完整word版图论算法及matlab程序的三个案例docx.docx
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图论实验三个案例
单源最短路径问题
1.1Dijkstra算法
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。
其基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S当且
仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
设
v是图中的一个顶点，记
l（v）为顶点
v到源点v1的最短距离，
vi,vjV，若（vi,vj）E，记vi到vj的权wij
。
Dijkstra算法：
①S{v1},l（v1）0；vV{v1},l（v）,i1,SV{v1}；
②S，停止，否则转③；
③l（v）min{l（v）,d（vj,v）}，vjS，vS；
④存在vi1，使l（vi1）min{l（v）}，vS；
⑤SSU{vi1}，SS{vi1}，ii1，转②；
实际上，Dijkstra算法也是最优化原理的应用：
如果v1v2Lvn1vn是从v1到vn的最短路径，则v1v2Lvn1也必然是从v1到vn1的最优路径。
实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第
i行第j行元
在下面的MATLAB
素表示顶点vi到vj的权wij，若vi到vj无边，则wij
realmax，其中realmax是
MATLAB常量，表示最大的实数（1.7977e+308）。
functionre=Dijkstra（ma）
%用Dijkstra算法求单源最短路径
%输入参量ma是距离矩阵
%输出参量是一个三行n列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和
前顶点
n=size（ma,1）;%得到距离矩阵的维数
s=ones（1,n）;s
（1）=0;%标记集合S和S的补
r=zeros（3,n）;r（1,:
）=1:
n;r（2,2:
end）=realmax;%初始化
fori=2:
n;%控制循环次数
mm=realmax;
forj=find（s==0）;%集合S中的顶点
fork=find（s==1）;%集合S补中的顶点
if（r（2,j）+ma（j,k）
r（2,k）=r（2,j）+ma（j,k）;r（3,k）=j;
end
if（mm>r（2,k））
mm=r（2,k）;t=k;
end
end
end
s（1,t）=0;%找到最小的顶点加入集合S
end
re=r;
1.2动态规划求解最短路径
动态规划是美国数学家RichardBellman在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。
动态规划应用了最佳原理：
假设为了解决某一
优化问题，需要依次作出n个决策D1,D2,L,Dn，如若这个决策是最优的，对于
任何一个整数k，1于由前面决策所确定的当前状态，即Dk1,Dk2,L,Dn也是最优的。
如图1，从A1点要铺设一条管道到A16点，中间必须要经过5个中间站，第
一站可以在{A2，A3}中任选一个，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是：
{A4，A5，A6，A7}，{A8，A9，A10}，{A11，A12，A13}，{A14，A15}。
连接两地管道的距离用连线上的数字表示，要求选一条从A1到A16的铺管线路，使总距离最短。
1
A4
6
2
3
8
8
A
11
3
2
A
14
A
A
3
2
5
A
5
5
6
5
5
4
1
A
1
8
3
A9
A12
2
A16
3
6
2
7
A
3
6
3
A
3
A
3
6
8
6
15
A10
3
A13
A7
4
图1可选择的管道图
解决此问题可以用穷举法，从A1到A16有48条路径，只须比较47次，就可
得到最短路径为：
A1→A2→A5→A8→A12→A15→A16，最短距离为18。
也可以使用Dijkstra算法。
这里，我们动态规划解决此问题。
注意到最短
路径有这样一个特性，即如果最短路径的第
k站通过
k，则这一最短路径在由
P
Pk出发到达终点的那一部分路径，对于始点为
Pk到终点的所有可能的路径来说，
必定也是距离最短的。
根据最短路径这一特性，启发我们计算时从最后一段开始，从后向前逐步递推的方法，求出各点到A16的最短路径。
在算法中，我们用数组六元数组ss表示中间车站的个数（A1也作为中间车
站），用距离矩阵path表示该图。
为简便起见，把该图看作有向图，各边的方向均为从左到右，则path不是对称矩阵，如path（12,14）=5，而path（14,12）=0（用
0表示不通道路）。
用3′16矩阵spath表示算法结果，第一行表示结点序号，第
二行表示该结点到终点的最短距离，第三行表示该结点到终点的最短路径上的下
一结点序号。
下面给出MATLAB实现算法。
function[scheme]=ShortestPath（path,ss）
%利用动态规划求最短路径
%path是距离矩阵,ss是车站个数
n=size（path,1）;%结点个数
scheme=zeros（3,n）;%构造结果矩阵
scheme（1,:
）=1:
n;%设置结点序号
scheme（2,1:
n-1）=realmax;%预设距离值
k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号
fori=size（ss,2）:
-1:
1;%控制循环阶段数
forj=k:
-1:
（k-ss（i）+1）;%当前阶段结点循环
fort=find（path（j,:
）>0）;%当前结点邻接结点
ifpath（j,t）+scheme（2,t）
scheme（2,j）=path（j,t）+scheme（2,t）;
scheme（3,j）=t;
end
end
end
k=k-ss（i）;移入下一阶段
end
先在MATLAB命令窗口中构造距离矩阵path，再输入：
