2.(2014·金华模拟)椭圆
+
=1的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________.
解析:
以m的值为标准分类,分为五类.
第1类:
m=1时,使n>m,n有6种选择;
第2类:
m=2时,使n>m,n有5种选择;
第3类:
m=3时,使n>m,n有4种选择;
第4类:
m=4时,使n>m,n有3种选择;
第5类:
m=5时,使n>m,n有2种选择.
由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有20个.
答案:
20
考点二
分步乘法计数原理
[例2] 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则
(1)P可表示平面上________个不同的点.
(2)P可表示平面上________个第二象限的点.
[自主解答]
(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:
第1步,确定a的值,共有6种确定方法;
第2步,确定b的值,也有6种确定方法.
根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36.
(2)确定第二象限的点,可分两步完成:
第1步,确定a,由于a<0,所以有3种确定方法;
第2步,确定b,由于b>0,所以有2种确定方法.
由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是3×2=6.
[答案]
(1)36
(2)6
【方法规律】
利用分步乘法计数原理解决问题时要注意
(1)要按事件发生的过程合理分步,即考虑分步的先后顺序.
(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这个事件.
(3)对完成各步的方法数要准确确定.
1.从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,则可组成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个(用数字作答).
解析:
一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知共有3×3×2=18个二次函数.若二次函数为偶函数,则b=0,同上可知共有3×2=6个偶函数.
答案:
18 6
2.如图所示,某电子器件由3个电阻串联而成,形成回路,其中有6个焊接点A,B,C,D,E,F,如果焊接点脱落,整个电路就会不通.现发现电路不通了,那么焊接点脱落的
可能情况共有________种.
解析:
电路不通可能是一个或多个焊接点脱落,问题比较复杂.但电路通的情况却只有一种,即各焊接点全未脱落.因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,而只要有一个焊接点脱落,则电路就不通,故共有26-1=63种可能情况.
答案:
63
高频考点
考点三两个计数原理的综合应用
1.两个计数原理的应用,是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题.
2.高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度:
(1)与数字有关的问题;
(2)涂色问题.
[例3]
(1)(2013·福建高考)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14B.13C.12D.10
(2)(2014·烟台模拟)
如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则涂色方法共有________种.
[自主解答]
(1)当a=0时,关于x的方程为2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求;
当a≠0时,Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).
综上,共有13个满足要求的有序数对.
(2)因为区域1与其他4个区域都相邻,首先考虑区域1,有4种涂法,然后再按区域2,4同色和不同色,分为两类:
第1类,区域2,4同色,有3种涂法,此时区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;
第2类,区域2,4不同色,先涂区域2,有3种方法,再涂区域4,有2种方法,此时区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法.
根据分类加法计数原理,共有48+24=72种满足条件的涂色方法.
[答案]
(1)B
(2)72
与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的问题.可分类解决,每类中又可分步完成;也可以直接分步解决;
(2)涂色问题.可按颜色的种数分类完成;也可以按不同的区域分步完成.
1.(2014·遵义模拟)某公司新招聘进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门;另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门.则不同的分配方案有( )
A.36种B.38种C.108种D.114种
解析:
选A 分两步完成,第一步分组有C
C
C
种方法;第二步分配到两个部门有A
种方法.由分步乘法原理得:
共有C
C
C
A
=36种分配方案.
2.如图所示,将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法共有________种(以数字作答).
解析:
由题设,四棱锥SABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法.
当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故有60×7=420种不同的染色方法.
答案:
420
———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————
2个区别——两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类办法都能独立完成这件事.它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果,只需一种方法就完成
每一步得到的只是其中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步都不可,只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的,并列的,独立的
各步之间是相互依存的,并且既不能重复,也不能遗漏
3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法;
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律;
(3)复杂问题一般是先分类再分步.
数学思想(十二)
计数原理中的分类讨论
由于计数原理一个是分类计数原理,一个是分步计数原理,解决与计数原理有关问题时,要分清两个原理的区别,一般要考虑问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.要求既要合理分类,又要合理分步.
[典例] (2013·山东高考)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243B.252C.261D.279
[解题指导] 排三位数可分步来完成,但要注意有重复数字这一条件.
[解析] 十个数排成不重复数字的三位数求解方法是:
第1步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);
第2步,排十位数字,有9种方法;
第3步,排个位数字,有8种方法,根据乘法原理,共有9×9×8=648个没有重复数字的三位数.
可以组成所有三位数的个数:
9×10×10=900,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.
[答案] B
[题后悟道] 1.本题主要考查两个计数原理,注意到有重复数字三位数这一条件是解题的关键.
2.对于计数问题,有时正确的分类是解决问题的切入点.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.
