上海自招数学专题06不定方程解析版.docx

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上海自招数学专题06不定方程解析版

上海自招数学

专题06不定方程

考点一二元一次不定方程的整数解问题

考点点拨

典例精选

1．（新编）方程27x+81y＝9999的整数解有几组（　　）

A．0B．1C．2D．多于2

【点拨】将原式化简，变为x+3y

，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾，得出此题无整数解．

【解析】解：

显然，方程两边同时除以9，得到：

3x+9y＝1111

等式的两边同时除以3，得到：

x+3y

，

要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾．

因此整数解0组．

故选：

A．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数组解，进行推理．

2．（新编）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买1本，10元钱刚好用完），则不同买法的总数是　266　．

【点拨】先根据组合公式求出都买2元的有多少种情况，再求出1元的2本，2元的就得4本共多少种情况，相加即可．

【解析】解：

首先，都买2元的，就是从8本书中任意选5本这样就有：

C85

56种，

其次，买1元的2本，2元的就得4本，这样就是从3本1元的里面选2本出来然后又从8本2元的里面选4本出来：

C32•C84

210种．

∴56+210＝266种．

故答案为：

266．

【点睛】此题考查了组合数公式的应用，难度不答大，要知道，不仅涉及组合数公式，还要用到乘法原理．

3．（新编）求方程6x+22y＝90的非负整数解．

【点拨】首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可．

【解析】解：

因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：

3x+11y＝45．①

由观察知，x1＝4，y1＝﹣1是方程3x+11y＝1②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

（t为整数），

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180﹣11t≥0③，

﹣45+3t≥0④，

由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t＝15，t＝16两种可能．

当t＝15时，x＝15，y＝0；当t＝16时，x＝4，y＝3．

所以原方程的非负整数解是

，

．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求方程的非负整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．

4．（新编）求11x+15y＝7的整数解．

【点拨】首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可．

【解析】解：

方法1：

将方程11x+15y＝7变形得：

x

，

∵x是整数，

∴7﹣15y应是11的倍数．

由观察得x0＝2，y0＝﹣1是这个方程的一组整数解，

∴方程的解为：

（t为整数）．

方法2：

先考察11x+15y＝1，

通过观察易得：

11×（﹣4）+15×（3）＝1，

∴11×（﹣4×7）+15×（3×7）＝7，

可取x0＝﹣28，y0＝21．

∴方程的解为：

（t为整数）．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的知识．注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．

5．（新编）用S（n）表示自然数n的数字和，如S

（1）＝1，S（12）＝3，S（516）＝12，等等，

试问是否存在这样的自然数n，使得n+S（n）＝2008？

请说明理由．

【点拨】先弄清S（n）与自然数n的关系，根据关系列出等式，得到二元一次方程组，并确定x、y的取值范围，进而推知x、y的整数解与n的取值范围．

【解析】解：

n＝1985或2003（2分）（每个1分）

∵n+S（n）＝2008，

∴1900＜n＜2008，

则可设n＝1900+10x+y或n＝2000+10x+y，

其中0≤x≤9，0≤y≤9，且x，y为整数．（4分）

（1）若n＝1900+10x+y，

则1900+10x+y+1+9+x+y＝2008，

即11x+2y＝98，

∴

，n＝1985．（8分）

（2）若n＝2000+10x+y，

则2000+10x+y+2+x+y＝2008，

即11x+2y＝6，

∴

，n＝2003．

∴n＝1985或2003．（12分）

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，同时是一道材料分析题，需要通过阅读，得到解题的信息，再加以分析．

6．（潮安区）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，求满足条件的所有整数k的值．

【点拨】将原式转化，得到（9﹣k）x＝17，根据x与k均为整数，即可推出k的值．

【解析】解：

9x﹣3＝kx+14，

（9﹣k）x＝17，

∵x，k都是整数，

∴（9﹣k），x都是整数，

∴9﹣k＝﹣17，﹣1，1或17，

∴k＝26，10，8，﹣8．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的范围内通过试解即可得到k的值．

精准预测

1．方程|x|+|y|﹣3＝0共有（　　）组不同的整数解（x，y）

A．16B．14C．12D．10

【点拨】分别求出当|x|＝0、|x|＝1、|x|＝2、|x|＝3时y的值，然后即可求出所有的整数解．

【解析】解：

原方程化为：

|x|+|y|＝3，

当|x|＝0时，|y|＝3，y＝±3；

当|x|＝1时，|y|＝2，y＝±2；

当|x|＝2时，|y|＝1，y＝±1；

当|x|＝3时，|y|＝0，y＝0．

故其整数解有（0，3）、（0，﹣3）、（1，2）、（﹣1，2）、（1，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（﹣2，1）、（2，1）、（﹣2，﹣1）、（2，﹣1）、（﹣3，0）、（3，0），共12个．

