当x=4时,相切;
当x>4时,相离.
易错点 没有对不同的情况进行分类讨论
12.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0),将⊙P沿x轴平移,使其与y轴相切,则平移的距离为1或5.
13.已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.
02 中档题
14.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
15.已知⊙O的半径r=3,设圆心O到直线的距离为d,圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m,给出下列命题:
①若d>5,则m=0;②若d=5,则m=1;③若1<d<5,则m=3;④若d=1,则m=2;⑤若d<1,则m=4.其中正确命题的个数是(C)
A.1B.2C.3D.5
16.⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d.R,d是方程x2-4x+m=0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为4.
17.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,则直线y=x+
与以O点为圆心,1为半径的圆的位置关系为相切.
18.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作⊙P;(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)请你判断
(1)中BC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
解:
(1)如图所示,⊙P即为所求.
(2)BC与⊙P相切.
证明:
过点P作PD⊥BC,垂足为D.
∵CP为∠ACB的平分线,且PA⊥AC,PD⊥CB,
∴PD=PA.∴BC与⊙P相切.
19.如图,平面直角坐标系中,⊙P与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2
.
(1)求⊙P的半径;
(2)将⊙P向下平移,求⊙P与x轴相切时平移的距离.
解:
(1)过点P作PC⊥AB于点C,连接AP.
由垂径定理得:
AC=
AB=
×2
=
.
在Rt△PAC中,由勾股定理,得PA2=PC2+AC2,
即PA2=12+(
)2=4.
∴PA=2.
∴⊙P的半径为2.
(2)将⊙P向下平移,当⊙P与x轴相切时点P到x轴的距离等于半径.
∴平移的距离为2-1=1.
03 链接中考
20.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=
x2-1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为(
,2)或(-
,2).
第2课时 切线的性质与判定
01 基础题
知识点1 切线的性质
1.(2018·湘潭)如图,AB是⊙O的切线,点B为切点.若∠A=30°,则∠AOB=60°.
第1题图 第3题图
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心作⊙C与AB相切,则⊙C的半径为
.
3.(2018·徐州)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D.若∠C=18°,则∠CDA=126°.
4.(2018·哈尔滨改编)如图,点P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=3,求线段BP的长.
解:
连接OA.
∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP=90°.
∵∠P=30°,OB=3,
∴AO=3,OP=6.
∴BP=6-3=3.
知识点2 切线的判定
5.下列命题中正确的是(D)
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到某直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,3cm为半径作⊙A,当AB=6cm时,BC与⊙A相切.
7.(2018·邵阳)如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接BC,BC平分∠ABD.求证:
CD为⊙O的切线.
证明:
∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠DBC=∠OCB.
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD,
∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径,
∴CD为⊙O的切线.
02 中档题
8.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,∠CDB=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则sinE的值为(A)
A.
B.
C.
D.
第8题图 第9题图
9.(2018·合肥名校一模)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与AD的延长线交于点E.若点D是
的中点,且∠ABC=70°,则∠AEC等于(B)
A.80°B.75°C.70°D.65°
10.(2018·泸州改编)在平面直角坐标系内,以原点O为圆心,1为半径作圆,点P在直线y=
x+2
上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为
.
11.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为
的中点.
(1)求证:
AB=BC;
(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.
解:
(1)∵AB是⊙O的切线,
∴∠OBA=90°.
∴∠AOB=90°-30°=60°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=30°=∠A.
∴AB=BC.
(2)四边形BOCD为菱形,理由如下:
连接OD,交BC于点M.
∵D是
的中点,∴OD垂直平分BC.
在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD.
∴OM=MD.∴四边形BOCD为菱形.
12.(2018·六安霍邱县一模)如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆交AB于点D,延长AO交⊙O于点E,连接CD,CE.若CE是⊙O的切线,解答下列问题:
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若BC=4,CD=6,求▱OABC的面积.
解:
(1)证明:
连接OD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠A.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC∥AB.
∴∠EOC=∠A,∠COD=∠ODA.
∴∠EOC=∠DOC.
