高中物理测量误差及数据处理.docx
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高中物理测量误差及数据处理
高中物理侧脸误差及数据处理
一、测量的误差
1误差的分类
物理实验是以测量为基础的。
研究物理现象、了解物质特性、验证物理原理都要进行测量。
测量分直接测量和间接测量等。
“直接测量”指无需对被测的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算而直接测出被测量的量。
例如用米尺测物体的长度，用天平和砝码测物体的质量，用电流计测线路中的电流，都是直接测量。
“间接测量”指利用直接测量的量与被测的量之间已知的函数关系，从而得到该被测量的量。
例如测物体密度时，先测出该物体的体积和质量，再用公式算出物体的密度。
在物理实验中进行的测量，有许多是间接测量。
实践证明，测量结果都存在有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
因为任何测量仪器、测量方法、测量环境、测量者的观察力等等都不能做到绝对严密，这些就使测量不可避免地伴随有误差产生。
因此分析测量中可能产生的各种误差，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，就是物理实验和许多科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因和估计方法等有关知识。
测量误差就是测量结果与被测量的真值（或约定真值）之间的差值，测量误差的大小反映了测量结果的准确程度。
测量误差可以用绝对误差表示，也可以用相对误差表示。
被测量的真值是一个理想概念，一般说来实验者对真值是不知道的。
在实际测量中常用被测量的实际值或已修正过的算术平均值来代替真值，称为约定真值。
测量中的误差主要分为两种类型，即系统误差和随机误差。
它们的性质不同，需分别处理。
二、系统误差
系统误差是指在多次测量同一被测量的过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
例如实验装置和实验方法没有（或不可能）完全满足理论上的要求，有的仪器没有达到应有的准确程度，环境因素（温度、湿度等）没有控制到预计的情况等。
只要这些因素与正确的要求有所偏离，那么在测量结果中就会出现其绝对值和符号均为恒定的或以可预知方式变化的误差分量。
因素不变，系统误差也就不变。
例如用秒表测运动物体通过某段路程所需的时间，若秒表走得较快，那么即使测量多次，测得的时间t总会偏大，而且总是偏大一个固定的量，这就是仪器不准确造成的。
又如用落球法测重力加速度时，由于空气阻力的影响，得到的结果总是偏小，这就是测量方法不完善造成的。
对实验中的系统误差应如何处理呢？
可以通过校准仪器，改进实验装置和实验方法，或对测量结果进行理论上的修正加以消除或尽可能减小。
发现和减小实验中的系统误差通常是一个困难任务，需要对整个实验所依据的原理、方法、测量步骤及所用仪器等可能引起误差的各种因素一一进行分析。
一个实验结果是否正确，往往就在于系统误差是否已被发现和尽可能消除，因此对系统误差不能轻易放过。
三、随机误差
随机误差是指在多次测量同一被测量的过程中，绝对值和符号以不可预知的方式变化着的测量误差的分量。
这种误差是实验中各种因素的微小变动性引起的。
例如实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性，测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性等等，这些因素的共同影响就使测量值围绕着测量的平均值发生有涨落的变化，这变化量就是各次测量的随机误差。
随机误差的出现，就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不能预知的，但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的随机误差是按一定的统计规律分布的。
常见的一种情况是：
