最新九年级数学上册 21圆 2课时与圆有关的概念同步练习新版苏科版.docx

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最新九年级数学上册21圆2课时与圆有关的概念同步练习新版苏科版

第2章对称图形——圆

2．1　第2课时　与圆有关的概念

知识点1　与圆有关的概念

1．图2－1－5中有________条直径，________条非直径的弦，图中以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．

图2－1－5

图2－1－6

2．如图2－1－6，图中的弦有__________，圆心角∠AOD所对的弧是________，弦AB所对的弧有____________．

　图2－1－7

3．如图2－1－7，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中的弦有（　　）

A．2条　　　　B．3条

C．4条　　　　D．5条

4．下列说法中，错误的是（　　）

A．圆有无数条直径

B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦

C．过圆心的线段是直径

D．能够重合的圆叫做等圆

5．如图2－1－8，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC.求证：

BA＝BC.

图2－1－8

知识点2　与圆心角有关的计算

6．[2017·张家界]如图2－1－9，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC.若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是（　　）

A．30°B．45°C．55°D．60°

图2－1－9

图2－1－10

7．如图2－1－10，AB为⊙O的直径，∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的弦为________________．

8．如图2－1－11，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，求∠AOD的度数．

图2－1－11

9．如图2－1－12，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．

图2－1－12

10．教材习题2.1第8题变式如图2－1－13，四边形PAOB是矩形，且点A在OM上，点B在ON上，点P在以点O为圆心的

上，且不与点M，N重合，当点P在

上移动时，矩形PAOB的形状随之变化，则AB的长（　　）

A．逐渐变大B．逐渐变小

C．不变D．不能确定

图2－1－13

图2－1－14

11．如图2－1－14，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.

12．如图2－1－15所示，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．

图2－1－15

13．教材“思考与探索”变式如图2－1－16，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC.

（1）求∠AOB的度数；

（2）求∠EOD的度数．

图2－1－16

14．已知：

如图2－1－17，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：

∠OBA＝∠OCD.

图2－1－17

15．某公园计划建一个形状如图2－1－18①所示的喷水池．

（1）有人建议改为图②所示的形状，且外观直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较这两种方案，哪一种方案需要的材料多（即比较哪个周长更长）?

（2）若将三个小圆改成n个小圆，结论是否还成立？

请说明理由．

图2－1－18

详解详析

1．1　2　4　4

2．AB，BC　

，

3．B　4.C

5．证明：

如图，连接OA，OC.

∵OA＝OB，OB＝OC，

∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO.

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO＝∠CBO，

∴∠BAO＝∠BCO.

又∵OB＝OB，∴△OAB≌△OCB，

∴BA＝BC.

6．D

7．AC，CD，DB　[解析]图中共有3条非直径的弦：

AC，CD，DB，由条件可知△AOC，△BOD，△COD都是等边三角形，所以有OA＝AC＝CD＝DB.

8．解：

∵∠BOC＝110°，∠AOC＋∠BOC＝180°，

∴∠AOC＝70°.

∵AD∥OC，OD＝OA，

∴∠D＝∠A＝∠AOC＝70°，

∴∠AOD＝180°－70°－70°＝40°.

9．：

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，

∴∠B＝50°.

∵CB＝CD，

∴∠BDC＝∠B＝50°，

∴∠BCD＝80°，

∴∠ACD＝10°.

10．C

11．50　[解析]∵在⊙O中，OB＝OD＝OE＝OC，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠CEO.

∵∠A＝65°，

∴∠ODB＋∠CEO＝∠B＋∠C＝115°，

∴∠DOB＋∠EOC＝（180°－2∠B）＋（180°－2∠C）＝360°－2（∠B＋∠C）＝130°，

∴∠DOE＝180°－（∠DOB＋∠EOC）＝50°.

12．[解析]连接OC，由∠OBC＝40°，利用等腰三角形两底角相等求出∠OCB的度数．由三角形内角和定理及∠AOB＝50°求出∠AOC的度数．再利用等腰三角形两底角相等可求∠OAC的度数．

解：

连接OC.

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，

∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°，

∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝50°＋100°＝150°.

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝

（180°－∠AOC）＝15°.

