高考数学文第二篇 函数导数及其应用 第6节 二.docx

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高考数学文第二篇函数导数及其应用第6节二

第6节　二次函数与幂函数

【选题明细表】

知识点、方法

题号

二次函数的图象与性质

3,5,8,12

二次函数的最值

7,10

幂函数的图象与性质

1,2,4,6,9,11,13

二次函数的综合问题

14,15,16

基础对点练（时间:

30分钟）

1.（2016·贵州模拟）幂函数y=f（x）经过点（3,）,则f（x）是（　D　）

（A）偶函数,且在（0,+∞）上是增函数

（B）偶函数,且在（0,+∞）上是减函数

（C）奇函数,且在（0,+∞）上是减函数

（D）非奇非偶函数,且在（0,+∞）上是增函数

解析:

设幂函数的解析式为y=xα,

将（3,）代入解析式得3α=,解得α=,所以y=,

故选D.

2.设y1=0.,y2=0.,y3=0.,则（　B　）

（A）y3

（C）y2

解析:

y=是R上的单调递增函数,

所以0.<0.,指数函数y=0.5x是定义域上的单调递减函数,所以0.<0.,故y1

3.（2016·新余三模）若f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（4,+∞）上是增函数,那么实数a的取值范围是（　B　）

（A）3,+∞）（B）-3,+∞）

（C）（-∞,-3]（D）（-∞,5]

解析:

二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,

所以二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在1-a,+∞）上是增函数,

因为在区间（4,+∞）上是增函数,

所以1-a≤4,解得a≥-3.故选B.

4.导学号49612052已知函数f（x）=（m2-m-1）x-5m-3是幂函数且是

（0,+∞）上的增函数,则函数g（x）=的定义域为（　A　）

（A）（1,2）（B）（1,2]

（C）1,+∞）（D）（1,+∞）

解析:

因为函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数且是（0,+∞）上的增

函数,

所以

解得m=-1,

所以函数g（x）==,

所以0

解得1

故函数g（x）的定义域是（1,2）,

故选A.

5.（2016·陕西校级期末）若函数f（x）=x2+bx+c对任意x∈R都有f（x-1）=f（3-x）,则以下结论中正确的是（　A　）

（A）f（0）

（C）f（-2）

解析:

因为函数f（x）=x2+bx+c对任意x∈R都有f（x-1）=f（3-x）,令x-1=t+1,则x=t+2,

所以f（t+1）=f（1-t）,所以函数f（x）关于直线x=1对称.

所以f（0）=f

（2）,f（-2）=f（4）,

因为二次项的系数=1>0,即二次函数f（x）=x2+bx+c的图象是开口向上的抛物线,

所以当x>1时,f（x）单调递增,

所以f

（2）

所以f（0）

6.（2016·全国Ⅲ卷）已知a=,b=,c=2,则（　A　）

（A）b

（C）b

解析:

a3=（）3=24=16,

b3=（）3=9,

c3=

（2）3=25,

所以c3>a3>b3,

所以c>a>b.故选A.

7.（2016·上海模拟）函数f（x）=x2-2x+1在区间0,m]上的最小值为0,最大值为1,则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:

因为f（x）=x2-2x+1=（x-1）2,

所以对称轴x=1,f

（1）=0,f

（2）=1,f（0）=1,

因为f（x）=x2-2x+1在区间0,m]上的最大值为1,最小值为0,

所以

所以1≤m≤2.

答案:

1,2]

8.（2016·南京校级期末）已知函数f（x）=x2+mx-1,若对于任意x∈（m,m+1）,都有f（x）<0成立,则实数m的取值范围是　　　　. 

解析:

因为函数f（x）=x2+mx-1的图象是开口向上的抛物线,

所以要使对于任意x∈（m,m+1）,都有f（x）<0成立,

则

解得-≤m≤0.

答案:

-,0]

9.（2014·全国Ⅰ卷）设函数f（x）=则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　　　　. 

解析:

⇒⇒

所以x<1,

或⇒⇒1≤x≤8

综上所述,x≤8.

答案:

（-∞,8]

10.（2016·衡阳校级模拟）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x.

（1）求f（x）;

（2）求f（x）在区间-1,1]上的最大值和最小值.

解:

（1）设f（x）=ax2+bx+c,

则f（x+1）-f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2ax+a+b,

所以由题恒成立

所以得

所以f（x）=x2-x+1.

（2）f（x）=x2-x+1=（x-）2+在-1,]上单调递减,在,1]上单调递增,

所以f（x）min=f（）=,f（x）max=f（-1）=3.

11.点（,2）在幂函数f（x）的图象上,点（-2,）在幂函数g（x）的图

象上.

（1）求f（x）,g（x）的解析式;

（2）当x取何值时有:

①f（x）>g（x）;②f（x）=g（x）;

③f（x）

解:

（1）设f（x）=xa,得2=（）a,解得a=2,即f（x）=x2.

设g（x）=xb,将（-2,）代入g（x）=xb中,

得=（-2）b,解得b=-2,即g（x）=x-2.

（2）在同一坐标系下作出f（x）=x2和g（x）=x-2的图象如图所示.