>>ShortestPath（path,ss）
得到以下结果：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
13
16
13
10
9
12
7
6
8
7
5
9
4
3
0
2
5
6
8
8
9
10
12
12
12
14
15
15
16
16
0
将该结果表示为图，即为图1粗线所示。
棋盘覆盖问题
1.1问题的提出
在一个2k2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称
该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊的棋盘。
如图1就是当k3时的特
殊棋盘。
棋盘覆盖问题中，我们要用图2所示4种不同形态的L形骨牌覆盖一个
特殊棋盘，且任何2个L型不得重叠覆盖。
图1当k=3时的特殊棋盘
（a）（b）（c）（d）
图24种不同形态的L型骨牌
1.2问题的分析
易知，用到的L型骨牌个数恰为（4k1）/3。
利用分治策略，我们可以设计出解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。
当k>0时，我们将2k2k棋盘分割为4个2k12k1子棋盘如图3两粗实线所
示。
1
2
3
图3棋盘分割
图4关键结点
特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。
为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个L型骨牌覆盖
这3个较小棋盘的会合处，如图4中央L型骨牌所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归地使用这种分割，直至棋盘简化为11棋盘。
1.3算法的MATLAB实现
首先特殊方格在棋盘中的位置可以用一个12的数组sp表示；对于图2所示的4种L型骨牌，可用数字1,2,3,4表示；对于特殊棋盘的骨牌覆盖表示，只
须注意到图4所示的关键点，对每个关键点，给定一种L型骨牌，就能覆盖整个
棋盘，所以对于2k2k的特殊棋盘的骨牌覆盖，可用一个
（2k
1）（2k1）的矩阵
表示。
按照这种思想，图4的矩阵表示为：
1
0
4
0
1
0
2
0
4
0
0
0
2
0
4
0
3
0
2
0
3
0
0
0
3
0
0
0
1
0
4
0
3
0
2
0
4
0
0
0
3
0
k，特殊方格位置为：
[1,4]
，覆盖矩阵为：
4
0
3
0
4
0
3
=4
下面是在MATLAB中的棋盘覆盖实现程序。
functionre=chesscover（k,sp）
%解决棋盘的覆盖问题
%棋盘为2^k*2^k，sp为特殊方格的棋盘位置
globalcovermatrix
covermatrix=zeros（2^k-1,2^k-1）;
even1=floor（sp（1,1）/2）*2==sp（1,1）;%判断水平位置是否是偶数
even2=floor（sp（1,2）/2）*2==sp（1,2）;%判断竖直位置是否是偶数
ifeven1==1&&even2==0%找出找出特殊方格相对关键结点的位置
i=4;
else
i=even1+even2+1;
end
tempfun（1,1,k,[sp（1,1）-even1,sp（1,2）-even2,i]）;
re=covermatrix;
functiontempfun（top,left,k,tp）%子函数,tp为转换后特殊方格在棋盘网
络的相对位置
globalcovermatrix
ifk==1
switchtp（1,3）
case1
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=3;
case2
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=4;
case3
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=1;
case4
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=2;
end
else
half=2^（k-1）;i=top+half-1;j=left+half-1;
iftp（1,1）
iftp（1,2）
covermatrix（i,j）=3;%添加类型为3的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,tp）;
tempfun（top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]
）;
tempfun（top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]）;
else%特殊方格在右上
covermatrix（i,j）=4;%添加类型为4的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,[i-1,j-1,3]）;
tempfun（top,left+half,k-1,tp）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]
）;
tempfun（top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]）;
end
else
iftp（1,2）>j%特殊方格在右下
covermatrix（i,j）=1;%添加类型为3的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,[i-1,j-1,3]）;
tempfun（top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,tp）;
tempfun（top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]）;
else%特殊方格在左下
