中考数学总复习概念资料.docx
《中考数学总复习概念资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学总复习概念资料.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学总复习概念资料
中考数学总复习概念资料
中考数学总复习概念资料
代数部分
第一章实数
基础知识点
一实数的分类
1有理数任何一个有理数总可以写成的形式其中pq是互质的整数这是有理数的重要特征
2无理数初中遇到的无理数有三种开不尽的方根如特定结构的不限环无限小数如11XXXXXXXXXX0001特定意义的数如π°等
3判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉往往要经过整理化简后才下结论
二实数中的几个概念
1相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数
1实数a的相反数是-a2a和b互为相反数ab0
2倒数
1实数aa≠0的倒数是2a和b互为倒数3注意0没有倒数
3绝对值
1一个数a的绝对值有以下三种情况
2实数的绝对值是一个非负数从数轴上看一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离
3去掉绝对值符号化简必须要对绝对值符号里面的实数进行数性正负确认再去掉绝对值符号
4n次方根
1平方根算术平方根设a≥0称叫a的平方根叫a的算术平方根
2正数的平方根有两个它们互为相反数0的平方根是0负数没有平方根
3立方根叫实数a的立方根
4一个正数有一个正的立方根0的立方根是0一个负数有一个负的立方根
三实数与数轴
1数轴规定了原点正方向单位长度的直线称为数轴原点正方向单位长度是数轴的三要素
2数轴上的点和实数的对应关系数轴上的每一个点都表示一个实数而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示实数和数轴上的点是一一对应的关系
四实数大小的比较
1在数轴上表示两个数右边的数总比左边的数大
2正数大于0负数小于0正数大于一切负数两个负数绝对值大的反而小
五实数的运算
1加法
1同号两数相加取原来的符号并把它们的绝对值相加
2异号两数相加取绝对值大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值可使用加法交换律结合律
2减法
减去一个数等于加上这个数的相反数
3乘法
1两数相乘同号取正异号取负并把绝对值相乘
2n个实数相乘有一个因数为0积就为0若n个非0的实数相乘积的符号由负因数的个数决定当负因数有偶数个时积为正当负因数为奇数个时积为负
3乘法可使用乘法交换律乘法结合律乘法分配律
4除法
1两数相除同号得正异号得负并把绝对值相除
2除以一个数等于乘以这个数的倒数
30除以任何数都等于00不能做被除数
5乘方与开方乘方与开方互为逆运算
6实数的运算顺序乘方开方为三级运算乘除为二级运算加减是一级运算如果没有括号在同一级运算中要从左到右依次运算不同级的运算先算高级的运算再算低级的运算有括号的先算括号里的运算无论何种运算都要注意先定符号后运算
六有效数字和科学记数法
1科学记数法设N＞0则Na×其中1≤a＜10n为整数
2有效数字一个近似数从左边第一个不是0的数到精确到的数位为止所有的数字叫做这个数的有效数字精确度的形式有两种1精确到那一位2保留几个有效数字
例题
例1已知实数ab在数轴上的对应点的位置如图所示且
化简
分析从数轴上ab两点的位置可以看到a＜0b＞0且
所以可得解
例2若比较abc的大小
分析c＞0所以容易得出
a＜b＜c解略
例3若互为相反数求ab的值
分析由绝对值非负特性可知又由题意可知
所以只能是a–20b20即a2b–2所以ab0解略
例4已知a与b互为相反数c与d互为倒数m的绝对值是1求的值
解原式
例5计算12
解1原式
2原式
代数部分
第二章代数式
基础知识点
一代数式
1代数式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式单独一个数或者一个字母也是代数式
2代数式的值用数值代替代数里的字母计算后得到的结果叫做代数式的值
3代数式的分类
二整式的有关概念及运算
1概念
1单项式像x7这种数与字母的积叫做单项式单独一个数或字母也是单项式
单项式的次数一个单项式中所有字母的指数叫做这个单项式的次数
单项式的系数单项式中的数字因数叫单项式的系数
2多项式几个单项式的和叫做多项式
多项式的项多项式中每一个单项式都叫多项式的项一个多项式含有几项就叫几项式
多项式的次数多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数不含字母的项叫常数项
升降幂排列把一个多项式按某一个字母的指数从小大到大小的顺序排列起来叫做把多项式按这个字母升降幂排列
3同类项所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项
2运算
1整式的加减
合并同类项把同类项的系数相加所得结果作为系数字母及字母的指数不变
去括号法则括号前面是号把括号和它前面的号去掉括号里各项都不变括号前面是–号把括号和它前面的–号去掉括号里的各项都变号