正方向误差和负方向误差出现的次数大体相等，数值较小的误差出现的次数较多，数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现。
这一规律在测量次数越多时表现得越明显，它就是一种最典型的分布规律——正态分布规律。
1随机误差的正态分布规律
大量的测量误差服从正态分布（或称高斯分布）规律。
标准化的正态分布的曲线如图0-1所示。
图中x代表某一物理量的实验测量值，p（x）为测量值的概率密度，且
其中
，
图0-1正态分布曲线
从曲线可以看出被测量值在x=μ处的概率密度最大，曲线峰值处的横坐标相应于测量次数
时被测量的平均值μ。
横坐标上任一点到μ值的距离（x-μ）即为与测量值x相应的随机误差分量。
随机误差小的概率大，随机误差大的概率小。
σ为曲线上拐点处的横坐标与μ值之差，它是表征测量值分散性的重要参数，称为正态分布的标准偏差。
这条曲线是概率密度分布曲线，当曲线和x轴之间的总面积定为1时，其中介于横坐标上任何两点间的某一部分面积可以用来表示随机误差在相应范围内的概率。
如图中阴影部分-σ到+σ之间的面积就是随机误差在±σ范围内的概率（又称置信概率），即测量值落在（μ-σ,μ+σ）的区间中的概率，由定积分计算得其值为P＝68.3%。
如将区间扩大到-2σ到+2σ，则x落在（μ-2σ,μ+2σ）区间中的概率就提高到95.4%；x落在（μ-3σ,μ+3σ）区间中的概率为99.7%。
从分布曲线可以看出：
①在多次测量时，正负随机误差常可以大致相消，因而用多次测量的算术平均值表示测量结果可以减小随机误差的影响；②测量值的分散程度直接体现随机误差的大小，测量值越分散，测量的随机误差就越大。
因此，必须对测量的随机误差作出估计才能表示出测量的精密度。
2随机误差的处理
（1）最小二乘法原理与测量平均值
对测量中的随机误差如何处理呢？
对随机误差作估计的方法有多种，科学实验中常用标准偏差来估计测量的随机误差。
实验中不可能作无限多次测量，测量次数只能是有限的，因此，应研究这种情况下的随机误差估计方法。
设对某一物理量在测量条件相同的情况下进行n次无明显系统误差的独立测量，测得n个测量值x1，x2，…，xn。
当无系统误差分量存在时，应该用有限次测量值的平均值作为真值的最佳估计值，这是由最小二乘法原理推导出来的。
根据最小二乘法原理，一列等精度测量的最佳估计值是能使各次测量值与该值之差的平方和为最小的那个值。
设真值的最佳估计值为x0，则差值平方和可写为
若要使它最小，则它x0的导数应为0，即
由上式可得
（0-1）
式（0-1）说明当系统误差已被消除时，测量值的平均值可以作为被测量的真值。
测量次数越多，两个值接近的程度越好（当
时，平均值趋近真值）。
因此，可以用平均值表示测量结果。
以后为了简洁，常略去求和号上的求和范围，例如上式中的分子可写为
。
（2）标准偏差
每一次测量值xi与平均值
之差称为残差，即：
显然，这些残差有正有负，有大有小。
常用“方均根”法对它们进行统计，得到的结果就是单次测量的标准偏差，以Sx表示为：
（0-2）
这个公式又称为贝塞尔公式。
可以用这一标准偏差表示测量的随机误差，它可以表示这一列测量值的精密度。
标准偏差小就表示测量值很密集，即测量的精密度高；标准偏差大就表示测量值很分散，即测量的精密度低。
现在很多计算器上都有这种统计计算功能，实验者可直接用计算器求得Sx等数值。
可以证明平均值的标准偏差
是一列测量中单次测量的标准偏差Sx的
，即
（0-3）
四、直接测量结果的表示和总不确定度的估计
1总不确定度
完整的测量结果应给出被测量的量值x0，同时还要标出测量的总不确定度Δ，写成
的形式，这表示被测量的真值在
的范围之外的可能性（或概率）很小。
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
直接测量时被测量的量值
一般取多次测量的平均值
；若实验中有时只能测一次或只需测一次，就取该次测量值x。
最后表示被测量的直接测量结果
时，通常还必须将已定系统误差分量（即绝对值和符号都确定的已估算出的误差分量）从平均值
或一次测量值x中减去，以求得
，即就已定系统误差分量对测量值进行修正。
如螺旋测微计的零点修正，伏安法测电阻中电表内阻影响的修正等。
