2．（2014·金华模拟）椭圆
＋
＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
解析：
以m的值为标准分类，分为五类．
第1类：
m＝1时，使n>m，n有6种选择；
第2类：
m＝2时，使n>m，n有5种选择；
第3类：
m＝3时，使n>m，n有4种选择；
第4类：
m＝4时，使n>m，n有3种选择；
第5类：
m＝5时，使n>m，n有2种选择．
由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个．
答案：
20
考点二
分步乘法计数原理
[例2] 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，则
（1）P可表示平面上________个不同的点．
（2）P可表示平面上________个第二象限的点．
[自主解答]
（1）确定平面上的点P（a，b）可分两步完成：
第1步，确定a的值，共有6种确定方法；
第2步，确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
（2）确定第二象限的点，可分两步完成：
第1步，确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；
第2步，确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
[答案]
（1）36
（2）6
【方法规律】
利用分步乘法计数原理解决问题时要注意
（1）要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．
（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．
（3）对完成各步的方法数要准确确定．
1．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）．
解析：
一个二次函数对应着a，b，c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．
答案：
18 6
2.如图所示，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的
可能情况共有________种．
解析：
电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂．但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落．因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．
答案：
63
高频考点
考点三两个计数原理的综合应用
1．两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度：
（1）与数字有关的问题；
（2）涂色问题．
[例3]
（1）（2013·福建高考）满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14B．13C．12D．10
（2）（2014·烟台模拟）
如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则涂色方法共有________种．
[自主解答]
（1）当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对（0，－1），（0,0），（0,1），（0,2）均满足要求；
当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（－1,2），（1，－1），（1,0），（1,1），（2，－1），（2,0）．
综上，共有13个满足要求的有序数对．
（2）因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法，然后再按区域2,4同色和不同色，分为两类：
第1类，区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，共有4×3×2×2＝48种涂法；
第2类，区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4，有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，共有4×3×2×1×1＝24种涂法．
根据分类加法计数原理，共有48＋24＝72种满足条件的涂色方法．
[答案]
（1）B
（2）72
与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略
（1）与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成；也可以直接分步解决；
（2）涂色问题．可按颜色的种数分类完成；也可以按不同的区域分步完成．
1．（2014·遵义模拟）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门．则不同的分配方案有（ ）
A．36种B．38种C．108种D．114种
解析：
选A 分两步完成，第一步分组有C
C
C
种方法；第二步分配到两个部门有A
种方法．由分步乘法原理得：
共有C
C
C
A
＝36种分配方案．
2．如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有________种（以数字作答）．
解析：
由题设，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．
当S，A，B染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S，A，B已染好时，C，D还有7种染法，故有60×7＝420种不同的染色方法．
答案：
420
———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————
2个区别——两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成
每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的，并列的，独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；
（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；
（3）复杂问题一般是先分类再分步．
数学思想（十二）
计数原理中的分类讨论
由于计数原理一个是分类计数原理，一个是分步计数原理，解决与计数原理有关问题时，要分清两个原理的区别，一般要考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步．要求既要合理分类，又要合理分步．
[典例] （2013·山东高考）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243B．252C．261D．279
[解题指导] 排三位数可分步来完成，但要注意有重复数字这一条件．
[解析] 十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：
第1步，排百位数字，有9种方法（0不能作首位）；
第2步，排十位数字，有9种方法；
第3步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8＝648个没有重复数字的三位数．
可以组成所有三位数的个数：
9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
[答案] B
[题后悟道] 1.本题主要考查两个计数原理，注意到有重复数字三位数这一条件是解题的关键．
2．对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现重复或遗漏的现象．
已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形的种数为（ ）
A．9B．16C．20D．28
解析：
选D 当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数；当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．
[全盘巩固]
1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（ ）
A．2160B．720C．240D．120
解析：
选B 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是（ ）
A．20B．16C．10D．6
解析：
选B 当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．
3.（2014·汕头模拟）如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同涂法的种数为（ ）
A．400B．460C．480D．496
解析：
选C 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，则有6×5×4×（1＋3）＝480种不同涂法．
4．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（ ）
A．9B．14C．15D．21
解析：
选B ∵P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，∴x∈{y,1,2}．
∴当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况；
当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．
共有7＋7＝14种情况．即这样的点的个数为14.
5．（2014·济南调研）已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（ ）
A．40B．16C．13D．10
解析：
选C 分两类情况讨论：
第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．
根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．
6．（2014·杭州模拟）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）
A．60B．48C．36D．24
解析：
选B 长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
7．在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5.则这样的点P的个数为________．
解析：
依题意可知：
当a＝1时，b＝5,6两种情况；
当a＝2时，b＝5,6两种情况；
当a＝3时，b＝4,5,6三种情况；
当a＝4时，b＝3,4,5,6四种情况；
当a＝5或6，b各有6种情况．
所以共有2＋2＋3＋4＋6＋6＝23种情况．
答案：
23
8．集合N＝{a，b，c}⊆{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．
解析：
依题意知，最多有10个集合N，其中对于不等式ax2＋bx＋c<0没有实数解的情况可转化为需要满足a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有2种情况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.
答案：
8
9．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai（i＝1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1解析：
分两步：
第1步，先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，所以共有5种排法；
第2步，再排a2，a4，a6，共有6种排法，故有5×6＝30种不同的排列方法．
答案：
30
10．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？
（不一定六名同学都能参加）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解：
（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有36＝729种不同的报名方法．
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有6×5×4＝120种不同的报名方法．
（3）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有63＝216种不同的报名方法．
11．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
解：
用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．
第1类：
宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第2类：
宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第3类：
宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
由分类加法计数原理得：
6个广告共有36＋36＋36＝108种不同的播放方式．
12.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种（用数字作答）．
解：
法一：
从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求解．
（1）2与5同色，则3,6也同色或4,6也同色，所以共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；
（2）3与5同色，则2,4或4,6同色，所以共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；
（3）2与4且3与6同色，所以共有4×3×2×1＝24种栽种方法．
所以共有48＋48＋24＝120种栽种方法．
法二：
记颜色为A，B，C，D四色，先安排1,2,3有4×3×2种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽种A，B，C，则4,5,6的栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×5＝120种不同的栽种方法．
[冲击名校]
1．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法的种数为（ ）
A．50B．49C．48D．47
解析：
选B 根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集，按A中元素分情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加即可．
第1类，当A中最大的数是1时，A是{1}，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，即有24－1＝15种选法；
第2类，当A中最大的数是2时，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，即有2×（23－1）＝14种选法；
第3类，当A中最大的数是3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，即有4×（22－1）＝12种选法；
第4类，当A中最大的数是4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，B是{5}，即有8×1＝8种选法．
综上可知，共有15＋14＋12＋8＝49种不同的选择方法．
2．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如：
134＋3802＝3936），则称（m，n）为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对（m，n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数为________．
解析：
第1步，1＝1＋0，或1＝0＋1，共2种组合方式；
第2步，9＝0＋9，或9＝1＋8，或9＝2＋7，或9＝3＋6，…，或9＝9＋0，共10种组合方式；
第3步，4＝0＋4，或4＝1＋3，或4＝2＋2，或4＝3＋1，或4＝4＋0，共5种组合方式；
第4步，2＝0＋2，或2＝1＋1，或2＝2＋0，共3种组合方式．
根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.
答案：
300
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