海淀区高二下期中数学文科.docx
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海淀区高二下期中数学文科
2016海淀区高二（下）期中数学（文科）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）复数z=1﹣2i的虚部是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣2iD．2i
2．（4分）下列导数运算错误的是（ ）
A．（x﹣2）′=﹣2x﹣1B．（cosx）′=﹣sinxC．（sinx）′=cosxD．（ex）′=ex
3．（4分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=（1﹣x）e﹣x．若f（x）在（m，m+2）上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]
5．（4分）已知两个命题：
p：
“若复数z1，z2满足z1﹣z2＞0，则z1＞z2．”；
q：
“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”
其真假情况是（ ）
A．p真q假B．p假q假C．p假q真D．p真q真
6．（4分）一个高为H容积为V的鱼缸的轴截面如图所示．现向空鱼缸内注水，直到注满为止．当鱼缸水深为h时，水的体积记为v．函数v=f（h）的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设
=a，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′
（1）＜f′
（2）＜aB．f′
（1）＜a＜f′
（2）C．f′
（2）＜f′
（1）＜aD．a＜f′
（1）＜f′
（2）
8．（4分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f（x）的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
9．（4分）计算
= ．
10．（4分）已知f（x）=
，则f′（x）= ．
11．（4分）若函数y=ax+cosx是增函数，则实数a的范围是 ．
12．（4分）已知数列{an}满足an+2an+1=7×3n﹣1，且a1=1，则a3= ，通项an= （用n表示）．
三、解答题：
本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
13．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：
x
﹣2
0
1
3
8
f′（x）
﹣10
6
8
0
﹣90
根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c的值为 ；当x= 时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）求f（x）的单调区间．
14．（10分）如图，四棱锥B﹣ACDE的底面ACDE满足DE∥AC，AC=2DE．
（Ⅰ）若DC⊥平面ABC，AB⊥BC，求证：
平面ABE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求证：
在平面ABE内不存在直线与DC平行；
某同学用分析法证明第
（1）问，用反证法证明第
（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．
（Ⅰ）证明：
欲证平面ABE⊥平面BCD，
只需证 ，
由已知AB⊥BC，只需证 ，
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）证明：
假设 ，
又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以 ，
又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，
所以AC=DE，这与 矛盾，
所以假设错误，原结论正确．
15．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）若直线y=2x+b是函数f（x）在点（1，f
（1））处的切线，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．
16．（10分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：
问题1：
已知数集A={a1，a2，…an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
两数中至少有一个属于A．若数集{a1，2，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．
解：
对于集合中最大的数a4，因为a4×a4＞a4，3×a4＞a4，2×a4＞a4．
所以
，
，
都属于该集合．
又因为1≤a1＜2＜3＜a4，所以
．
所以
，
，故a1=1，a4=6．
问题2：
已知数集A={a1，a2，…an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．若数集{a1，1，3，a4}具有性质P，求a1，a4的值．
17．（8分）阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：
我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程2x3﹣3x2﹣6=0的解的情况：
因为方程2x3﹣3x2﹣6=0的同解方程有x3=
+3，2x﹣3=
等多种形式，所以，我们既可以选用函数y=x3，y=
+3，也可以选用函数y=2x﹣3，y=
，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况．因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择．
请选择合适的函数来研究该方程
=
的解的个数的情况，记k为该方程的解的个数．请写出k的所有可能取值，并对k的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出a，b的数值）．
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】复数z=1﹣2i的虚部是﹣2．
故选：
A．
2．【解答】对于A：
（x﹣2）′=﹣2x﹣3，故错误，
对于B，（cosx）′=﹣sinx，故正确，
对于C，（sin）′=cosx，故正确，
对于D，（ex）′=ex，故正确，
故选：
A．
3．【解答】由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，
故f（x）的极大值点的个数为1个，
故选：
B．
4．【解答】函数f（x）的导函数f′（x）=（1﹣x）e﹣x．
则（1﹣x）e﹣x≥0，可得x≤1，函数f（x）的单调增区间为：
（﹣∞，1]．
若f（x）在（m，m+2）上单调递增，
可得m+2≤1，解得m≤﹣1．
故选：
D．
5．【解答】p：
取z1=2+i，z2=1+i，虽然满足：
z1﹣z2＞0，但是z1＞z2不成立，由于复数若不完全是实数，不能比较大小，因此是假命题；
q：
“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”，利用复数相等的定义可知：