添括号法则括号前面是号括到括号里的各项都不变括号前面是–号括到括号里的各项都变号
整式的加减实际上就是合并同类项在运算时如果遇到括号先去括号再合并同类项
2整式的乘除
幂的运算法则其中mn都是正整数
同底数幂相乘同底数幂相除幂的乘方积的乘方
单项式乘以单项式用它们系数的积作为积的系数对于相同的字母用它们的指数的和作为这个字母的指数对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加
多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项再把所得的积相加
单项除单项式把系数同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有字母则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项再把所得的商相加
乘法公式
平方差公式
完全平方公式
三因式分解
1因式分解概念把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解
2常用的因式分解方法
1提取公因式法
2运用公式法
平方差公式完全平方公式
3十字相乘法
4分组分解法将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解
5运用求根公式法若的两个根是则有
3因式分解的一般步骤
1如果多项式的各项有公因式那么先提公因式
2提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法
3对二次三项式应先尝试用十字相乘法分解不行的再用求根公式法
4最后考虑用分组分解法
四分式
1分式定义形如的式子叫分式其中AB是整式且B中含有字母
1分式无意义B0时分式无意义B≠0时分式有意义
2分式的值为0A0B≠0时分式的值等于0
3分式的约分把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分方法是把分子分母因式分解再约去公因式
4最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时叫做最简分式分式运算的最终结果若是分式一定要化为最简分式
5通分把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程叫做分式的通分
6最简公分母各分式的分母所有因式的最高次幂的积
7有理式整式和分式统称有理式
2分式的基本性质
12
3分式的变号法则分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变
3分式的运算
1加减同分母的分式相加减分母不变分子相加减异分母的分式相加减先把它们通分成同分母的分式再相加减
2乘先对各分式的分子分母因式分解约分后再分子乘以分子分母乘以分母
3除除以一个分式等于乘上它的倒数式
4乘方分式的乘方就是把分子分母分别乘方
五二次根式
1二次根式的概念式子叫做二次根式
1最简二次根式被开方数的因数是整数因式是整式被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式
2同类二次根式化为最简二次根式之后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式
3分母有理化把分母中的根号化去叫做分母有理化
4有理化因式把两个含有二次根式的代数式相乘如果它们的积不含有二次根式我们就说这两个代数式互为有理化因式常用的有理化因式有与与
2二次根式的性质
123a≥0b≥04
3运算
1二次根式的加减将各二次根式化为最简二次根式后合并同类二次根式
2二次根式的乘法a≥0b≥0
3二次根式的除法
二次根式运算的最终结果如果是根式要化成最简二次根式
例题
一因式分解
1提公因式法
例1
分析先提公因式后用平方差公式解略
[规律总结]因式分解本着先提取后公式等但应把第一个因式都分解到不能再分解为止往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查如果还能分解应继续分解
2十字相乘法
例212
分析可看成是和xy的二次三项式先用十字相乘法初步分解解略
[规律总结]应用十字相乘法时注意某一项可是单项的一字母也可是某个多项式或整式有时还需要连续用十字相乘法
3分组分解法
例3
分析先分组第一项和第二项一组第三第四项一组后提取再公式解略
[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组分组的目的是为了用提公因式十字相乘法或公式法解题
4求根公式法
例4解略
二式的运算
巧用公式
例5计算
分析运用平方差公式因式分解使分式运算简单化解略
[规律总结]抓住三个乘法公式的特征灵活运用特别要掌握公式的几种变形公式的逆用掌握运用公式的技巧使运算简便准确
2化简求值
例6先化简再求值其中x–1y
[规律总结]一定要先化到最简再代入求值注意去括号的法则
3分式的计算
例7化简
分析–可看成解略
[规律总结]分式计算过程中1除法转化为乘法时要倒转分子分母2注意负号
4根式计算