covermatrix（i,j）=2;%添加类型为4的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,[i-1,j-1,3]）;
tempfun（top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]
）;
tempfun（top+half,left,k-1,tp）;
end
end
end
在MATLAB命令窗口中输入指令chesscover（3,[1,4]）
将会得到如上面矩阵一样的结果。
结合VC++，利用MATLAB引擎库函数，可以给出了棋盘覆盖的图形
最优树的应用实例
1.1问题的提出
已知某通信系统在通信联络中只可能出现8种字符，其概率分别为0.05，
0.29，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11，试设计一种编码，使得信息包长
度达到最小。
1.2问题的分析
ASCII码是用8位（一个字节）表示一个字符，这种表示方法方便，易于理解，是计算机系统中常用的字符表示方法。
在信息传输领域，可能有些字符出现的频率非常高，而有些字符出现的频率很低，若依然用此方法表示数据，则显得过于庞大，如果用不定长编码表示字符，频率出现高的字符用较短的编码表示，频率出现低的字符用较长的编码表示，则可以使得数据量大大减少。
比如AAAABBBAAABBBBCCCCCCBBB，用ASCII码表示占用184位，若用00表示C，01表示A，1表示B，则该字串占用位数为36，压缩率达到19.6%，这种编码称为哈夫曼编码。
当然也可用其它方式压缩数据，例如上面字符串写成
4A3B3A4B6C3B，而达到压缩数据的目的。
1.3哈夫曼树的构造
要构造哈夫曼编码，需要构造哈夫曼树（即最优树）。
哈夫曼最早给出了一
个带有一般规律的算法，俗称哈夫曼算法。
现叙述如下：
①根据给定的n个概率（或频率）构造一个集合F{f1,f2,L,fn}，同时这
n个值对应树T的n个结点，置in1。
②在集合F中选择两个最小的值求和作为fi加入集合F中；在树T中构造一结点，使得该结点是两最小值对应结点的父结点。
③在集合F中删除两最小值，并置ii1。
④重复②和③，直到i2n1或集合F只有一个元素为止。
这样形成的一棵树就是哈夫曼树（最优树）。
上面所提到的字符串和题目给出的概率所形成的哈夫曼树分别如图1和图2（为方便起见，每个概率值乘上了100）。
100
0
1
23
42
58
0
1
0
1
0
1
13
10
23
19
29
29
1
0
1
B
0
1
0
11
0
8
14
15
6
7
1
0
1
C
A
5
3
7
8
图1
图2
1.4用MATLAB哈夫曼算法
在MATLAB中哈夫曼算法，可用一个5（2n1）的矩来表示哈夫曼，矩的含如表6-3-3所示。
表1哈夫曼算法数据构
字符
1
2
3
4
5
⋯⋯⋯2n-1
序号
概率
父点
序号
左右子
0表示
1
表示
志
左子
右子
是否在
1在集
0
不在
集合F
合F
集合F
下面出哈夫曼的生成算法：
functionhtree=HuffmanTree（pro）
%构造哈夫曼
%pro一概率向量
n=size（pro,2）;%得到字符个数
tree=ones（6,2*n-1）;%构造数据构
tree（1,:
）=1:
（2*n-1）;%填充点序号
tree（5,（n+1）:
end）=0;%置点是否在集合
tree（2,1:
n）=pro;%设置概率
tree（6,1:
end）=0;%记录查找的结点对顺序
fori=（n+1）:
（2*n-1）;%循环控制
[l,r]=findminval（tree）;%找到集合中两个最小的值的序号
tree（2,i）=tree（2,l）+tree（2,r）;%得到父结点概率值
tree（5,i）=1;%设置新构造结点在集合中
tree（3,l）=i;tree（3,r）=i;%设置父结点序号
tree（4,l）=0;tree（4,r）=1;%设置左右标志
tree（5,l）=0;tree（5,r）=0;%设置不在集合中
tree（6,l）=i-n;tree（6,r）=i-n;%记录该次删除的结点对顺序
end
htree=tree;
function[l,r]=findminval（tree）
s=find（tree（5,:
）==1）;
ifsize（s,2）<2
error（'Errorinput!
'）;
end
firval=realmax;secval=realmax;
fori=s;
iffirval>tree（2,i）
ifsecval>firval
second=first;secval=firval;
end
first=i;firval=tree（2,i）;
elseifsecval>tree（2,i）
second=i;secval=tree（2,i）;
end
end
l=min（[first,second]）;r=max（[first,second]）;
该算法还显示了删除结点对的先后顺序。
在MATLAB命令窗口输入以下指令：
>>a=[529781423311];
>>HuffmanTree（a）
将会显示如表6-3-4所示结果。
表2哈夫曼树
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5
29
7
8
14
23
3
11
8
15
19
29
42
58
100
9
14
10
10
12
13
9
11
11
12
13
14
15
15
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
6
2
2
4
5
1
3
3
4
5
6
7
7
0
把该表画成一张图，就是图2。
若约定左子树表示0，右子树表示1，从根结点走到叶子结点，则可得到各叶子结点的哈夫曼编码（见图2）。
本例各字符的哈夫曼编码分别为：
字符1（概率值0.05）
：
0110
字符2（概率值0.29）
：
10
字符3（概率值0.07）
：
1110
字符4（概率值0.08）
：
1111
字符5（概率值0.14）
：
110
字符6（概率值0.23
升级会员 