是真命题．
其真假情况是p假q真．
故选；C．
6．【解答】由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，
当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，
这样每当h增加一个单位增量△h时，
根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，
故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，
故选A．
7．【解答】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，
∵
=a，
∴f′
（1）＜a＜f′
（2），
故选：
B．
8．【解答】由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x=1出的导数为1，由此排除选项A，B；
再由导函数的定义域为R，而排除选项C；
故选D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
9．【解答】原式=
=﹣i+2，
故答案为：
2﹣i．
10．【解答】f（x）=
=1+
∴f′（x）=（1+
）′=﹣
故答案为：
．
11．【解答】∵f（x）=ax+cosx，
∴f′（x）=a﹣sinx，
∵f（x）=ax+cosx在（﹣∞，+∞）上是单调增函数，
∴a﹣sinx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，
∴a≥1．
故答案为：
[1，+∞）．
12．【解答】∵an+2an+1=7×3n﹣1，且a1=1，
∴1+2a2=7，a2+2a3=7×3，
解得a2=3，a3=9．
由an+2an+1=7×3n﹣1，变形为：
an+1﹣3n=﹣
，
∴由a1=1，可得a2=3，同理可得a3=32，
依次递推可得：
an=3n﹣1．
故答案分别为：
9；3n﹣1．
三、解答题：
本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
13．【解答】（Ⅰ）6，3
（Ⅱ）：
f'（x）=3ax2+2bx+c，
由已知表格可得
解得
（Ⅲ）：
由（Ⅱ）可得f'（x）=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣3）（x+1），
因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．
14．【解答】（Ⅰ）证明：
欲证平面ABE⊥平面BCD，
只需证AB⊥平面BCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由已知AB⊥BC，只需证AB⊥DC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）证明：
假设在平面ABE内存在直线与DC平行，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
又因为DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE．
又因为平面ACDE∩平面ABE=AE，
所以DC∥AE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
又因为DE∥AC，所以ACDE是平行四边形，
所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以假设错误，原结论正确．
故答案为AB⊥平面BCD；AB⊥DC；在平面ABE内存在直线与DC平行；DC∥AE；AC=2DE．
15．【解答】（本小题12分）
（Ⅰ）解：
因为
，x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由已知可得f'
（1）=a﹣1=2，解得a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
因为f
（1）=﹣1，所以﹣1=2+b，解得b=﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解1：
当a＜0时，因为
，所以不合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当a=0时，f（x）=﹣x对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=a，f'（x），f（x）情况如下：
x
（0，a）
a
（a+∞）
f'（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
极大值
↘
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以f（x）的最大值为f（a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
所以，依题意有f（a）=alna﹣a=a（lna﹣1）≤0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
因为a＞0，所以lna≤1，即a≤e．
综上，所求a的取值范围为[0，e]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
解2：
对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤0成立，即
成立，
设
，
当a＜0时，因为
，显然
不恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当a=0时，不等式显然成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
当a＞0时，则
，g'（x），g（x）的情况如下：
x
（0，e）
e
（e+∞）
g'（x）
+
0
﹣
g（x）
↗
极大值
↘
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以g（x）的最大值为g（e）=ae﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
故只需ae﹣1≤1，即a≤e．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
综上，所求a的取值范围为[0，e]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
16．【解答】对于集合中最大的数a4，因为a4+a4＞a4，3+a4＞a4，1+a4＞a4；
所以a4﹣a4，a4﹣3，a4﹣1都属于该集合；
又因为0≤a1＜1＜3＜a4，所以a4﹣a4＜a4﹣3＜a4﹣1＜a4；
所以a1=a4﹣a4=0，a4﹣3=1，a4﹣1=3，故a1=0，a4=4．
17．【解答】k的可能取值为0，1，2，3；
当k=0时，选用函数y=ex与y=ax2+bx研究，其图象如下，
；
当k=1时，选用函数y=ex与y=ax2+bx研究，其图象如下，
；
当k=2时，选用函数y=ex与y=ax2+bx研究，其图象如下，
；
当k=3时，选用函数y=
与y=ax+b研究，其图象如下，
．
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