四年级奥数巧解图形拼割问题.docx
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四年级奥数巧解图形拼割问题
巧解图形拼割问题
巧点晴——方法和技巧
本讲主要讲述一些趣味性的拼图游戏以及图形面积的各种法，如平移、割补等。
要求同学们熟知一些特殊图形的面积计算公式，如三角形、长方形、梯形的面积公式；善于发现所求图形与基本图形之间的关系，熟练掌握图形的拼、割、补。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】四边形ABCD是一个长方形，画一条直线把这个长方形分成两部分，并使这两部分能够拼成一个平行四边形、三角形或梯形。
问这条直线应该怎么画？
做一做1把下列各图分别剪成三块，各拼成正方形。
【例2】将一个长为9，宽为4的长方形（如下图①）分成两块，然后拼成一个正方形。
分析与解先算出所拼正方形的边长。
因为拼成的正方形的面积与原长方形的面积相等。
4×9=36=6×6，所以正方形的边长是6。
正方形的边长为6，将下图①分成两块，如下图②），然后拼成正方形，如下图③所示：
① ②
③
做一做2将长为36，宽为25的长方形分成两块，然后拼成一个正方形。
【例3】如下图，用方格纸剪成面积是4平方厘米的图形，图形形状有7种。
其中有哪种图形可以拼成面积是16平方厘米的正方形？
①②③④
⑤⑥⑦
做一做3用方格剪成面积是4的图形，其形状只有以下7种。
如果用其中的四种图形拼成面积是16的正方形，那么这种图形的编号和的最小值是。
①②③④
⑤⑥⑦
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】怎样把两张正方纸拼成一个大正方形纸？
分析与解1把两张正方形纸都沿着其一条对角线剪开，然后拼成一张大正方形纸，如下图所示：
分析与解2把两张正方形纸中的一张正方形纸沿其两条对角线剪开，然后拼成一张大正方形纸，如下图所示：
分析与解3把两张正方形纸分别沿其两条对角线剪开，然后拼成一张大正方形纸，如下图所示：
做一做4你能想出例3的其他拼法吗？
【例5】图钉钉画：
把4张长方形画用图钉钉在墙上，要使每张画的4个角上都钉上图钉，一共需要几颗图钉？
方法1如下图所示，把4张画分开钉，每张需4个图钉，用16个图钉。
方法2如下图所示，把几个角叠在一起钉，所需图钉个数可减少，用15个图钉。
方法3如下图所示，用14个图钉。
方法4如下图所示，用13个图钉。
方法5如下图所示，用12个图钉。
方法6如下图所示，用11个图钉。
方法7如下图所示，用10个图钉。
方法8如下图所示，用9个图钉。
做一做5某饭店的餐桌是正方形，能坐4个人，如下图①，按饭店规定，客人在10人以上时，允许客人将餐桌拼成一长条，但每张桌不能有空位，如下图②。
现在王总经理一行12人前来就餐，怎样安排他们的餐桌呢？
①②
【例6】把右图①中的两张纸（单位：
厘米）通过剪拼得到一个正方形纸片，没有剩余。
请问如何剪拼？
40
20
50
50
50
100
分析与解首先必须知道要拼成的正方形的
100
边长是多少。
从已知条件中难以马上确定边长，
而拼成的正方形的面积是这两个图的面积之和，
70
因此拼成的正方形的面积为：
①
100×50＋100×20＋（100－40）×（70－20）
=1000（平方厘米）
由此可知这个正方形的边长正好是100厘米，由于上图①中两个图形都有一条边长正好是100厘米，为了方便，我们选择长为100厘米的边作为拼成的正方形的一条边。
下面的几种方法都能拼出一个正方形。
方法1如果我们把图①中的两个图拼在一起，使其中长100厘米的两条边重合，就得到一个“L”形，如下图②所示。
把这“L”形与正方形比较，缺右上角一个长方形，可以在右下角剪下一块去拼，有可能拼成正方形。
“L”形最下面这条边的长度是：
50＋70=120（厘米），与要拼出的正方形的边长100厘米比较，多出20厘米。
剪下一个20厘米×60厘米的长方形。
再把这个长方形平均分成两份，如图下③所示，拼到右上角，正好形成一个正方形，如图下④所示。
5020
5020
5020
2020
100
40
40
100
50
3030
100
70
②70③④
502030
5020
方法2我们将上图①中右边的不规则图形分成三部分，剪开的方法如下图⑤,拼法如下图⑥。
100
5050
40
100
3030
⑤⑥
5020
方法3我们将上图①中右边的不规则图形分成三部分，剪开的方法如下图⑦，拼法如下图⑧。
2020
50
40
100
100
5050
70
⑦⑧
5020
302050
方法4我们将上图①中左边的长方形分成三部分，拼到右边的图形上，也可以得到一个正方形。
剪开的方法如下图⑨,拼法如下图⑩。
40
2020
100
100
203070
70
⑨⑩
12
11
方法5我们将上图①中左边的长方形分成三部分，拼到右边的图形上，也可以得到一个正方形。
剪开的方法如下图○，拼法如下图○。
20
5020
100
100
40
3030
7030
12
11
○○
小结观察上面的五种方法，你认为哪一种更简便？
做一做6想一想，例6还有其他剪拼的方法吗？
C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军
FN
【例7】试将下图剪一切，拼成一个正六边形。
BAE
CHD
分析与解过A作AH//BC，沿AH剪下一个平行四边形BCHA，把四边形BCHA拼到FGEN，就得到一个正六边形。
做一做7将下图剪成四个形状、大小全相等的小图形。
巧练习——温故知新（十二）
A级冲刺名校·基础点晴
1.先照描下面的图形，再沿着实线与虚线剪成的几个图形拼成一个正方形.