根据国际标准化组织等7个国际组织联合发表的《测量不确定度表示指南ISO1993（E）》的精神，普通物理实验的测量结果表示中，总不确定度Δ从估计方法上也可分为两类分量：
A类指多次重复测量用统计方法计算出的分量ΔA，B类指用其他方法估计出的分量ΔB，它们可用“方、和、根”法合成（下文中的不确定度及其分量一般都是指总不确定度及其分量），即有：
（0-4）
2总不确定度的A类分量ΔA
在实际测量中，一般只能进行有限次测量，这时测量误差不完全服从正态分布规律，而是服从称之为t分布（又称学生分布）的规律。
这种情况下，对测量误差的估计，就要在贝塞尔公式（0-2）的基础上再乘以一个因子。
在相同条件下对同一被测量作n次测量，若只计算总不确定度Δ的A类分量ΔA，那么它等于测量值的标准偏差Sx乘以一因子
，即：
（0-5）
式中
是与测量次数n、置信概率p有关的量。
概率p及测量次数n确定后，
也就确定了。
因子
的值可以从专门的数据表中查得。
当p=0.95时，
的部分数据可以从下表中查得。
测量次数n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因子的值
8.98
2.48
1.59
1.24
1.05
0.93
0.84
0.77
0.72
普物实验中测量次数n一般不大于10。
从该表可以看出，当5＜n＜10时，因子
近似取为1，误差并不很大。
这时式（0-5）可简化为：
（0-6）
有关的计算还表明，在5＜n＜10时，作
近似，置信概率近似为0.95或更大。
即当5＜n＜10时，取
已可使被测量的真值落在
范围内的概率接近或大于0.95。
所以我们可以这样简化：
直接把Sx的值当作测量结果的总不确定度的A类分量ΔA。
当然，测量次数不在上述范围或要求误差估计比较精确时，要从有关数据表中查出相应的因子
的值。
3总不确定度的B类分量ΔB
在普通物理实验中常遇到仪器的误差或误差限值，它是参照国家标准规定的计量仪表、器具的准确度等级或允许误差范围，由生产厂家给出或由实验室结合具体测量方法和条件简化的约定，用
表示。
仪器的误差
在普通物理实验教学中是一种简化表示，通常取
等于仪表、器具的示值误差限或基本误差限。
许多计量仪表、器具的误差产生原因及具体误差分量的计算分析，大多超出了本课程的要求范围。
用普通物理实验室中的多数仪表、器具对同一被测量在相同条件下作多次直接测量时，测量的随机误差分量一般比其基本误差限或示值误差限小不少；另一些仪表、器具在实际使用中很难保证在相同条件下或规定的正常条件下进行测量，其测量误差除基本误差或示值误差外还包含变差等其他分量。
因此我们约定，在普通物理实验中大多数情况下把
简化地直接当作总不确定度中用非统计方法估计B类分量ΔB，即：
4总不确定度的合成
由式（0-4）、式（0-5）和式（0-6）可得：
（0-7）
当测量次数n符合5＜n＜10条件时，上式可简化为：
（0-8）
式（0-8）是今后实验中估算不确定度经常要用的公式，希望能够记住。
如果因为
，或因估计出的ΔA对实验最后结果的影响甚小，或因条件受限制而只进行了一次测量，则Δ可简单地用仪器的误差
来表示。
这时式（0-4）中用统计方法计算的A类分量ΔA虽然存在，但不能用式（0-2）算出。
当实验中只要求测量一次时，Δ取
的值并不说明只测一次比测多次时Δ的值变小，只说明
和用
估算出的结果相差不大，或者说明整个实验中对该被测量Δ的估算要求能够放宽或必须放宽。
测量次数n增加时，用式（0-8）估算出的Δ虽然一般变化不大，但真值落在
范围内的概率却更接近100%。
这说明n增加时真值所处的量值范围实际上更小了，因而测量结果更准确了。
5间接测量的结果和不确定度的合成
在很多实验中，我们进行的测量都是间接测量。
间接测量的结果是由直接测量结果根据一定的数学式计算出来的。
这样一来，直接测量结果的不确定度就必然影响到间接测量结果，这种影响的大小也可以由相应的数学式计算出来。
设间接测量所用的数学式（或称测量式）可以表为如下的函数形式：
式中的φ是间接测量结果，x，y，z，…是直接测量结果，它们是互相独立的量。
设x，y，z，…的不确定度分别为Δx，Δy，Δz，…，它们必然影响间接测量结果，使φ值也有相应的不确定度Δφ。