由图象可知:

①当x>1或x<-1时,f（x）>g（x）;

②当x=1或x=-1时,f（x）=g（x）;

③当-1

能力提升练（时间:

15分钟）

12.（2015·漳州模拟）函数y=ax2+a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　D　）

解析:

当a>0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向上,且对称轴为x=0,顶点坐标为（0,a）,故排除A,C;当a<0时,二次函数y=ax2+a的图象开口向下,且对称轴为x=0,顶点坐标为（0,a）,函数y=的图象在第二、四象限,故排除B.

13.导学号49612053已知函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数,对任意的x1,x2∈（0,+∞）,且x1≠x2,满足<0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f（a）+f（b）的值（　A　）

（A）恒小于0（B）恒大于0

（C）等于0（D）无法判断

解析:

由已知函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,

当m=2时,f（x）=x3;当m=-1时,f（x）=x-3.

对任意的x1,x2∈（0,+∞）,且x1≠x2,满足<0,

函数是单调减函数,所以m=-1,f（x）=x-3.

a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,

则f（a）+f（b）恒小于0.

故选A.

14.（2016·长宁区一模）已知函数f（x）=x2+2x+1,如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1,m]都成立的m的最大值是5,则实数k=　　　　. 

解析:

设g（x）=x2+（2-k）x+1,

设不等式g（x）≤0的解集为{x|a≤x≤b}.

则Δ=（2-k）2-4≥0,解得k≥4或k≤0.

又因为函数f（x）=x2+2x+1,且f（x）≤kx对任意实数x属于（1,m]恒

成立;

所以（1,m]⊆a,b],

所以a≤1,b≥m,

所以g

（1）=4-k<0,解得k>4,

m的最大值为b,所以有b=5.

即x=5是方程g（x）=0的一个根,代入x=5可以解得k=.

答案:

15.（2016·江西模拟）已知函数f（x）=x2+mx+4.

（1）当x∈（1,2）时,不等式f（x）<0恒成立,求实数m的取值范围;

（2）若不等式||<1的解集中的整数有且仅有1,2,求实数m的取值范围.

解:

（1）x∈（1,2）时,不等式f（x）<0恒成立,

所以即

解得m≤-5,

所以实数m的取值范围是（-∞,-5].

（2）||=|x+|<1,

所以-1

所以-1-

因为不等式||<1的解集中的整数有且仅有1,2,

所以0≤-1-<1,且2<1-≤3,

解得-4

所以实数m的取值范围是（-4,-2）.

16.（2016·杭州校级模拟）设函数f（x）=x2-ax+1（a∈R）.

（1）若对任意x1∈1,2],任意x2∈3,6],都有f（x1）≥f（x2）,求a的取值范围;

（2）若不等式|f（x）|≥2x+1在1,2]上恒成立,求a的取值范围.

解:

（1）由题意可知,对任意x1∈1,2],任意x2∈3,6],总有f（x1）≥f（x2）,只需f（x1）min≥f（x2）max,

f（x）=x2-ax+1的对称轴是x=.

①当≥,即a≥9时,f（x1）min=f

（2）≥f（3）=f（x2）max,显然成立;

②当2≤<,即4≤a<9时,f（x1）min=f

（2）,f（x2）max=f（6）,要使得f（x1）≥f（x2）,则需-2≥6-,即a≥8,故8≤a<9;

③当<2时,即a<4时,显然f

（2）

综上所述,a≥8.

（2）|x2-ax+1|≥2x+1,即x2-ax+1≥2x+1或x2-ax+1≤-2x-1,

即ax≤x2-2x或ax≥x2+2x+2,

又因为x∈1,2],故a≤x-2或a≥x++2.

因为恒成立,所以a≤（x-2）min或a≥（x++2）max,

故a≤-1或a≥5.

好题天天练

1.导学号49612054若关于x的不等式3x2+2ax+b≤0在区间-1,0]上恒成立,则a2+b2-1的取值范围是（　C　）

（A）,+∞）（B）（-1,]

（C）,+∞）（D）（-1,]

解题关键:

由恒成立转化成关于a,b的约束条件,利用线性规划求解.

解析:

设f（x）=3x2+2ax+b,根据已知条件知

该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,

设z=a2+b2-1,a2+b2=1+z;

所以该方程表示以原点为圆心,半径为的圆,

原点到直线-2a+b+3=0的距离为,

所以该圆的半径≥,解得z≥,

所以a2+b2-1的取值范围是,+∞）.

故选C.

2.（2016·辽宁校级期末）已知函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间0,1]上的最大值为2,则a的值为（　D　）

（A）2（B）-1或-3（C）2或-3（D）-1或2

解题关键:

轴动区间动问题对a分类讨论求解.

解析:

函数f（x）=-x2+2ax+1-a的图象开口向下,对称轴为x=a,

①当a≤0时,函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间0,1]上是减函数,

所以f（x）max=f（0）=1-a,由1-a=2,得a=-1,

②当0

所以f（x）max=f（a）=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,

由a2-a+1=2,解得a=或a=,

因为0

③当a>1时,函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间0,1]上是增函数,

所以f（x）max=f

（1）=-1+2a+1-a=a,所以a=2.

综上可知,a=-1或a=2.故选D.