初二数学特殊四边形中的动点问题教师版.docx
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初二数学特殊四边形中的动点问题教师版
特殊四边形中的动点问题及解题方法
1、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
(3)当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形?
分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.
(2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.(3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.所有的关系式都可用含有t的方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:
(1)∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得:
t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.
(2)过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t)=4
解得:
t=7(s)即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.(3)由题意知:
QC-PD=EC时,四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2
解得:
t=6.5(s)即当t=6.5(s)时,四边形PQCD为直角梯形.
点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中.
2、如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E.
(1)试说明EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论.
分析:
(1)根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等的角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(3)利用已知条件及正方形的性质解答.
解答:
解:
(1)∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC,∴∠OEC=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC,同理,OC=OF,∴OE=OF.
(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF是矩形.如图AO=CO,EO=FO,∴四边形AECF为平行四边形,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ACB,同理,∠ACF=∠ACG,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACG)=×180°=90°,∴四边形AECF是矩形.(3)△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形,∴AC⊥EN,故∠AOM=90°,∵MN∥BC,∴∠BCA=∠AOM,∴∠BCA=90°,∴△ABC是直角三角形.
点评:
本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论
(1),再利用结论
(1)和矩形的判定证明结论
(2),再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.
3、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?
若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;(4)探究:
t为何值时,△PMC为等腰三角形.
分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就是t,即解;∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:
CA=CN:
CB,
(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM;四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;(3)可先根据QN平分△ABC的周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值,求出△MNC的面积,即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半,由此可得出是否存在符合条件的t值.(4)由于等腰三角形的两腰不确定,因此分三种情况进行讨论:
①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t的值.②当CM=CP时,可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值.综上所述可得出符合条件的t的值.
解答:
解:
(1)∵AQ=3-t
∴CN=4-(3-t)=1+t
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中,cos∠NCM==,CM=.
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD,即4-t=t
解得t=2.(3)如果射线QN将△ABC的周长平分,则有:
MN+NC=AM+BN+AB
即:
(1+t)+1+t=(3+4+5)解得:
t=(5分)而MN=NC=(1+t)∴S△MNC=(1+t)2=(1+t)2
当t=时,S△MNC=(1+t)2=≠×4×3
∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.
(4)①当MP=MC时(如图1)则有:
NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2(1+t)解得:
t=②当CM=CP时(如图2)则有:
(1+t)=4-t
解得:
t=③当PM=PC时(如图3)则有:
在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2
而MN=NC=(1+t)
PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3
∴[(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2
解得:
t1=,t2=-1(舍去)∴当t=,t=,t=时,△PMC为等腰三角形
点评:
此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法.
4、直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O⇒B⇒A运动.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t(秒),△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;(3)当S=485时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.
分析:
(1)分别令y=0,x=0,即可求出A、B的坐标;
(2))因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒,点P的速度是2,从而可求出,当P在线段OB上运动(或0≤t≤3)时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动(或3<t≤8)时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,作PD⊥OA于点D,由相似三角形的性质,得PD=48-6t5,利用S=12OQ×PD,即可求出答案;(3)令S=485,求出t的值,进而求出OD、PD,即可求出P的坐标,利用平行四边形的对边平行且相等,结合简单的计算即可写出M的坐标.
解答:
解:
(1)y=0,x=0,求得A(8,0)B(0,6),
(2)∵OA=8,OB=6,∴AB=10.∵点Q由O到A的时间是81=8(秒),∴点P的速度是6+108=2(单位长度/秒).当P在线段OB上运动(或O≤t≤3)时,
OQ=t,OP=2t,S=t2.当P在线段BA上运动(或3<t≤8)时,
OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,如图,做PD⊥OA于点D,由PDBO=APAB,得PD=48-6t5.∴S=12OQ•PD=-35t2+245t.(3)当S=485时,∵485>12×3×6∴点P在AB上当S=485时,-35t2+245t=485
∴t=4
∴PD=48-6×45=245,AD=16-2×4=8
AD=82-(245)2=325
∴OD=8-325=85
∴P(85,245)
M1(285,245),M2(-125,245),M3(125,-245)
点评:
本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题
(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.
5.已知:
如图,在直角梯形中,,以为原点建立平面直角坐标系,三点的坐标分别为,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒1个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒.
(1)求直线的解析式;
(2)若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的?
(3)动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
6.如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
四边形中的动点问题课后作业
1.如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.
(1)求证:
CD∥AB;
(2)求证:
△BDE≌△ACE;
(3)若O为AB中点,求证:
OF=BE.
2、如图1―4―2l,在边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,说明:
不论E、F怎样移动,三角形BEF总是正三角形.
3、在平行四边形中,为的中点,连接并延长交的延长线于点.
(1)求证:
;
(2)当与满足什么数量关系时,
四边形是矩形,并说明理由.
4、如图l-4-80,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过点A作AG⊥EB,垂足为G,AG交BD于F,则OE=OF.
(1)请证明0E=OF
(2)解答
(1)题后,某同学产生了如下猜测:
对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,AG交EB的延长线于G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,则仍有OE=OF.问:
猜测所得结论是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
5、如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为秒.
(1)求的长.
(2)当时,求的值.
(3)试探究:
为何值时,为等腰三角形.
6.如图所示,有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
(1)试判断四边形PQEF是正方形并证明。
(2)PE是否总过某一定点,并说明理由。
(3)四边形PQEF的顶点位于何处时,
其面积最小,最大?
各是多少?
7、已知:
如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,