人教版九年级上册数学《概率初步》全章教案.docx
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人教版九年级上册数学《概率初步》全章教案
课题:
25.1.1随机事件(第1课时)
一、教学目标
1.知道什么是必然事件、不可能事件和随机事件,会根据各自的特点分辨它们.
2.经历试验过程,知道随机事件发生的可能性有大小,会判断某些随机事件发生可能性的大小.
二、教学重点和难点
1.重点:
随机事件的意义及发生可能性的大小.
2.难点:
随机事件的意义.
三、教学过程
(一)创设情境,导入新课
师:
从今天开始我们要学习新的一章——第二十五章概率初步(板书:
第二十五章概率初步).什么是概率?
要弄清概率的意思,还得从随机事件说起,这节课我们就来学习随机事件(板书课题:
25.1.1随机事件).
(二)尝试指导,讲授新课
师:
什么是随机事件?
(稍停)我们每天都能看到听到很多事情,这些事情也可以叫做事件(板书:
事件).
师:
譬如,我们每天都能看到太阳从东方升起,太阳从东方升起就是一个事件(板书:
太阳从东方升起).
师:
又譬如,有人希望从天上掉馅饼,天上掉馅饼也是一个事件(板书:
天上掉馅饼).
师:
又譬如,扎西买体育彩票中了奖,买彩票中奖也是一个事件(板书:
买彩票中奖).
师:
(指准板书)太阳从东方升起,天上掉馅饼,买彩票中奖,这三个事件是不太一样的,大家想一想,不一样在哪儿?
(稍停)
师:
太阳从东方升起,是什么样的事件?
(稍停)它是必然会发生的事件,称为必然事件(板书:
必然事件).
师:
天上掉馅饼,是什么样的事件?
(稍停)它是不可能发生的事件,称为不可能事件(板书:
不可能事件).
师:
太阳从东方升起,天上不会掉馅饼,这些都是确定的,所以我们把必然事件和不可能事件统称为确定事件(连线并板书:
确定事件).
师:
和确定事件相对的是不确定事件(板书:
不确定事件).
师:
什么样的事件是不确定事件?
(稍停)买彩票中奖就是一个不确定事件.为什么这么说?
(稍停)扎西买了一张体育彩票,在开奖之前,扎西能确定自己买的彩票中了奖吗?
不能确定.在开奖之前,扎西所买的彩票可能中奖,也可能不中奖,中奖不中奖在开奖前不能确定,所以彩票中奖是不确定事件.
师:
不确定事件在现实生活中很多,譬如,(师出示一枚硬币)这是一枚硬币,硬币这一面是国徽,这一面不是国徽,现在我要抛硬币,你能确定抛下去以后硬币向上的一面一定是国徽吗?
生:
(齐答)不能确定.
师:
抛下去以后,硬币向上的一面可能是国徽,也可能不是国徽,所以国徽向上是不确定事件.
师:
又譬如,(师出示手机)现在我要给一位朋友打电话,我一定能打通他的电话吗?
(稍停)可能能打通,也可能因为关机或者别的原因打不通,所以打通电话也是不确定事件.
师:
生活中不确定事件还有能很多,哪位同学能举出一个不确定事件?
生:
……(多让几名同学说,学生的表述可能不准确,只要有点意思就行了,师要从学生的表述中提炼出不确定事件)
师:
大家举了很多不确定事件,不确定事件就是可能发生也可能不发生的事件,不确定事件还有一个更好的名字,叫什么?
(稍停)叫随机事件(连线并板书:
随机事件).
师:
(指准板书)从上面的讨论我们可以看到,所有事件可以分成这么三种,必然事件、不可能事件、随机事件,下面请同学们来区别这三种事件.
(三)试探练习,回授调节
1.指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)在平原水加热到100℃时,水沸腾;
(2)篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中;
(3)掷一次色(shǎi)子,向上的一面是6点;
(4)度量一个三角形的内角和,结果是360°;
(5)经过城市中某一有交通信号灯的路口,遇到红灯;
(6)某射击运动员射击一次,命中靶心.
(四)尝试指导,讲授新课
师:
刚才我们学习了什么是随机事件,随机事件就是不确定事件,它可能发生也可能不发生,事先不能确定.下面我们再来看两个随机事件.