2.把一条长40厘米的线对折2次,再从正中剪断。
问这条线被剪成了几段？
它们的长分别是多少厘米？
3.如下图，方框外面边长5，里面边长为3。
问把方框锯成4块，再拼成一个正方形，可怎样拼？
4.将下图分成4块，使它们的形状、大小都相同，并且每块内都有一个圆圈“○”。
BD
B
ACC
A
D
BBD
DC
AAC
D
5.如下图，有两个正方形，请把每一个正方形分成两块，两个正方形共4块，使这4块的形状、大小都相同，并且每一块中都有A，B，C，D四个字母。
B级培优竞赛·更上层楼
2
6.将下图平均切成三块，再拼成一个正方形。
2
1
3
D
7.把下图划分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中都有一个字母。
AC
B
8.将下面两图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个小圆圈“○”。
9.把下面的这个等边三角形分成8个完全相同的直角三角形。
10.秋收了，打谷场上到处是金黄色的稻谷。
为了不让鸭子糟蹋粮食，王大伯必须把鸭子换起来。
王大伯家有6只鸭子，每只鸭笼只能关1只鸭子。
这些笼子可关多少只鸭子？
C级勇夺冠军
11.如下图，将大等边三角形分成9个完全相同的小等边三边形。
12.把一个用铁丝围成的长10厘米、宽8厘米的长方形，重新围成一个正方形，
13.把下图中两个图形的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们变为一个正方形。
4
7
5
乙
甲
2
2
1010
14.如图，等腰梯形底角为600。
下底长是上底长的2倍。
试将它分成大小形状相同的9个图形。
15.学校要选4个班的同学进行体操表演，每班派16名同学共同组成一个方阵，四个班分别穿红、黄、蓝、白色的体操服，各班站的队形完全相同，并各有旗手一名（如图）。
请问：
他们是怎样站队的？
智慧泉
数字磁铁
人们称495是三位数中的一个怪数，说它像磁铁：
任意一个数字不全相同的三位数，按照一定的规则减来减去，最多不超过6次运算，都会被它“吸引”过去——变成495！
信不信由你，它真的这么怪。
给定一个三位数，例如784。
把这个数中的各位数字（7，8，4），按照从大到小的顺序重新排列，得到784。
显然，它是用7，8，4组成的所有三位数中最大的一个数。
同样，可以排成最小的数：
478。
“最大数”和“最小数”相减，有
874
－478
396
继续对差数396作同样运算，又有
963
－369
594
再对所得的结果作同样的运算，于是
954
－459
495
至此，如果按照上面的规则继续算下去，结果总是495——出现了一个不变的常数495。
这是自然王国的又一件怪事！
其他多位数中是不是也有这样的怪数呢？
除了495外，四位数中也有数亿的怪数6174。
87308532
－0378－2358
83526174
人们将495，6174称为“磁铁数”，把这个事实称为“磁铁数定理”。
与我们提到过的“角谷猜想”不同，这个事实已经被证明了。
下面我们来看看四位数的“磁铁数定理”的证明过程。
设一个四位数的4个数字是a,b,c,d,不妨假定a≥b≥c≥d，而且，a=b=c=d不成立，又设将数字按从大到小排列次序得到的数是M，则有
M=1000a+100b＋10c＋d
设将数字按小到大的次序排列得到的数是N，则有
N=1000d＋100c＋10b＋a
因此有M－N=1000（a－b）＋100（b－c）＋10（c－d）＋（d－c）=999（a－d）＋90（b－c）
在上面的式子里有a－b≥1。
进一步，我们令a－b=1，则有（b－c）的值是0，1；令a－b=2，则有（b－c）的值是0，1，2……以此类推，当a－d=9jf,（b－c）的值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
这样共有2＋4＋5＋…＋10=54种情况，将这些值一一代入上式，并加以验证，按照上面的规定进行运算，不出6步即出现了6147。
想想练练
1.任写20个数字不全相同的三位数，按文中约定方法计算，看最后结果是不是495。
2.任写15个数字不全相同的四位数，按文中约定计算，看最后结果是不是6147。
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