）
另一方面:
十、二项放缩
,
例44.已知证明
解析:
，
即
例45.设，求证：
数列单调递增且
解析:
引入一个结论：
若则（证略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即单调递增。
以代入（）式得
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
注：
①上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：
已知是正整数，且
（1）证明；
（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析对第
（2）问：
用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：
数列递减，且故即。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造"分房问题"概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！
详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析:
因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设，
从而
例47.设，求证.
解析:
观察的结构，注意到，展开得
，
即，得证.
例48.求证:
.
解析:
参见上面的方法,希望读者自己尝试!
）
例42.（20XX年北京海淀5月练习）已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有.
（I）试证明：
为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：
.
解析:
本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
（1）运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
（2）此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按
（1）中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由
（1）可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,,②
,,
在此比较有技巧的方法就是:
所以可以判断③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有=
（3）在解决的通项公式时也会遇到困难.
所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有
.
例49.已知函数f?
x?
的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
①对于任意[0,1]，总有，且；
②若则有
（Ⅰ）求f?
0?
的值；
（Ⅱ）求证：
f?
x?
≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：
.
解析:
（Ⅰ）解：
令，
由①对于任意[0,1]，总有，∴
又由②得即
∴
（Ⅱ）解：
任取且设
则
因为，所以，即
∴.
∴当[0,1]时，.
（Ⅲ）证明：
先用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，，不等式成立；
（2）假设当n=k时，
由
得
即当n=k+1时，不等式成立
由
（1）、
（2）可知，不等式对一切正整数都成立.
于是，当时，，
而[0,1]，单调递增
∴所以，
例50.已知：
求证：
解析:
构造对偶式：
令
则
＝
又（
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在上的可积函数，则.
例51.求证：
.
解析:
，∵，
时，，，
∴，.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52.求证：
，.
解析:
考虑函数在区间上的定积分.
如图，显然-①
对求和，
.
例53.已知.求证：
.
解析:
考虑函数在区间上的定积分.
∵-②
∴.
例54.（20XX年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：
，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明.
解析:
（过程略）.
证明（II）：
由知，∵，∴.
∵当时，，
∴.
证明（Ⅲ）：
由知.
∴恰表示阴影部分面积，
显然④
∴.
奇巧积累:
将定积分构建的不等式略加改造即得"初等"证明，如：
①；
②；
③；
④.
十二、部分放缩（尾式放缩）
例55.求证:
解析:
例56.设求证：
解析:
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例57.设数列满足，当时证明对所有有；
解析:
用数学归纳法：
当时显然成立，假设当时成立即，则当时
，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得
注：
上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：
；证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:
.
解析:
（i）当时,
（ii）当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
（iii）当时,,由（ii）可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
（i）同侧加强
对所证不等式的同一方向（可以是左侧,也可以是右侧）进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:
对一切,都有.
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以.
（ii）异侧加强（数学归纳法）
（iii）双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨"返璞归真",通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:
.
例60.已知数列满足:
求证:
解析:
从而,所以有
所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:
已知数列满足:
求证:
.
解析:
由上可知,又,所以
从而
又当时,,所以综上有.
同题引申:
（20XX年浙江高考试题）已知数列,,,.
记,.求证:
当时.
（1）;
（2）;★（3）.
解析:
（1）,猜想,下面用数学归纳法证明:
（i）当时,,结论成立;
（ii）假设当时,,则时,
从而,所以
所以综上有,故
（2）因为则,,...,,相加后可以得到:
所以
所以
（3）因为,从而,有,所以有
从而
所以
所以
所以综上有.
例61.（20XX年陕西省高考试题）已知数列的首项,,．
（1）证明:
对任意的,,;
（2）证明:
.
解析:
（1）依题,容易得到,要证,,,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的,,
（法二）
原不等式成立．
（2）由
（1）知，对任意的，有
．
取，
则．
原不等式成立．
十四、经典题目方法探究
探究1.（20XX年福建省高考）已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:
.
证明:
首先:
可以得到.先证明
（方法一）
所以
（方法二）因为,相乘得:
从而.
（方法三）设A=,B=,因为A所以,从而.
下面介绍几种方法证明
（方法一）因为,所以,所以有
（方法二）,因为,所以
令,可以得到,所以有
（方法三）设所以,从而,从而
又,所以
（方法四）运用数学归纳法证明:
（i）当时,左边=,右边=显然不等式成立;
（ii）假设时,,则时,
所以要证明,只要
证明,这是成立的.
这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有
探究2.（20XX年全国二卷）设函数.如果对任何，都有，求的取值范围．
解析:
因为,所以
设,则,
因为,所以
（i）当时,恒成立,即,所以当时,恒成立.
（ii）当时,,因此当时,不符合题意.
（iii）当时,令，则故当时,.
因此在上单调增加.故当时,,
即.于是，当时，
所以综上有的取值范围是
变式：
若,其中
且,,求证:
.
证明：
容易得到
由上面那个题目知道
就可以知道
★同型衍变:
（20XX年全国一卷）已知函数.若对任意x∈（0,1）恒有f（x）>1,求a的取值范围.
解析:
函数f（x）的定义域为（-∞,1）∪（1,+∞）,导数为.
（ⅰ）当0f（0）=1,因而这时a满足要求.
（ⅱ）当a>2时,f（x）在区间（-,）为减函数,故在区间（0,）内任取一点,比如取,就有x0∈（0,1）且f（x0）（ⅲ）当a≤0时,对于任意x∈（0,1）恒有
≥,这时a满足要求.
综上可知,所求a的取值范围为a≤2.
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