师:
(出示一个袋子)这是一个空袋子,(出示4个黑球2个白球,这6个球的形状、大小、质地要完全相同,这样的球不好找可用别的东西替代)这是4个黑球,这是2个白球,我把这6个球放进袋子里(边讲边放).现在我们打算从袋子里摸出一个球,(只做摸的动作,但不摸出),摸出的这个球一定是黑球吗?
生:
(齐答)不一定.
师:
摸出的这个球一定是白球吗?
生:
(齐答)不一定.
师:
摸出的这个球可能是黑球,也可能是白球,那么我们可以进一步想,摸出黑球的可能性和摸出白球的可能性一样大吗?
生:
(齐答)不一样大.
师:
摸出黑球的可能性大还是摸出白球的可能性大?
生:
(齐答)摸出黑球的可能性大.
师:
大家都认为是摸出黑球的可能性大,是不是呢?
还是让我们实际来试一试.
(师出示下表)
球的颜色
黑球
白球
摸取的次数
(以下师从袋子中摸出一个球,在表中划“正”字记下球的颜色,然后把球放回袋子中,总共摸10次)
师:
我们从袋子里总共摸了10次,摸出黑球有几次?
摸出白球有几次?
生:
摸出黑球有□次,摸出白球有□次.
师:
摸出黑球的次数比摸出白球的次数多,这就说明从袋子里摸出一个球,摸出黑球的可能性比摸出白球的可能性大,这也验证了同学们原先的判断是正确的.
师:
同学们原先的判断是正确的,不过老师心里还有一个疑问,什么疑问?
(稍停)当初大家都没有摸球,你怎么知道摸出黑球的可能性大?
生:
……(让一两名学生说)
师:
(出示4个黑球2个白球)因为黑球有4个,而白球只有2个,所以摸出黑球的可能性自然较大.
师:
好了,现在我们已经讨论完了这个例子,从这个例子,你能对随机事件得出点什么?
(让生思考一会儿)
师:
这个问题可能有点难了,还是让老师来归纳吧.
师:
从袋子里摸出一个球,“摸出黑球”是一个随机事件,“摸出白球”也是一个随机事件,这两个随机事件会不会发生,事先不能确定,但是从这个例子我们发现,这两个随机事件发生的可能性有大有小,“摸出黑球”的可能性大,“摸出白球”的可能性小,于是我们归纳出这样一个结论.
(师出示下面的板书)
随机事件发出的可能性有大有小,有的随机事件发生的可能性大,有的随机事件发生的可能性小.
师:
(指板书)请大家一起把这个结论读两遍.(生读)
(五)归纳小结,布置作业
师:
(指准板书)本节课我们学习了随机事件的概念,还从摸球这个例子中得出了一个关于随机事件的结论,请大家仔细地看一看板书的内容.
(作业:
P128练习1.P131习题1.2.)
四、板书设计
第二十五章概率初步
25.1.1随机事件表格
随机事件发生的可能性…
课题:
25.1.2概率(第1课时)
一、教学目标
1.通过实例经历概念的形成过程,知道什么是概率,初步理解概率的意义.
2.会根据概率的意义计算一步试验的概率问题.
二、教学重点和难点
1.重点:
概率的意义.
2.难点:
概率的意义.
三、教学过程
(一)创设情境,导入新课
(师出示下面的板书)
随机事件发生的可能性有大有小,有的随机事件发生的可能性大,有的随机事件发生的可能性小.
师:
(指准板书)上节课我们学习了随机事件的概念,学习随机事件我们是从事件开始说起的.我们所生活的世界每时每刻都在发生各种各样的事件,这些事件可以分成两类,一类是确定事件,一类是不确定事件.确定事件又可以分成两种,一种叫必然事件,譬如,太阳从东方升起,就是一个必然事件;一种叫不可能事件,譬如,天上掉馅饼,就是一个不可能事件.必然事件、不可能事件都是确定事件.确定事件有一个特点,什么特点?
(稍停)确定事件的发生还是不发生,事先可以确定.譬如说,在太阳升起前我们就可以确定,太阳从东方升起.而不确定事件就不同了,它可能发生也可能不发生,事先不能确定.譬如,扎西买了一张体育彩票,在开奖前扎西不能确定彩票能不能中奖,所以彩票中奖是一个不确定事件.不确定事件就是随机事件.