故选：

C．

【点睛】本题考查二元一次不定方程的整数解，难度适中，注意分类讨论思想的灵活应用．

2．方程|x﹣2y﹣3|+|x+y+1|＝1的整数解的个数是　2组　．

【点拨】要求整数解，则可得x﹣2y﹣3、x+y+1都为整数，从而可将原方程化为4个方程组，解出符合题意的即可．

【解析】解：

由题意得，x、y都是整数，

故可得x﹣2y﹣3、x+y+1都为整数，

从而可得：

①

，

解得：

；

②

，

解得：

③

，

解得：

；

④

，

解得：

；

综上可得解得整数解为

，

，故有2组．

故答案为：

2组．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，解答本题的关键是将原方程化为四个独立的方程组，难度一般．

3．求方程9x+24y﹣5z＝1000的整数解．

【点拨】设出参数9x+24y＝3t，根据9x+24y﹣5z＝1000，得到x、y、z的参数表达式，根据式子特点，即可得方程有无数组整数解．

【解析】解：

设9x+24y＝3t，即3x+8y＝t，于是3t﹣5z＝1000．

于是原方程可化为

，

用前面的方法可以求得①的解为：

，u是整数；

②的解为

，v是整数．

消去t，得

，u，v是整数．

即当u、v取不同整数的时候，会得到相应的x、y、z的整数值．

【点睛】此题考查了用参数法求一元三次不定方程的整数解，将每个未知数用相应的参数表达是解题的关键．

4．我们知道：

142857×4＝571428；此外，满足此条件的六位数还有吗？

如果有，请求出所有满足条件的六位数；如果没有，请说明理由．

【点拨】设满足条件的六位数为

，则

．再令

，则4•（100x+y）＝10000y+x，其中（1000＜x＜9999，10＜y＜99）．（不定方程式取解时，应考虑x、y的数位分别满足四位与两位）．

【解析】解：

设满足条件的六位数为

，则

．

再令

，则4•（100x+y）＝10000y+x，其中（1000＜x＜9999，10＜y＜99）．

整理得

故另外两个是190476，238095．

【点睛】本题主要考查数位变换能力及不定方程求整数解的能力．

5．已知关于x的方程2mx﹣8＝（m+2）x有正整数解，求整数m的值．

【点拨】将x转化为关于m的代数式，根据x为整数，即可推知m的值．

【解析】解：

由2mx﹣8＝（m+2）x，

解得

，

因为x是正整数，则m﹣2是8的正因数，

故m﹣2的值只能取以下1，2，4，8，

那么整数m的值是3，4，6，10．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程，将原式转化为关于一个未知数的代数式，根据“整数”这一条件进行推理是解题的关键．

6．用S（n）表示自然数n的各位数字之和，如S

（1）＝1，S（12）＝3，S（516）＝12，…，试问是否存在这样的自然数，使得n+S（n）＝2015？

请说明理由．

【点拨】先假设n是三位数和四位数，依据n+S（n）＝2015判断出n的大致范围是在1900到2015之间，设十位数字为a，个位数字为b，根据n+S（n）＝2015列出关于a、b的二元一次方程，根据0≤a≤9，0≤b≤9且a、b均为非负整数可得答案．

【解析】解：

存在这样的自然数1993和2011，使得n+S（n）＝2015．

（1）若n是三位数，n的最大取值为999，

此时999+S（999）＝999+27＝1026＜2015，

所以n不是三位数；

（2）若n是四位数，

①假设1800≤n＜1900，

设十位数字为a，个位数字为b，

则n+S（n）＝1800+10a+b+9+a+b＝2015，

整理得：

11a+2b＝226，

由于0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，

所以11a+2b≤117＜226，

则n≥1900；

②若1900≤n＜2000，

则1900+10a+b+10+a+b＝2015，

整理得11a+2b＝105，

∵0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，

∴a＝9，b＝3，

此时n＝1993；

③若2000≤n＜2015，

则n+S（n）＝2000+10a+b+2+a+b＝2015，

整理得11a+2b＝13，

由于0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b均为整数，

∴a＝1，b＝1；

此时n＝2011；

综上，存在这样的自然数1993和2011，使得n+S（n）＝2015．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，同时是一道材料分析题，需要通过阅读，得到解题的信息，再加以分析．

考点二二元一次不定方程的应用

考点点拨

典例精选

1．（昌江区校级）一个十几岁的孩子把自己的年龄写在父亲年龄的后面，以这个四位数中减去他出生时父亲的年龄得到4289，则孩子有　16　岁．

【点拨】先表示出这个四位数为100x+y，进而建立不定方程100x+y﹣（x﹣y）＝99x+2y＝4289，而10＜x＜20，确定出y的范围取整即可得出结论．

【解析】解：

设父亲x岁，儿子y岁，

∴父亲与儿子的年龄相差（x﹣y）岁，

∵把自己的年龄写在父亲年龄的后面，

∴x的个位在百位上，是原来x的100倍．

∴组成的四位数应该是：

100x+y，

∵这个四位数中减去他出生时父亲的年龄得到4289

100x+y﹣（x﹣y）＝99x+2y＝4289

∵是一个十几岁的男孩，

∴10＜x＜20，

∴20＜2y＜40，

∴4249＜99x＜4269，

∴42.9＜x＜43.1，

∵x是整数，

∴x＝43，

∴儿子的年龄为（4289﹣43×99）÷2＝16岁

故答案为：

16．

【点睛】此题是二元一次不定方程，主要考查了解不等式，读懂题意，