例8已知最简二次根式和是同类二次根式求b的值
分析根据同类二次根式定义可得2b17–b解略
[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容特别是二次根式的化简求值及性质的运用是中考的主要考查内容
代数部分
第三章方程和方程组
基础知识点
一方程有关概念
1方程含有未知数的等式叫做方程
2方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根
3解方程求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程
4方程的增根在方程变形时产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根
二一元方程
1一元一次方程
1一元一次方程的标准形式axb0其中x是未知数ab是已知数a≠0
2一玩一次方程的最简形式axb其中x是未知数ab是已知数a≠0
3解一元一次方程的一般步骤去分母去括号移项合并同类项和系数化为1
4一元一次方程有唯一的一个解
2一元二次方程
1一元二次方程的一般形式其中x是未知数abc是已知数a≠0
2一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解法
3一元二次方程解法的选择顺序是先特殊后一般如没有要求一般不用配方法
4一元二次方程的根的判别式
当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根
当Δ0时方程有两个相等的实数根
当Δ0时方程没有实数根无解
当Δ≥0时方程有两个实数根
5一元二次方程根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根那么
6以两个数为根的一元二次方程二次项系数为1是
三分式方程
1定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2分式方程的解法
一般解法去分母法方程两边都乘以最简公分母
特殊方法换元法
3检验方法一般把求得的未知数的值代入最简公分母使最简公分母不为0的就是原方程的根使得最简公分母为0的就是原方程的增根增根必须舍去也可以把求得的未知数的值代入原方程检验
四方程组
1方程组的解方程组中各方程的公共解叫做方程组的解
2解方程组求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
3一次方程组
1二元一次方程组
一般形式不全为0
解法代入消远法和加减消元法
解的个数有唯一的解或无解当两个方程相同时有无数的解
2三元一次方程组
解法代入消元法和加减消元法
4二元二次方程组
1定义由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组
2解法消元转化为解一元二次方程或者降次转化为二元一次方程组
考点与命题趋向分析
例题
一一元二次方程的解法
例1解下列方程
123
分析1用直接开方法解2用公式法3用因式分解法解略
[规律总结]如果一元二次方程形如就可以用直接开方法来解利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程运用公式法解一元二次方程时一定要把方程化成一般形式
例2解下列方程
12
分析1先化为一般形式再用公式法解2直接可以十字相乘法因式分解后可求解
[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别在用公式法时要注意判断△的正负
二分式方程的解法
例3解下列方程
22
分析1用去分母的方法2用换元法解略
[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解一些具有特殊关系如有平方关系倒数关系等的分式方程可采用换元法来解
三根的判别式及根与系数的关系
例4已知关于x的方程有两个相等的实数根求p的值
分析由题意可得0把各系数代入0中就可求出p但要先化为一般形式
[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练还有要特别留意二次项系数不能为0
例5已知ab是方程的两个根求下列各式的值
12
分析先算出ab和ab的值再代入把12变形后的式子就可求出解
[规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式再代入计算但要注意检验一下方程是否有解
例6求作一个一元二次方程使它的两个根分别比方程的两个根小3
分析先出求原方程的两根之和和两根之积再代入求出和的值所求的方程也就容易写出来解略
[规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解但有时这样又太复杂用根与系数的关系就比较简单
三方程组
例7解下列方程组
12
分析1用加减消元法消x较简单2应该先用加减消元法消去y变成二元一次方程组较易求解解略
[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数
例8解下列方程组
12