师:
上节课我们不仅学习了随机事件的概念,而且还通过摸球得出了关于随机事件的一个结论,结论是这样的,(指准板书)随机事件发生的可能性有大有小,有的随机事件发生的可能性大,有的随机事件发生的可能性小.
师:
(出示袋子及4个黑球2个白球)譬如,把4个黑球2个白球放进袋子里(边讲边放),随机从袋子里摸出一个球,“摸出黑球”是一个随机事件,“摸出白球”也是一个随机事件,摸出黑球还是摸出白球事先不能确定,但是因为黑球有4个,而白球只有2个,所以“摸出黑球”这个随机事件发生的可能性大,“摸出白球”这个随机事件发生的可能性小.
师:
(指板书)这些就是我们上节课所学的内容,那么这节课我们要学习什么呢?
这节我们要更深入地来讨论随机事件.
(二)尝试指导,讲授新课
师:
(指准板书)上节课我们说到,随机事件发生的可能性有大有小,这个说法虽然正确,但我们还可以进一步问:
一个随机事件发生的可能性到底有多大?
可能性的大小能不能用具体的数值来表示?
师:
(出示装有4个黑球2个白球的袋子)譬如,从4个黑球2个白球中摸出一个球,摸出黑球的可能性到底有多大?
可能性的大小能用数值来表示吗?
摸出白球的可能性到底有多大?
可能性的大小也能用数值来表示吗?
师:
我们先考虑摸出黑球可能性的大小.(出示4个黑球2个白球)这6个球除了颜色有不同,球的形状、大小、质地都完全一样,所以这6个球在袋子里被摸到的可能性是相同的.6个球摸出一个球,每个球被摸出的可能性是多少?
(稍停)是
.
师:
每个球被摸出的可能性是
,总共有4个黑球,那么摸出黑球的可能性有多大?
(稍停)应该是
,也就是
(板书:
摸出黑球的可能性=
=
).
师:
摸出黑球的可能性=
,那么摸出白球的可能性又有多大?
大家算一算.(板书:
摸出白球的可能性=)
师:
哪位同学算出来了?
生:
.(多让几名同学回答)
师:
(出示4个黑球2个白球)6个球中摸出一个球,每个球被摸出的可能性是
,总共有2个白球,所以摸出白球的可能性是
(板书:
),也就是
(板书:
=
).
师:
下面请同学们做一个计算可能性的练习.
(三)试探练习,回授调节
1.填空:
袋子里装有1个红球2个黄球3个蓝球,这些球的形状、大小、质地完全相同.随机从袋子里摸出一个球,则
(1)摸出红球的可能性=;
(2)摸出黄球的可能性=;
(3)摸出蓝球的可能性=.
(四)尝试指导,讲授新课
师:
从装有4个黑球2个白球的袋子里摸出一个球,(指准板书)刚才我们通过计算得出,摸出黑球的可能性是
,摸出白球的可能性是
.这个
有一个名字,叫什么?
(稍停)叫摸出黑球的概率(板书:
摸出黑球的概率=);这个
也有有一个名字,叫什么?
(稍停)叫摸出白球的概率(板书:
摸出白球的概率=).
师:
(指准板书)为了书写方便,我们把摸出黑球的概率写成P(摸出黑球)(板书:
P(摸出黑球)=),把摸出白球的概率写成P(摸出白球)(板书:
P(摸出白球)=),这里的P表示概率.
师:
从这个例子,大家对概率的含义应该有了一定的认识,现在我们需要给概率下一个定义.什么是概率?
(稍停)概率就是反映一个随机事件发生可能性大小的数值.
(师出示下面的板书)
我们把反映一个随机事件A发生可能性大小的数值,叫做随机事件A的概率,记作P(A).
师:
(指板书)概率的定义有点抽象,请大家把概率的定义好好读几遍,再结合这个例子理解理解.(生默读理解)
师:
下面我们来做一道求概率的例题.
(师出示例题)
例掷一个色(shǎi)子,观察向上一面的点数,求下列事件的概率:
(1)点数为2;
(2)点数为奇数;
(2)点数大于2且小于5.