已知a,b∈{0,1,2,…,9},若满足|a-b|≤1,则称a,b“心有灵犀”.则a,b“心有灵犀”的情形的种数为( )
A.9B.16C.20D.28
解析:
选D 当a为0时,b只能取0,1两个数;当a为9时,b只能取8,9两个数;当a为其他数时,b都可以取3个数.故共有28种情形.
[全盘巩固]
1.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )
A.2160B.720C.240D.120
解析:
选B 分步来完成此事.第1张有10种分法;第2张有9种分法;第3张有8种分法,共有10×9×8=720种分法.
2.a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a不能当副组长,不同选法的种数是( )
A.20B.16C.10D.6
解析:
选B 当a当组长时,则共有1×4=4种选法;当a不当组长时,又因为a也不能当副组长,则共有4×3=12种选法.因此共有4+12=16种选法.
3.(2014·汕头模拟)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )
A.400B.460C.480D.496
解析:
选C 从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D,A同色1种,D,A不同色3种,则有6×5×4×(1+3)=480种不同涂法.
4.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9B.14C.15D.21
解析:
选B ∵P={x,1},Q={y,1,2},且P⊆Q,∴x∈{y,1,2}.
∴当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;
当x=y时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况.
共有7+7=14种情况.即这样的点的个数为14.
5.(2014·济南调研)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40B.16C.13D.10
解析:
选C 分两类情况讨论:
第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;
第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.
根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.
6.(2014·杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A.60B.48C.36D.24
解析:
选B 长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6=36,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.
7.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.则这样的点P的个数为________.
解析:
依题意可知:
当a=1时,b=5,6两种情况;
当a=2时,b=5,6两种情况;
当a=3时,b=4,5,6三种情况;
当a=4时,b=3,4,5,6四种情况;
当a=5或6,b各有6种情况.
所以共有2+2+3+4+6+6=23种情况.
答案:
23
8.集合N={a,b,c}⊆{-5,-4,-2,1,4},若关于x的不等式ax2+bx+c<0恒有实数解,则满足条件的集合N的个数是________.
解析:
依题意知,最多有10个集合N,其中对于不等式ax2+bx+c<0没有实数解的情况可转化为需要满足a>0,且Δ=b2-4ac≤0,因此只有当a,c同号时才有可能,共有2种情况,因此满足条件的集合N的个数是10-2=8.
答案:
8
9.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1解析:
分两步:
第1步,先排a1,a3,a5,若a1=2,有2种排法;若a1=3,有2种排法;若a1=4,有1种排法,所以共有5种排法;
第2步,再排a2,a4,a6,共有6种排法,故有5×6=30种不同的排列方法.
答案:
30
10.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?
(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.
解:
(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得共有36=729种不同的报名方法.
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得共有6×5×4=120种不同的报名方法.
(3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得共有63=216种不同的报名方法.
11.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?
解:
用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法.
第1类:
宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.
第2类:
宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.
第3类:
宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.
由分类加法计数原理得:
6个广告共有36+36+36=108种不同的播放方式.
12.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种(用数字作答).
解:
法一:
从题意来看,6部分种4种颜色的花,又从图形看,知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求解.
(1)2与5同色,则3,6也同色或4,6也同色,所以共有4×3×2×2×1=48种栽种方法;
(2)3与5同色,则2,4或4,6同色,所以共有4×3×2×2×1=48种栽种方法;
(3)2与4且3与6同色,所以共有4×3×2×1=24种栽种方法.
所以共有48+48+24=120种栽种方法.
法二:
记颜色为A,B,C,D四色,先安排1,2,3有4×3×2种不同的栽法,不妨设1,2,3已分别栽种A,B,C,则4,5,6的栽种方法共5种,由以下树状图清晰可见.
根据分步乘法计数原理,共有4×3×2×5=120种不同的栽种方法.
[冲击名校]
1.设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法的种数为( )
A.50B.49C.48D.47
解析:
选B 根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A,B中没有相同的元素,且都不是空集,按A中元素分情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加即可.
第1类,当A中最大的数是1时,A是{1},B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24-1=15种选法;
第2类,当A中最大的数是2时,A可以是{2}或{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23-1)=14种选法;
第3类,当A中最大的数是3时,A可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B可以是{4,5}的非空子集,即有4×(22-1)=12种选法;
第4类,当A中最大的数是4时,A可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},B是{5},即有8×1=8种选法.
综上可知,共有15+14+12+8=49种不同的选择方法.
2.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:
134+3802=3936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为1942的“简单的”有序对的个数为________.
解析:
第1步,1=1+0,或1=0+1,共2种组合方式;
第2步,9=0+9,或9=1+8,或9=2+7,或9=3+6,…,或9=9+0,共10种组合方式;
第3步,4=0+4,或4=1+3,或4=2+2,或4=3+1,或4=4+0,共5种组合方式;
第4步,2=0+2,或2=1+1,或2=2+0,共3种组合方式.
根据分步乘法计数原理,值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3=300.
答案:
300