分析1可用代入消远法也可用根与系数的关系来求解2要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程再与第二个方程分别组成两个方程组来解解略
[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法对于两个二元二次方程组成的方程组一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解
代数部分
第四章列方程组解应用题
知识点
一列方程组解应用题的一般步骤
1审题
2设未知数
3找出相等关系列方程组
4解方程组
5检验作答
二列方程组解应用题常见类型题及其等量关系
1工程问题
1基本工作量的关系工作量工作效率×工作时间
2常见的等量关系甲的工作量乙的工作量甲乙合作的工作总量
3注意工程问题常把总工程看作1水池注水问题属于工程问题
2行程问题
1基本量之间的关系路程速度×时间
2常见等量关系
相遇问题甲走的路程乙走的路程全路程
追及问题设甲速度快
同时不同地甲的时间乙的时间甲走的路程–乙走的路程原来甲乙相距路程
同地不同时甲的时间乙的时间–时间差甲的路程乙的路程
3水中航行问题
顺流速度船在静水中的速度水流速度
逆流速度船在静水中的速度–水流速度
4增长率问题
常见等量关系增长后的量原来的量增长的量增长的量原来的量×1增长率
5数字问题
基本量之间的关系三位数个位上的数十位上的数×10百位上的数×100
三列方程解应用题的常用方法
1译式法就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式然后根据代数之间的内在联系找出等量关系
2线示法就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系然后根据线段长度的内在联系找出等量关系
3列表法就是把已知条件和所求的未知量纳入表格从而找出各种量之间的关系
4图示法就是利用图表示题中的数量关系它可以使量与量之间的关系更为直观这种方法能帮助我们更好地理解题意
例题
例1甲乙两组工人合作完成一项工程合作5天后甲组另有任务由乙组再单独工作1天就可完成若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天求甲乙两组单独完成这项工程各需几天
分析设工作总量为1设甲组单独完成工程需要x天则乙组完成工程需要x2天等量关系是甲组5天的工作量乙组6天的工作量工作总量解略
例2某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地1小时45分后因任务需要又增派乙连乘车前往支援已知乙连比甲连每小时快28千米恰好在全程的处追上甲连求乙连的行进速度及追上甲连的时间
分析设乙连的速度为v千米小时追上甲连的时间为t小时则甲连的速度为v–28千米小时这时乙连行了小时其等量关系为甲走的路程乙走的路程30
例3某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪由于改进了操作技术每天生产的台数比原计划多50结果提前2天完成任务求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台
分析设原计划每天生产通讯设备x台则改进操作技术后每天生产x105台等量关系为原计划所用时间–改进技术后所用时间2天解略
例4某商厦今年一月份销售额为60万元二月份由于种种原因经营不善销售额下降10以后经加强管理又使月销售额上升到四月份销售额增加到96万元求三四月份平均每月增长的百分率是多少
分析设三四月份平均每月增长率为x二月份的销售额为601–10万元三月份的销售额为二月份的1x倍四月份的销售额又是三月份的1x倍所以四月份的销售额为二月份的1x2倍等量关系为四月份销售额为96万元解略
例5一年期定期储蓄年利率为225所得利息要交纳20的利息税例如存入一年期100元到期储户纳税后所得到利息的计算公式为
税后利息
已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元问该储户存入了多少本金
分析设存入x元本金则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2251-20x元方程容易得出
例6某商场销售一批名牌衬衫平均每天售出20件每件盈利40元为了扩大销售增加盈利减少库存商场决定采取适当的降低成本措施经调查发现如果每件衬衫每降价1元商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要盈利1200元每件衬衫应降价多少元
分析设每件衬衫应该降价x元则每件衬衫的利润为40-x元平均每天的销售量为202x件由关系式
总利润每件的利润×售出商品的叫量可列出方程解略
代数部分
第五章不等式及不等式组
知识点
一不等式与不等式的性质
1不等式表示不等关系的式子表示不等关系的常用符号≠＜＞
2不等式的性质
l不等式的两边都加上或减去同一个数不等号方向不改变如a＞bc为实数a＋c＞b＋c
2不等式两边都乘以或除以同一个正数不等号方向不变如a＞bc＞0ac＞bc
3不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向改变如a＞bc＜0ac＜bc