师:
(出示一个色子)这是什么?
(稍停)这是一个色子.掷色子大家都玩过(掷几次色子,并报出点数).
师:
掷一个色子,向上一面的点可能有哪几种?
生:
1点、2点、3点、4点、5点、6点.
师:
掷一个色子向上一面的点数共有6种,因为色子做得很均匀,所以这6种点数出现的可能性相同.
师:
(指准例题)这道题目要求大家求的是,掷一个色子,向上一面点数为2的可能性有多大,或者说概率有多大?
向上一面点数为奇数的概率有多大?
点数大于2且小于5的的概率是多少?
大家先自己算一算.
(生尝试,师巡视,然后师边讲解边板书,解题过程如课本第130页所示).
(五)试探练习,回授调节
2.填空:
掷一个色子,观察向上一面的点数.则,
(1)向上一面点数为6的可能性=,P(点数为6)=;
(2)向上一面点数为偶数的可能性=,P(点数为偶数)=;
(3)向上一面点数小于5的可能性=,P(点数小于5)=.
(六)归纳小结,布置作业
师:
(指准板书)本节课我们学习了什么?
我们学习了概率的概念(板书课题:
25.1.2概率).什么是概率?
我们把反映一个随机事件A发生可能性大小的数值,叫做随机事件A的概率,记作P(A).这里的P代表什么?
(稍停)代表概率;这里的A代表什么?
(稍停)代表一个随机事件.
(作业:
P131练习2.P132习题4.)
四、板书设计
25.1.2概率
P(摸出黑球)=摸出黑球的概率例
=摸出黑球的可能性=
=
随机事件发生……P(摸出白球)=摸出白球的概率
=摸出黑球的可能性=
=
我们把……,记作P(A).
课题:
25.1.2概率(第2课时)
一、教学目标
1.会较熟练地计算一步试验的概率问题,加深对概率意义的理解.
2.知道事件的可能性越大,它的概率越接近1,反之越接近0.
二、教学重点和难点
1.重点:
加深理解概率的意义.
2.难点:
事件发生的可能性越大,它的概率越接近1,反之越接近0.
三、教学过程
(一)基本训练,巩固旧知
1.填空:
(1)在一定条件下,可能可能的事件,称为随机事件.
(2)我们把反映一个随机事件A发生可能性大小的数值,叫做随机事件A发生的概率,记作.
2.填空:
袋子中装有2个红球3个黄球4个蓝球,这些球除了颜色都相同.从袋子中随机摸出一个球,则
(1)摸出红球的概率为,即P(摸出红球)=;
(2)摸出黄球的概率为,即P(摸出黄球)=;
(3)摸出蓝球的概率为,即P(摸出蓝球)=.
(二)创设情境,导入新课
师:
上节课我们学习了概率的概念,什么是概率?
(稍停)概率就是反映一个随机事件发生可能性大小的数值.利用这个概念,本节课我们再来做一个题目,请看例题.
(三)尝试指导,讲授新课
(师出示例题)
例从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根,求下列事件的概率:
(1)签号为1;
(2)签号小于4;
(3)签号小于6;
(4)签号等于6.
师:
抽签大家都抽过吧?
(出示5根纸签,5根签分别写着1,2,3,4,5五个数字),(打开一个签)这是□号签,(又打开一个签)这是□号签.现在从这5根签中随机抽一根,(指准例)抽出签号为1的签的概率是多少?
抽出签号小4的签的概率是多少?
抽出签号小于6的签的概率是多少?
抽出签号等于6的签的概率是多少?
利用概率的概念,大家先自己算一算.
(生尝试,师巡视,然后师边讲解边板书,解题过程如下)
解:
抽出签的签号可能为1,2,3,4,5,共5种.
(1)P(签号为1)=
;
(2)P(签号小于4)=
;
(3)P(签号小于6)=1;
(4)P(签号等于6)=0.
师:
从这个例题,我们可以发现概率的一个规律,什么规律?
大家自己看一看.(让生思考一会儿)
师:
哪位同学发现了规律?