由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同。
不同之处是：
①要用不确定度Δx等替代微分dx等；
③要考虑到不确定度合成的统计性质，一般是用“方、和、根”的方式进行合成。
于是，在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确定度
（0-9）
（0-10）
式（0-9）适用于φ是和差形式的函数，式（0-10）适用于φ是积商形式的函数。
在科学实验中一般都采用“方、和、根”合成来估计间接测量结果的不确定度。
例已知金属环的外径
mm，内径
mm，高度
mm，求环的体积V及其不确定度ΔV。
解：
环体积为
令
，
V2和V1的对数及其偏导数为
，
，
，
，
代人“方、和、根”合成公式（0-10），则有
，
因为
，由式（0-9）得
因此环体积为
二、数据处理
1有效数字及其表示
在实验中所测得的被测量都是含有误差的数值，对这些数值的尾数不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。
所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，究竟应写出几位数字，有严格的要求，要根据测量误差或实验结果的不确定度来定。
例如用300mm长的毫米分度钢尺（仪器误差为0.5mm）测量某物体的长度，正确的读法是除了确切地读出钢尺上有刻线的位数之外，还应估计一位，即读到0.lmm。
比如，测出某物的长度是15.2mm，这表明15是确切数字，而最后的2是估计数字。
值得注意的是在读取整刻度值时初学者往往只读出了整数值，而忘记读估计的那位“0”。
比如，用钢尺测得的物体长度正好是15mm整，应该记录为15.0mm，不应写成15mm。
又如根据长度和直径的测量值用计算器算出的圆柱体体积为V=6158.3201mm3，ΔV=±4mm3。
由不确定度为4mm3可以看出，第四位数字8已经是不精确的，它后面的四位数字3201没有意义。
因而圆柱体体积的间接测量值应写作V=（6158±4）mm3。
6158这四位数字前面的三位是准确数字，后面一位是存疑数字。
准确数字和存疑数字的全体称为有效数字。
前述的15.2mm为三位有效数字，6158mm3为四位有效数字。
有效数字位数的多少，直接反映实验测量的准确度。
有效数字位数越多，测量的准确度就越高。
例如，用不同精度的量具测量同一物体的厚度d时，相对误差也不同。
①用钢尺测量，d=6.2mm，仪器误差0.5mm，相对误差E=
=8.1%。
②用50分度游标卡尺测量，d=6.36mm，仪器误差0.02mm，相对误差E=
=0.31%。
③用螺旋测微器测量，d=6.347mm，仪器误差0.004mm.相对误差E=
=0.063%。
由此可见，有效数字多一位，相对误差E差不多要小一个数量级。
因此取几位有效数字是件严肃的事，不能任意取舍。
写有效数字时应注意以下的要点：
（1）有效数字的位数与小数点位置无关，单位的SI词头改变时，有效数字的位数不应发生变化。
例如，重力加速度980cm/s2，以“m/s2”表示时记为9.80m/s2，与记为9.8m/s2是不同的。
前者有三位有效数字，而后者只有两位。
若写为0.00980km/s2，则数值前面小数点定位所用的“0”不是有效数字，应从非“0”的第一个数算起，仍为三位有效数字。
（2）为表示方便，特别是对较大或较小的数值，常用×10±n的形式（n为一正整数）书写，这样可避免有效数字写错，也便于识别和记忆，这种表示方法叫科学记数法。
用这种方法记数值时，通常在小数点前只写一位数字，例如地球的平均半径6371km可写作6.371×106m，表明有四位有效数字。
（3）表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。
普通物理实验中不确定度一般取一位至两位就可以了，当不确定度的第一位数比较小时经常取两位。
相对误差一般取两位数。
在计算过程中，对中间运算结果适当多保留几位，以免因过多截取带来附加误差。
对π、
