高考物理重点专题突破 8.docx

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高考物理重点专题突破8

第3节

单__摆

1.单摆是一个理想化模型，在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。

单摆的回复力由重力沿圆弧切向的分力提供。

2．单摆的周期公式为：

T＝2π，此式仅在摆角小于5°时成立，单摆的周期由摆长l和重力加速度g共同决定，与摆球质量无关。

3．由T＝2π得g＝，根据此式可求出某地的重力加速度。

单摆的运动

[自读教材·抓基础]

1．定义

把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆。

2．单摆的回复力

（1）回复力的来源：

摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

（2）回复力的特点：

在偏角很小时，单摆的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。

3．运动规律

单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。

[跟随名师·解疑难]

1．单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的要求是什么？

（1）细线形变要求：

细线的伸缩可以忽略。

（2）细线与小球质量要求：

细线质量与小球质量相比可以忽略。

（3）小球密度要求：

小球的密度较大。

（4）线长度要求：

球的直径与线的长度相比可以忽略。

（5）受力要求：

与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以忽略。

（6）摆角要求：

单摆在摆动过程中要求摆角小于5°。

2．单摆做简谐运动的条件

判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符

合F＝－kx的特点，如图所示。

（1）在任意位置P，有向线段OP―→为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力。

（2）在摆角很小时，sinθ≈θ＝，G1＝Gsinθ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－。

令k＝，则F回＝－kx。

因此，在摆角θ不超过5°时，单摆做简谐运动。

3．单摆的运动特点

（1）摆球以悬挂点（O′点）为圆心在竖直平面内做变速圆周运动。

（2）摆球以最低点（O点）为平衡位置做简谐运动。

[特别提醒]

（1）单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力，当然向心力也不是摆球所受的合外力（最高、最低点除外）。

（2）摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）

1．关于单摆，下列说法中正确的是（　　）

A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B．摆球受到的回复力是它的合力

C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比

解析：

选A　单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，回复力才成正比。

单摆的周期

[自读教材·抓基础]

1．实验探究单摆的周期

（1）探究方法：

用控制变量法分别研究可能会影响单摆周期的因素：

摆球的质量、摆长和振幅、重力加速度。

（2）实验结论：

①单摆周期与摆球质量无关。

②单摆周期与振幅无关。

③单摆的摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。

2．周期公式

（1）公式：

T＝2π。

（2）单摆的等时性：

单摆的周期与振幅无关。

[跟随名师·解疑难]

1．如何确定“单摆模型”中的摆长？

（1）图（a）中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsinα，这就是等效摆长，其周期T＝2π。

图（b）中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效。

（2）如图（c）所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度（θ很小）的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π。

（3）圆锥摆

如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，而是匀速圆周运动，周期T＝2π。

2．公式中重力加速度g的变化与等效

（1）若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。

（2）等效重力加速度：

若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图所示，球静止在O时，FT＝mgsin

θ，等效加速度g′＝＝gsinθ。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）

2．将秒摆（周期为2s）的周期变为1s，下列措施可行的是（　　）

A．将摆球的质量减半　　B．将振幅减半

C．将摆长减半D．将摆长减为原来的

解析：

选D　由单摆的周期公式T＝2π可以看出，要使周期减半，摆长应为原来的，摆球的质量和振幅变化，并不影响单摆的周期，故只有D正确。

利用单摆测定重力加速度

1.实验原理

由T＝2π得g＝，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。

2．实验步骤

（1）做单摆

①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结。

②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。

（2）测摆长

用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米；则l＝l′＋，即为单摆的摆长。

（3）测周期

将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。

计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。

（4）变摆长

将单摆的摆长变短（或变长），重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。

3．数据处理

（1）平均值法：

每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。

实验

次数

摆长

l/m

周期T/s

加速度g/m·s－2

g平均值

1

g＝

2

3

（2）图像法：

由T＝2π得T2＝l，作出T2－l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。

4．注意事项

（1）选材：

摆线应选择细、轻且不易伸长的线（长度为1m左右）；小球应选用密度较大的金属球，直径应较小（最好不超过2cm）。

（2）操作：

单摆悬线的上端应当固定牢固，不可随意卷在铁架台的横杆上，以免振动时摆长改变；注意振动时控制摆线偏离竖直方向的角度不超过5°；摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

（3）周期的测量：

用停表测出单摆做n（30～50）次全振动所用的时间t，则周期T＝。

测量时应以摆球通过最低位置时开始计时、计数，并且开始计时时数“零”，以后摆球每从同一方向通过最低位置时计数一次。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）

3．[多选]在用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法正确的是（　　）

A．如果有大小相同的铁球和木球可供选择，则选用铁球作为摆球较好

B．单摆的偏角不要太大（小于5°）

C．为了便于改变摆线的长度，可将摆线的一端绕在铁架上端的水平圆杆上

D．先测量好摆线的长度再系上小球做实验

解析：

选AB　摆球应选用密度较大、直径较小的金属球，选项A对；摆线偏离竖直方向的角度越大，利用周期公式计算出的重力加速度的误差就越大，选项B对；将摆线的一端绕在铁架上端的水平圆杆上，摆动时摆长会改变，对摆长和周期的测量都有影响，选项C错；测摆长时，应当先系上小球再测量摆线的长度，选项D错。

对单摆模型的考查

[典题例析]

[例1]　一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P（如图所示），现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。

[思路点拨]

（1）摆球在左边和右边的摆长是否相同？

提示：

不同。

左边：

摆长为l。

右边：

摆长为0.81l。

（2）如何确定单摆的周期？

提示：

单摆的周期为左右两个不同单摆的半周期的和。

[解析]　释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。

摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

小球在左边的周期为T1＝2π

小球在右边的周期为T2＝2π

则整个单摆的周期为

T＝＋＝π＋π＝1.9π。

[答案]　1.9π

[探规寻律]

求单摆周期的方法

（1）明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。

（2）在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间。

[跟踪演练]

1.如图所示，BOC为一光滑圆弧形轨道，其半径为R，且R远大于弧BOC的弧长。

若同时从圆心O′和轨道B点分别无初速度释放一小球P和Q，则（　　）

A．Q球先到达O点

B．P球先到达O点

C．P、Q两球同时到达O点

D．无法比较

解析：

选B　P球做自由落体运动，由R＝gt12得t1＝；Q球做简谐运动，t2＝T＝·2π＝，所以t1

对单摆测定重力加速度的考查

[典题例析]

[例2]　根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。

如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

（1）用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm。

（2）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________________________________________________________________________。

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝

[思路点拨]

（1）游标卡尺读数时应注意游标卡尺的零刻度线和边界线的区别。

（2）测重力加速度时应注意单摆的模型以及摆长和周期的测量。

[解析]　

（1）根据游标卡尺的读数方法，小钢球的直径＝（18＋6×0.1）mm＝18.6mm。

（2）因为单摆的周期T＝2π与θ无关，c项错误。

因为摆球会以较快的速度通过平衡位置，所以在平衡位置开始计时误差较小，同时为了减小偶然误差应测多次振动的时间并求平均值，综合看d项错误，a、b、e项正确。

[答案]　

（1）18.6　

（2）abe

[探规寻律]

（1）利用该实验测定重力加速度最主要的是测准摆长（从悬点到球心）和周期，测n次全振动时间应从摆球经过平衡位置开始计时。

（2）利用图像可以有效地减小误差，由lT2图线的斜率k＝，知g＝4π2k，求出斜率也就可求得重力加速度。

[跟踪演练]

2．在利用单摆测定重力加速度的实验中，由于单摆做简谐运动的周期T＝2π，于是有T2＝l。

改变单摆的摆长，只要测出摆长及相应的振动周期，作出T2l图像，就可求出当地的重力加速度。

T2l图像应为经过坐标原点的直线。

某学生在实验中作出的T2l图像如图所示。

（1）造成图线不过原点的原因是（　　）

A．每次都将n个周期的时间记成（n＋1）个周期的时间

B．每次测摆长时，都将摆线长当成了摆长

C．每次实验时，摆球的振幅都不同

D．每次实验时，摆球的质量都不同

（2）根据以上分析，可求得当地的重力加速度为多少？

（取π2＝9.87）

解析：

（1）若测量正确，纵坐标为0时，横坐标也应该为0。

现在纵坐标为0的点对应的横坐标为负值，说明横坐标偏小，即摆长偏小，计算摆长时少加了摆球的半径，故选项B正确。

（2）由单摆的周期公式得T2＝l，T2l图像应为过原点的直线。

若l少加了摆球半径r，整个T2l图像将左移，而图线斜率不变。

因图线斜率k＝，所以g＝＝m/s2＝9.87m/s2。

答案：

（1）B　

（2）9.87m/s2

[课堂双基落实]

1．振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是（　　）

A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点

B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线

C．合力不为零，方向沿轨迹的切线

D．回复力为零，合力也为零

解析：

选A　单摆的回复力不是小球所受的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心）。

2.[多选]如图所示，是一个单摆（θ<5°），其周期为T，则下列说法正确的是（　　）

A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小

B．摆角θ变小时，周期也变小

C．此摆由O→B运动的时间为

D．摆球在由B→O运动时，势能向动能转化

解析：

选CD　该题实际上考查了单摆周期的决定因素，根据单摆的固有周期我们可以知道固有周期与振幅、摆球的质量无关，θ角变小，只是振幅变小，故A、B选项错误。

摆球由O→B运动的过程是个全振动，所以运动时间为，故C正确。

摆球在运动的过程中机械能是守恒的，所以由B→O运动时，重力势能减小，动能增加，故D正确。

3．[多选]一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

解析：

选CD　由题图知，t1、t3时刻是最大位移处，t2、t4时刻是平衡位置。

单摆做小角度摆动，平衡位置时速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错，D对。

最大位移处速度为零，拉力最小，故A错，C对。

4．将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块。

将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。

请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T。

解析：

单摆周期公式T＝2π

且kl＝mg

解得T＝2π。

答案：

2π