第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积 届高考数学理总复习检测含答案.docx
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第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积届高考数学理总复习检测含答案
第三节 平面向量的数量积
【最新考纲】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
1．平面向量的数量积
（1）定义：
已知两个非零向量ɑ和b，它们的夹角为θ，则数量|ɑ||b|cos_θ叫做ɑ与b的数量积（或内积）．规定：
零向量与任一向量的数量积为0．
（2）几何意义：
数量积ɑ·b等于ɑ的长度|ɑ|与b在ɑ的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
（1）交换律：
ɑ·b＝b·ɑ；
（2）数乘结合律：
（λɑ）·b＝λ（ɑ·b）＝ɑ·（λb）；
（3）分配律：
ɑ·（b＋c）＝ɑ·b＋ɑ·c．
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量ɑ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ＝〈ɑ，b〉．
1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）由ɑ·b＝0，可得ɑ＝0或b＝0.（ ）
（2）由ɑ·b＝ɑ·c及ɑ≠0不能推出b＝c.（ ）
（3）在四边形ABCD中，
＝
且
·
＝0，则四边形ABCD为矩形．（ ）
（4）若ɑ·b＞0，则ɑ与b的夹角为锐角；若ɑ·b＜0，则ɑ和b的夹角为钝角．（ ）
解析：
由数量积的定义，
（2）显然正确．
在
（1）中，若ɑ≠0，b≠0时，应有ɑ⊥b，
（1）错．
在（3）中，四边形ABCD为菱形，（3）不正确．
在（4）中，若〈ɑ，b〉＝0，有ɑ·b＞0；若〈ɑ，b〉＝π，有ɑ·b＜0，（4）错．
答案：
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2．（2015·山东卷）已知菱形ABCD的边长为ɑ，∠ABC＝60°，则
·
＝（ ）
A．－
ɑ2 B．－
ɑ2 C.
ɑ2 D.
ɑ2
解析：
由条件得
·
＝
·
＝
ɑ·ɑcos30°＝
ɑ2.
答案：
D
3．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝
，若向量ɑ＝3e1－2e2，则|ɑ|＝________．
解析：
由题意知|ɑ|2＝ɑ2＝（3e1－2e2）2＝9e
＋4e
－12e1·e2＝9＋4－12×
＝9.故|ɑ|＝3.
答案：
3
4．（2016·郑州二检）已知点A（－1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量
在
方向上的投影为________．
解析：
∵
＝（0，3）－（－1，1）＝（1，2），
＝（3，4）－（－1，1）＝（4，3），
∴
在
方向上的投影为
＝
＝2.
答案：
2
5．设向量ɑ＝（3，3），b＝（1，－1）．若（ɑ＋λb）⊥（ɑ－λb），则实数λ＝________．
解析：
|ɑ|＝3
，|b|＝
，因为（ɑ＋λb）⊥（ɑ－λb），所以（ɑ＋λb）·（ɑ－λb）＝|ɑ|2－λ2|b|2＝18－2λ2＝0.
故λ＝±3.
答案：
±3
一个条件
两个非零向量垂直的充要条件：
ɑ⊥b⇔ɑ·b＝0.
一种方法
利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
两个探究
1．若ɑ·b＞0，能否说明ɑ和b的夹角为锐角？
（不能）
2．若ɑ·b＜0，能否说明ɑ和b的夹角为钝角？
（不能）
三个防范
1．数量积运算不满足消去律，若向量ɑ，b，c满足ɑ·b＝ɑ·c（ɑ≠0），则不一定有b＝c.
2．数量积运算不满足结合律，即（ɑ·b）c≠ɑ（b·c），这是由于（ɑ·b）c表示一个与c共线的向量，ɑ（b·c）表示一个与ɑ共线的向量，而ɑ与c不一定共线．
3．理解向量夹角的概念，比如正三角形ABC中，
与
的夹角应为120°，而不是60°.
一、选择题
1．（2014·课标全国Ⅱ卷）设向量ɑ，b满足|ɑ＋b|＝
，|ɑ－b|＝
，则ɑ·b＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：
|ɑ＋b|2＝（ɑ＋b）2＝ɑ2＋2ɑ·b＋b2＝10，
|ɑ－b|2＝（ɑ－b）2＝ɑ2－2ɑ·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4ɑ·b＝4，∴ɑ·b＝1.
答案：
A
2．已知ɑ＝（3，－2），b＝（1，0），向量λɑ＋b与ɑ－2b垂直，则实数λ的值为（ ）
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