等值应直接按计算器上的按键取用。
（4）如果在实验中没有进行不确定度的估算，最后结果的有效数字位数的取法如下：
一般来说，在连乘除的情况下它跟参与运算的各量中有效数字位数最少的大致相同；在代数和的情况中，则按参与加减的各量的末位数中数量级最大的那一位为结果的末位。
作为一种粗略判断方法，最后结果的有效数字位数应和原始测量数据中位数最少者相同或相近。
2用作图法处理实验数据
某些实验的观测对象是互相关联的两个（或两个以上）物理量之间的变化关系，实验的任务就是寻求这些物理量互相依存的变化规律。
例如，研究单摆周期和摆长的关系，研究金属电阻随温度变化的关系，研究气体压强随温度变化的关系等等。
这一类实验中的观测方法是控制某一个量（例如温度）使之依次取不同的值，然后观测另一个量所取的对应值，从而得出一列x1，x2，…，xn和另一列对应的yl，y2，…，yn值。
如果将这两组数据记录在合适的表格内，便可一目了然，这叫列表法。
更形象地处理这类实验数据常用作图法，它能直观地揭示出物理量之间的规律，粗略显示对应的函数关系。
为了使图线能清楚地、定量地反映出物理现象的变化规律，并能准确地从图线上确定物理量值或求出有关常数，所作的图应符合准确度要求，因此必须用坐标纸作图。
作图规则：
（1）选择合适的坐标分度值。
坐标分度值的选取应符合测量值的准确度，即应能反映测量值的有效数字位数。
一般以1或2mm对应于测量仪表的仪器误差或坐标轴所代表的物理量的不确定度。
对应比例的选择应便于读数，不宜选成1:
1.5或1:
3，坐标范围应恰好包括全部测量值，并略有富裕。
最小坐标值不必都从零开始，以便作出的图线大体上能充满全图，布局美观、合理。
（2）标明坐标轴。
以自变量（即实验中可以准确控制的量，如温度、时间）为横坐标，以因变量为纵坐标。
用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，在轴上注明物理量名称、符号、单位（要用斜线，如长度l/mm），并按顺序标出标尺整分格上的量值。
这些量值一般应是一系列正整数（如1，2，3，4，…，或0，2，4，6，…，或0，5，10，…）及其10n（n为正负整数）倍，而不要标注实验点的测量数据。
（3）标实验点。
实验点可用“＋”、“●”等符号标出。
（4）连成图线。
因为每一个实验点的误差情况不一定相同，因之不应强求曲线通过每一个实验点而连成折线（仪表的校正曲线不在此例）。
应该按实验点的总趋势连成光滑的曲线，要做到图线两侧的所有实验点与图线的距离都最为接近且分布大体均匀。
曲线正穿过实验点时，可以在点处断开。
（5）写明图线特征。
有必要时，可利用图上的空白位置注明实验条件和从图线上得出的某些参数，如截距、斜率、极大极小值、拐点和渐近线等。
（6）写图名。
在图纸下方或空白位置写出图线的名称以及某些必要的说明，要使图线尽可能全面反映实验的情况。
最后写上实验者姓名、实验日期，将图纸与实验报告订在一起。
【思考题】
1指出下列各数是几位有效数字。
（1）0.0001；
（2）0.0100；（3）1.0000；（4）980.12300；
（5）1.35；（6）0.0135；（7）0.173；（8）0.0001730。
2改正下列错误，写出正确答案。
（l）0.10830的有效数字为六位；
（2）P=（31690±200）kg；
（3）d=（10.430±0.3）cm；
（4）t=（18.5476±0.3123）crn；
（5）D=（18.652±1.4）cm；
3推导圆柱体体积
的不确定度合成公式
（“方和根”合成）。
4计算
的结果及不确定度Δρ，并分析直接测量值M、D、H的不确定度对间接测量值ρ的影响（即合成公式中哪一项的单项不确定度的影响大？
）。
其中M=（236.124±0.004）g，D=（2.345±0.005）cm，H=（8.21±0.03）cm。
5利用单摆测重力加速度g，当摆角很小时有
的关系。
式中l为摆长，T为周期，它们的测量结果分别为l=（97.69±0.03）cm，T=（1.9842士0.0005）s，求重力加速度及其不确定度
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