13．解：

（1）∵AB＝OC，OB＝OC，

∴AB＝OB，

∴∠AOB＝∠A＝20°.

（2）如图，∵∠2＝∠A＋∠1，∠1＝∠A，

∴∠2＝2∠A.

∵OB＝OE，

∴∠2＝∠E，

∴∠E＝2∠A，

∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.

14．[全品导学号：

54602066]证明：

过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N.

∵PO平分∠EPE，

∴OM＝ON.

在Rt△OMB和Rt△ONC中，

∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），

∴∠OBA＝∠OCD.

15．

（1）设大圆的直径为d，周长为l，图②中三个小圆的直径分别是d1，d2，d3，周长分别是l1，l2，l3，

则l＝πd＝π（d1＋d2＋d3）＝πd1＋πd2＋πd3＝l1＋l2＋l3，

所以图①中一个大圆的周长与图②中三个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样多．

（2）将三个小圆改成n个小圆，结论仍成立．

理由如下：

设大圆的直径为d，周长为l，n个小圆的直径分别是d1，d2，…，dn，周长分别是l1，l2，…，ln，

则l＝πd＝π（d1＋d2＋…＋dn）＝πd1＋πd2＋…＋πdn＝l1＋l2＋…＋ln，

所以图①中一个大圆的周长与n个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样多．

第2章对称图形——圆

图2－Y－1

1．[2017·徐州]如图2－Y－1，点A，B，C均在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB＝（　　）

A．28°　　B．54°

C．18°　　D．36°

2．[2017·宿迁]若将半径为12cm的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm

3．[2016·南京]已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）

A．1B.

C．2D．2

图2－Y－2

4．[2017·苏州]如图2－Y－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°.以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且

＝

，连接OE，过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）

A．92°B．108°C．112°D．124°

5．[2017·南京]过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（　　）

A．（4，

）B．（4，3）C．（5，

）D．（5，3）

6．[2017·连云港]如图2－Y－3所示，一动点从半径为2的⊙O上的点A0出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从点A2出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处……按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0之间的距离是（　　）

A．4B．2

C．2D．0

图2－Y－3

图2－Y－4

7．[2017·扬州]如图2－Y－4，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO.若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.

8．[2016·南京]如图2－Y－5，扇形OAB的圆心角为122°，C是AB上一点，则∠ACB＝________°.

图2－Y－5

图2－Y－6

9．[2017·镇江]如图2－Y－6，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.

10．[2016·泰州]如图2－Y－7，⊙O的半径为2，点A，C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝

，则图中阴影部分的面积为________．

图2－Y－7

图2－Y－8

11．[2017·盐城]如图2－Y－8，将⊙O沿弦AB折叠，点C在

上，点D在

上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.

12.[2016·南通]已知：

如图2－Y－9，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.

（1）求∠AOB的度数；

（2）若⊙O的半径为2cm，求线段CD的长．

图2－Y－9

13．[2017·淮安]如图2－Y－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF＝BF，EF与AC交于点C.

（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．

图2－Y－10

14．[2016·宿迁]如图2－Y－11①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图②），求∠CAD的度数．

图2－Y－11

15．[2017·盐城]如图2－Y－12，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.

（1）求证：

BC是⊙F的切线；

（2）若点A，D的坐标分别为（0，－1），（2，0），求⊙F的半径；

（3）试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

图2－Y－12

详解详析

1．D　[解析]根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB＝

∠AOB＝

×72°＝36°.故选D.

2．D　3.B

4．C　[解析]连接OD.∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠B＝34°.在⊙O中，∵

＝

，

∴∠COE＝∠COD＝2∠B＝68°.又∵OE⊥EF，∠OCF＝∠ACB＝90°，∴∠F＝112°.故选C.

5．A　[解析]根据题意，可知线段AB的垂直平分线为直线x＝4，所以圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可知r2＝22＋（5－2－r）2，解得r＝

，因此圆心的纵坐标为5－

＝

，因此圆心的坐标为（4，

）．

6．A　[解析]如图所示，当动点运动到点A6处时，与点A0重合，2017÷6＝336……1，即点A2017与点A1重合，点A2017与点A0之间的距离即A0A1的长度，为⊙O的直径，故点A2017与点A0之间的距离是4，因此选A.