在△EOC和△DOC中,
∴△EOC≌△DOC(SAS).
∴∠ODC=∠OEC=90°,即OD⊥DC.
∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)由
(1)知CD是⊙O的切线,
∴△CDO为直角三角形.
∵S△CDO=
CD·OD,
又∵OA=BC=OD=4,
∴S△CDO=
×6×4=12.
∴S▱OABC=2S△CDO=24.
03 链接中考
13.(2018·安徽)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E,若点D是AB的中点,则∠DOE=60°.
第3课时 切线长定理
01 基础题
知识点 切线长定理
1.如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,OP交⊙O于点C,下列结论中错误的是(D)
A.∠1=∠2B.PA=PB
C.AB⊥OCD.∠PAB=∠APB
第1题图 第2题图
2.如图,在△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2
,点A在MB上,以AB为直径作⊙O与MC相切于点D,则CD的长为(C)
A.
B.
C.2D.3
3.如图,PA,PB是⊙O的切线,切点为A,B,若OP=4,PA=2
,则∠AOB的度数为(C)
A.60°B.90°
C.120°D.无法确定
第3题图 第4题图
4.(2018·淮北相山区四模)如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C.若∠P=60°,PA=
,则AB的长为2.
5.如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和⊙O相切,且AB=8cm,CD=5cm,则AD+BC=13cm.
6.(教材P41习题T10变式)如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm,求:
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长.
解:
(1)连接OF,根据切线长定理,得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=OCG.
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∴∠OBF+∠OCF=90°.
∴∠BOC=90°.
(2)由
(1)知,∠BOC=90°.
∵OB=6cm,OC=8cm,
∴由勾股定理,得BC=
=10cm.
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm.
7.(教材P39练习T1变式)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度数;
(2)当OA=3时,求AP的长.
解:
(1)∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,OA⊥AP.
又∵∠OAB=30°,
∴∠PAB=60°.
∴△APB为等边三角形.∴∠APB=60°.
(2)连接OP,则∠OPA=
∠APB=30°.
∵OA=3,
∴AP=
=3
.
02 中档题
8.(2018·淮南潘集区模拟)如图,∠ACB=60°,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O沿CB向右滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为(C)
A.2π
B.4π
C.2
D.4
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为(B)
A.2.5B.1.6C.1.5D.1
第9题图 第10题图
10.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)
A.
B.
C.
D.2
11.如图,已知AB为⊙O的直径,AB=2,AD和BE是⊙O的两条切线,A,B为切点,过圆上一点C作⊙O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB.若∠ABC=30°,则AM=
.
12.如图,PA,PB,CD是⊙O的切线,切点分别为点A,B,E,若△PCD的周长为18cm,∠APB=60°,求⊙O的半径.
解:
连接OA,OP,则OA⊥PA.
根据题意,得CA=CE,DE=DB,PA=PB.
∵PC+CE+DE+PD=18cm,
∴PC+CA+DB+PD=18cm.
∴PA=
×18=9(cm).
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴∠APO=
∠APB=30°.
在Rt△AOP中,PO=2AO,
∴OA2+92=(2AO)2,解得OA=3
,
即⊙O的半径为3
cm.
13.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;
(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.
解:
(1)∵PA,PB是⊙O的切线,
∴∠BAP=90°-∠1=70°,PA=PB.
∴∠BAP=∠ABP=70°.
∴∠APB=180°-70°×2=40°.
(2)当∠1=30°时,OP=OD.
理由:
∵∠1=30°,
由
(1)知∠BAP=∠ABP=60°.
∴∠APB=180°-60°×2=60°.
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴∠OPB=
∠APB=30°.
又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°,
∴∠OPB=∠D.∴OP=OD.
03 链接中考
14.(2018·深圳)如图,小明同学测量一个光盘的直径,他只有一把直尺和一块三角板,他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上,并量出AB=3cm,则此光盘的直径是(D)
A.3cmB.3
cm
C.6cmD.6
cm
第14题图 第15题图
15.(2018·娄底)如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD,AB,BC都相切,切点分别为D,E,C,半径OC=1,则AE·BE=1.