A．有最大值4B．有最小值－4
C．有最大值－3D．有最小值－3
解析：
选B．法一：
根据题意作出y＝f（x）的简图，由图知选B．
法二：
当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f（b）≤f（－x）≤f（a），
即－3≤－f（x）≤4，所以－4≤f（x）≤3，
即在区间[－b，－a]上f（x）min＝－4，
f（x）max＝3，故选B．
（2017·高考全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f
（2）＝________．
解析：
依题意得，f（－2）＝2×（－2）3＋（－2）2＝－12，由函数f（x）是奇函数，得f
（2）＝－f（－2）＝12.
答案：
12
（教材习题改编）函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋2）＝f（x）．当x∈[2，4]时，f（x）＝x2－2x，则f（2018）＝________．
解析：
由f（x＋2）＝f（x），知f（x）是周期T＝2的周期函数．
因为当x∈[2，4]时，f（x）＝x2－2x，
所以f（2018）＝f（1007×2＋4）＝f（4）＝42－2×4＝8，即f（2018）＝8.
答案：
8
判断函数的奇偶性
[典例引领]
判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝x3－；
（2）f（x）＝＋；
（3）f（x）＝
【解】
（1）原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
并且对于定义域内的任意一个x都有
f（－x）＝（－x）3－＝－＝－f（x），
从而函数f（x）为奇函数．
（2）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f（－1）＝f
（1）＝0，f（－1）＝－f
（1）＝0，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
（3）f（x）的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f（－x）＝－（－x）2－2＝－（x2＋2）＝－f（x）；
当x＜0时，f（－x）＝（－x）2＋2＝－（－x2－2）＝－f（x）；
当x＝0时，f（0）＝0，也满足f（－x）＝－f（x）．
故该函数为奇函数．
判定函数奇偶性的3种常用方法
（1）定义法
（2）图象法
（3）性质法
①设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[注意]
（1）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
（2）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f（－x）与f（x）的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例（3）．
[通关练习]
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋D．y＝x＋ex
解析：
选D.A选项定义域为R，由于f（－x）＝＝＝f（x），所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f（－x）＝－x－＝－f（x），所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f（－x）＝2－x＋＝＋2x＝f（x），所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f（－x）＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．
2．设f（x）＝ex＋e－x，g（x）＝ex－e－x，f（x），g（x）的定义域均为R，下列结论错误的是（ ）
A．|g（x）|是偶函数 B．f（x）g（x）是奇函数
C．f（x）|g（x）|是偶函数D．f（x）＋g（x）是奇函数
解析：
选D.f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），f（x）为偶函数．
g（－x）＝e－x－ex＝－g（x），g（x）为奇函数．
|g（－x）|＝|－g（x）|＝|g（x）|，|g（x）|为偶函数，A正确；
f（－x）g（－x）＝f（x）[－g（x）]＝－f（x）g（x），
所以f（x）g（x）为奇函数，B正确；
f（－x）|g（－x）|＝f（x）|g（x）|，
所以f（x）|g（x）|是偶函数，C正确；
f（x）＋g（x）＝2ex，
f（－x）＋g（－x）＝2e－x≠－（f（x）＋g（x）），
且f（－x）＋g（－x）＝2e－x≠f（x）＋g（x），
所以f（x）＋g（x）既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.
函数奇偶性的应用
[典例引领]
（1）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________．
（2）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g
（1）＝2，f
（1）＋g（－1）＝4，则g
（1）等于________．
【解析】
（1）因为f（x）为偶函数，
所以f（－x）－f（x）＝0恒成立，
所以－xln（－x＋）－xln（x＋）＝0恒成立，
所以xlna＝0恒成立，
所以lna＝0，即a＝1.
（2）f（－1）＋g
（1）＝2，即－f
（1）＋g
（1）＝2①，
f
（1）＋g（－1）＝4，即f
（1）＋g
（1）＝4②，
由①②得，2g
（1）＝6，即g
（1）＝3.
【答案】
（1）1
（2）3
已知函数奇偶性可以解决的4个问题
（1）求函数值：
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）求解析式：
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
（3）求解析式中的参数：
利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程（组），进而得出参数的值．
（4）画函数图象：
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．
[通关练习]
1．已知函数f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a）＝2，则f（－a）的值为（ ）
A．3 B．0
C．－1D．－2
解析：
选B．设F（x）＝f（x）－1＝x3＋sinx，显然F（x）为奇函数，又F（a）＝f（a）－1＝1，所以F（－a）＝f（－a）－1＝－1，从而f（－a）＝0.故选B．
2．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝则g（f（－8））＝（ ）
A．－1B．－2
C．1D．2
解析：
选A．因为f（x）为奇函数，所以f（－8）＝－f（8）＝－log39＝－2，
所以g[f（－8）]＝g（－2）＝f（－2）＝－f
（2）＝－log33＝－1.
3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x），则x＜0时，f（x）＝________．
解析：
当x＜0时，则－x＞0，
所以f（－x）＝（－x）（1－x）．又f（x）为奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）＝（－x）（1－x），
所以f（x）＝x（1－x）．
答案：
x（1－x）
函数的周期性
[典例引领]
（1）周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）＝则f（2018）＋f（2019）＝（ ）
A．0 B．－1
C．2D．3
（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x）f（x＋2）＝－1，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝________.
【解析】
（1）函数f（x）的周期为4，所以f（2018）＋f（2019）＝f
（2）＋f（－1）＝f
（2）－f
（1）＝－1.
（2）由已知，可得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－＝－＝f（x）．
故函数f（x）的周期为4.
所以f（105.5）＝f（4×27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5），
因为2≤2.5≤3，由题意，得f（2.5）＝2.5.
所以f（105.5）＝2.5.
【答案】
（1）B
（2）2.5
本例
（2）中，若将f（x）f（x＋2）＝－1改为f（x＋2）＝－f（x），其他条件不变，求f（105.5）的值．
解：
f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以函数f（x）的周期为4（下同例题）．
（1）判断函数周期性的方法
①定义法：
判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T.
②结论法：
对f（x）定义域内任一自变量的值x，
i．若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>0）；
ii.若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>0）；
iii.若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a>0）．
（2）函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期．
[通关练习]
已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（ ）
A．6B．7
C．8D．9
解析：
选B．当0≤x<2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），
所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），
所以当2≤x<4时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.
同理可得，当4≤x<6时，y＝f（x）的
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