生:
……(让两名好生说,如果没有学生回答,可继续教学)
师:
(指准例题)5根签的签号分别是1,2,3,4,5,抽出签号小于6的签,这是什么事件?
(稍停)这是必然事件,必然事件的概率等于1;抽出签号等于6的签,这是什么事件?
(稍停)这是不可能事件,不可能事件的概率等于0.
师:
(指准例题)抽出签号小于4的签是随机事件,它的概率是
;抽出签号为1的签也是是随机事件,它概率是
,看到没有?
随机事件的概率都在0和1之间,
更接近1,事件发生的可能性较大;
更接近0,事件发生的可能性较小.
师:
从这些事实,可以发现这样一个规律.
(师出示下面的板书)
任何一个事件A,0≤P(A)≤1,
(1)当A为必然事件时,P(A)=1;
(2)当A为不可能事件时,P(A)=0;
(3)当A为随机事件时,0<P(A)<1.
师:
(指准板书)任何一个事件A,A发生的概率都大于等于0并且小于等于1,当A为必然事件时,A性的概率为1;当A为不可能事件时,A发生的概率为0;当A为随机事件时,A发生的概率在0和1之间.概率越接近1,A发生的可能性越大;概率越接近0,A发生的可能性越小.
师:
这个结论可以用一个图形象地表示出来.
(师出示下图)
师:
(指图)大家结合这个结论把这个图好好看一看.(生看图)
师:
好了,下面我们来做两个练习.
(四)试探练习,回授调节
3.填空:
掷一个色子,观察向上一面的点数,则
(1)P(点数为4)=;
(2)P(点数为7)=;
(3)P(点数小于7)=;
(4)P(点数大于1且小于6)=.
4.判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)不可能事件的概率为1;()
(2)必然事件的概率为1;()
(3)任何事件发生的概率不大于1;()
(4)概率越接近1,说明事件发生的可能性越小;()
(5)概率越接近0,说明事件发生的可能性越小;()
(6)随机事件就是概率不确定的事件.()
(五)归纳小结,布置作业
师:
本节课我们做了一个求概率的例题,通过做这个例题,我们得出了关于概率的一个结论.(指准图)任何事件的概率都大于等于0并且小于等于1,当概率的值为0,这个事件为不可能事件;随着概率值越来越大,事件发生的可能性也越来越大;当概率的值为1,这个事件为必然事件.
(作业:
P132习题3.)
课外补充作业:
5.填空:
下图是一个转盘,转盘分成7个相同的扇形,分为红、绿、黄三种颜色.指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置,则
(1)指针指向黄色的概率为;
(2)指针指向黄色或绿色的概率为;
(3)指针不指向黄色的概率为;
(4)指针指向黄色或绿色或红色的概率为;
(5)指针指向蓝色的概率为.
四、板书设计
任何一个事件A,0≤P(A)≤1,例
(1)……
(2)……
(3)……
图
课题:
25.2用列举法求概率(第1课时)
一、教学目标
1.会用列举法计算简单的两步试验的概率问题,加深对概率意义的理解.
2.培养分析问题解决问题的能力.
二、教学重点和难点
1.重点:
用列举法计算简单的两步试验的概率问题.
2.难点:
两步试验结果的列举.
三、教学过程
(一)基本训练,巩固旧知
1.填空:
任何一个事件A,≤P(A)≤,
(1)当A为必然事件时,P(A)=;
当A为不可能事件时,P(A)=;
当A为随机事件时,<P(A)<.
(2)一个事件的概率越接近1,这个事件发生的可能性越;反之,一个事件的概率越接近0,这个事件发生的可能性越.
2.填空:
抛一枚质地均匀的硬币,则P(正面朝上)=,P(反面朝上)=.
(二)创设情境,导入新课
师:
(出示一枚硬币)这是一枚硬币,现在我抛这枚硬币(边讲边抛),硬币朝上的一面可能会有几种结果?
生:
2种结果.(多让几名同学回答)
师:
对,可能会有两种结果,一种正面朝上,一种反面朝上.那么正面朝上的概率是多少?
生:
(齐答)是
.
师:
反面朝上的概率是多少?
生:
(齐答)是
.
师:
抛一枚硬币,正面朝上的概率是
,反面朝上的概率也是
.这是我们已经会的,下面我们把这个问题换一下,换成抛两枚硬币,请看例题.