7．50　[解析]根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC，便有∠AOC＝2∠B＝80°，再由OA＝OC，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC＝50°.

8．119

9．120　[解析]∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，∴AC⊥AO，即∠CAO＝90°.∵∠CAD＝30°，∴∠DAO＝60°，∴∠BOD＝2∠DAO＝120°.故答案为120.

10.

　[解析]如图，连接AO，CO，则AO＝CO＝2.∵∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝

，∴OD＝1，BO＝

，∴S△ABO＝S△ODC，∠AOB＝30°，∠COD＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＋30°＝150°，∴S阴影部分＝S扇形OAC＝

＝

.故答案为

.

11．110　[解析]如图，设点D′是点D折叠前的位置，连接AD′，BD′，则∠ADB＝∠D′.在圆内接四边形ACBD′中，∠ACB＋∠D′＝180°，所以∠D′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB＝110°.

12．解：

（1）∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠COB.

∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AM.

又BD⊥AM，

∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB.

又∵OC＝OB,

∴∠OCB＝∠B，

∴∠B＝∠OCB＝∠COB＝60°，

∴∠AOB＝120°.

（2）过点O作OE⊥BC于点E，由

（1）得△OBC为等边三角形．

∵⊙O的半径为2cm，

∴BC＝2cm，∴CE＝

BC＝1cm.

由已知易得四边形AOED为矩形，

∴ED＝OA＝2cm，

则CD＝ED－CE＝1cm.

13．解：

（1）直线EF与⊙O相切．

理由：

如图所示，连接OE.

∵EF＝BF，∴∠B＝∠BEF.

∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.

∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.

∴∠AEO＋∠BEF＝90°，

∴∠OEG＝90°，∴OE⊥EF，

∴直线EF与⊙O相切．

（2）如图所示，连接ED.

∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°.

∵∠A＝30°，∴∠ADE＝60°.

又∵OE＝OD，∴△ODE是等边三角形．

∴∠DOE＝60°.

由

（1）知∠OEG＝90°，

∴∠OGE＝30°.

在Rt△OEG中，OG＝2OE＝2OA＝4，

∴EG＝

＝2

，

∴S△OEG＝

OE·EG＝

×2×2

＝2

，S扇形OED＝

×π×22＝

π，

∴S阴影＝S△OEG－S扇形OED＝2

－

π.

14．解：

（1）证明：

如图，连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，

∴∠ABC＝∠CAD.

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠EAD＝90°－∠AED.

∵∠AED＝∠ABD，

∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD，

∴∠EAD＝90°－∠CAD，

即∠EAD＋∠CAD＝90°，

∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

（2）∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∴∠ABC＋∠ADB＝90°.

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，

∴4∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝22.5°，

由

（1）知∠ABC＝∠CAD，

∴∠CAD＝22.5°.

15．解：

（1）证明：

如图，连接EF.

∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠EAC.

∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，

∴∠EAC＝∠FEA，∴EF∥AC，

∴∠BEF＝∠C.

∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，

∴∠BEF＝90°，即EF⊥BC.

又∵EF是⊙F的半径，∴BC是⊙F的切线．

（2）如图，连接DF.

∵A（0，－1），D（2，0），

∴OA＝1，OD＝2.

设⊙F的半径是r，则FD＝r，OF＝r－1.

∵OD⊥OF，

∴OF2＋OD2＝FD2，

即（r－1）2＋22＝r2，解得r＝2.5，

∴⊙F的半径是2.5.

（3）2CD＋AD＝AG.

证明：

如图，过点F作FH⊥AC于点H.

∵F是圆心，FH⊥AC，

∴AH＝DH＝

AD，∠FHD＝90°.

∵∠BEF＝∠C＝90°，∴∠CEF＝90°，

∴四边形CEFH是矩形，∴CH＝EF.

∵AG是⊙F的直径，∴EF＝

AG，

∴CH＝

AG.

∵AD＋CD＝AC＝AH＋CH，

∴AD＋CD＝

AD＋

AG，

∴2CD＋AD＝AG.