注在不等式的两边都乘以或除以一个实数时一定要养成好的习惯就是先确定该数的数性正数零负数再确定不等号方向是否改变不能像应用等式的性质那样随便以防出错
3任意两个实数ab的大小关系三种
1a–b＞0a＞b
2a–b0ab
3a–b＜0a＜b
41a＞b＞0
2a＞b＞0
二不等式组的解解集解不等式
1能使一个不等式组成立的未知数的一个值叫做这个不等式组的一个解
不等式的所有解的集合叫做这个不等式的解集
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集
2．求不等式组的解集的过程叫做解不等式组
三不等式组的类型及解法
1一元一次不等式
l概念含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式
2解法与解一元一次方程类似但要特别注意当不等式的两边同乘以或除以一个负数时不等号方向要改变
2一元一次不等式组
l概念含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
2解法先求出各不等式的解集再确定解集的公共部分
注求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便
例题
方法1利用不等式的基本性质
1判断正误
1若a＞bc为实数则＞
2若＞则a＞b
分析在l中若c0则在2中因为＞所以C≠0否则应有故a＞b解略
〔规律总结〕将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时要对字母进行讨论
方法2特殊值法
例2若a＜b＜0那么下列各式成立的是
ABab＜0CD
分析使用直接解法解答常常费时间又因为答案在一般情况下成立当然特殊情况也成立因此采用特殊值法
解根据a＜b＜0的条件可取a–2b–l代入检验易知所以选D
[规律总结〕此种方法常用于解选择题学生知识有限不能直接解答时使用特殊值法既快又能找到符合条件的答案
方法3类比法
例3解下列一元一次不等式并把解集在数轴上表示出来
18–2x＋2＜4x–22
分析解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似主要步骤有去分母去括号移项合并同类项把系数化成1需要注意的是不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号要改变方向解略
[规律总结〕解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时不等号的方向必须改变类比法解题使学生容易理解新知识和掌握新知识
方法4数形结合法
例4求不等式组的非负整数解
分析要求一个不等式组的非负整数解就应先求出不等式组的解集再从解集中找出其中的非负整数解解略
方法5逆向思考法
例5已知关于x的不等式的解集是x＞3求a的值
分析因为关于x的不等式的解集为x＞3与原不等式的不等号同向所以有a–20即原不等式的解集为解此方程求出a的值解略
[规律总结]此题先解字母不等式后着眼已知的解集探求成立的条件此种类型题都采用逆向思考法来解
代数部分
第六章函数及其图像
知识点
一平面直角坐标系
1平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了一对应的关系
2不同位置点的坐标的特征
1各象限内点的坐标有如下特征
点Pxy在第一象限x＞0y＞0
点Pxy在第二象限x＜0y＞0
点Pxy在第三象限x＜0y＜0
点Pxy在第四象限x＞0y＜0
2坐标轴上的点有如下特征
点Pxy在x轴上y为0x为任意实数
点Pxy在y轴上x为0y为任意实数
3．点Pxy坐标的几何意义
1点Pxy到x轴的距离是y
2点Pxy到y袖的距离是x
3点Pxy到原点的距离是
4．关于坐标轴原点对称的点的坐标的特征
1点Pab关于x轴的对称点是
2点Pab关于x轴的对称点是
3点Pab关于原点的对称点是
二函数的概念
1常量和变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量保持数值不变的量叫做常量
2函数一般地设在某一变化过程中有两个变量x和y如果对于x的每一个值y都有唯一的值与它对应那么就说x是自变量y是x的函数
1自变量取值范围的确是
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数自变量取值范围是全体实数
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数自变量取值范围是使分母不为0的实数
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数自变量取值范围是使被开方数非负的实数
注意在确定函数中自变量的取值范围时如果遇到实际问题还必须使实际问题有意义
2函数值给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值
3函数的表示方法①解析法②列表法③图像法
4由函数的解析式作函数的图像一般步骤是①列表②描点③连线
三几种特殊的函数
1一次函数
直线位置与kb的关系
1k＞0直线向上
升级会员 