(三)尝试指导,讲授新课
(师出示例题)
例抛两枚硬币,求下列事件的概率:
(1)两枚硬币全部正面朝上;
(2)两枚硬币全部反面朝上;
(3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上.
师:
(出示两枚硬币)这是两枚硬币,现在我抛这两枚硬币(边讲边抛),硬币朝上的一面可能会有几种结果?
(让生思考一会儿再叫学生)
生:
……(让几名学生回答)
师:
抛两枚硬币,硬币朝上的一面可能会有4种结果,哪4种结果?
(边讲边出示硬币)一枚硬币为正面,一枚硬币也为正面,简称正正;一枚硬币为正面,一枚硬币为反面,简称正反;还有反正,反反,共4种结果.
师:
(指准例题)现在要我们求两枚硬币全部正面朝上的概率,两枚硬币全部反面朝上的概率,一枚硬币正面朝上一枚硬币反面朝上的概率,怎么求?
大家先自己求一求.
(生尝试,师巡视,然后师边讲解边板书解题过程,解题过程如下)
解:
抛两枚硬币,硬币朝上的一面可能会有4种结果,即正正,正反,反正,反反.
(1)所有的结果中,符合两枚硬币全部正面朝上的结果有1种,所以
P(两枚硬币全部正面朝上)=
;
(2)所有的结果中,符合两枚硬币全部反面朝上的结果有1种,所以
P(两枚硬币全部反面朝上)=
;
(3)所有的结果中,符合一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上的的结果有2种,所以
P(一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上)=
=
.
(四)试探练习,回授调节
3.完成下面的解题过程:
袋子中装有红、绿各一个小球,除颜色外无其他差别,随机摸出1个小球放回,再随机摸出一个.求下列事件的概率:
(1)第一次摸到红球,第二次摸到绿球;
(2)两次摸到相同颜色的小球;
(3)两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.
解:
摸两次球,摸出的球可能会有种结果,即
.
(1)所有的结果中,符合第一次摸到红球,第二次摸到绿球的结果有种,所以
P(第一次摸到红球,第二次摸到绿球)=;
(2)所有的结果中,符合两次摸到相同颜色的小球的结果有种,所以
P(两次摸到相同颜色的小球)=;
(3)所有的结果中,符合两次摸到的球中有一个绿球和一个红球的结果有
种,所以
P(两次摸到的球中有一个绿球和一个红球)=.
4.选做题:
完成下面的解题过程:
抛三枚硬币,求下列事件的概率:
(1)三枚硬币全部正面朝上;
(2)两枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上;
(3)一枚硬币正面朝上,两枚硬币反面朝上;
(4)三枚硬币全部反面朝上.
解:
抛三枚硬币,硬币朝上的一面可能会有种结果,即
.
(1)所有的结果中,符合三枚硬币全部正面朝上的结果有种,所以
P(三枚硬币全部正面朝上)=;
(2)所有的结果中,符合两枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上的结果有
种,所以
P(两枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上)=;
(3)所有的结果中,符合一枚硬币正面朝上,两枚硬币反面朝上的结果有
种,所以
P(一枚硬币正面朝上,两枚硬币反面朝上)=;
(4)所有的结果中,符合三枚硬币全部反面朝上的结果有种,所以
P(三枚硬币全部反面朝上)=.
(五)归纳小结,布置作业
师:
这节课我们学习了抛两枚硬币求概率的问题,抛两枚硬币求概率和抛一枚币求概率是不一样的,不一样在什么地方?
(稍停)抛一枚硬币,硬币朝上一面的可能结果只有2种,而抛两枚硬币,硬币朝上一面的可能结果有4种.因为可能结果比较多,(指准板书)所以我们要把所有可能的结果——正正,正反,反正,反反都列举出来,然后再求概率.先列举所有的可能结果,再求概率,这种求概率的方法,叫做列举法.今天我们所学的就是用列举法求概率(板书课题:
25.2用列举法求概率).
师:
用列举法求概率首先要列举所有的可能结果,而列举所有的可能结果,关键是要做到既不重复,又不遗漏.
(作业:
P137习题1.4.)
课外补充作业: