人教版高中数学必修三教案 第二章复习.docx
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人教版高中数学必修三教案第二章复习
本章复习
项目
内容
课题
本章复习
（共1课时）
修改与创新
教学
目标
会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异.
教学重、
难点
教学重点：
会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题.
教学难点：
能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
为了系统掌握本章的知识,我们复习本章内容,教师直接点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）随机抽样的内容包括几部分?
（2）用样本估计总体包括几部分?
（3）变量间的相关关系包括几部分?
活动：
学生思考或交流,回顾所学,教师指导学生复习的思路和方法,及时总结提炼.
讨论结果：
（1）随机抽样的内容包括三部分：
①简单随机抽样：
抽签法：
一般地,用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤为：
将总体中的所有个体编号（号码可以从1到Ｎ）；将1到Ｎ这Ｎ个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）.
将号签放在同一箱中,并搅拌均匀；从箱中每次抽出1个号签,并记录其编号,连续抽取ｋ次；从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.抽样具有公平性原则—等概率—随机性；抽签法适用于总体中个数N不大的情形.
随机数表法：
将总体中的N个个体编号时可以从0开始,例如当N=100时,编号可以是00,01,02,…,99.这样,总体中的所有个体均可用两位数字号码表示,便于使用随机数表．当随机地选定开始的数后,读数的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等．由此可见,用随机数表法抽取样本的步骤是：
对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；在随机数表中任选一个数作为开始；从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的数码xy.
若不在编号中,则跳过；若在编号中,则取出；如果得到的号码前面已经取出,也跳过；如此继续下去,直到取满为止；根据选定的号码抽取样本．
②系统抽样：
系统抽样的步骤为：
采用随机的方式将总体中的个体编号；将整个的编号按一定的间隔（设为k）分段,当
（N为总体中的个体数,n为样本容量）是整数时,k=
；当
不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数Ｎ′能被ｎ整除,这时k=
并将剩下的总体重新编号；在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号1；将编号为1,1+k,1+2k,…,1+（n-1）k的个体抽出．
③分层抽样：
例：
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12000人,其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2435
4567
3926
1072
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样？
分析：
因为总体中人数较多,所以不宜采用简单随机抽样．又由于持不同态度的人数差异较大,故也不宜用系统抽样方法,而以分层抽样为妥．
解：
可用分层抽样方法,其总体容量为12000．
“很喜爱”占
，应取60×
≈12人；
“喜爱”占
应取60×
≈23人；
“一般”占
应取60×
≈20人；
“不喜爱”占
应取60×
≈5人.
因此,采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．
一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体情况,我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样方法叫分层抽样（stratifiedsampling）,其中所分成的各个部分称为“层”．
分层抽样的步骤是：
将总体按一定标准分层；计算各层的个体数与总体的个体数的比；按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．适用于总体中个体有明显的层次差异,层次分明的特点；总体中个体数N较大时,系统抽样,分层抽样二者选其一.
（2）用样本估计总体包括：
①用样本的频率分布估计总体分布.
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：
计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.
频率分布直方图的特征：
从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；
从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
茎叶图.
画茎叶图的步骤如下：
a.将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，在此例中，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；
b.将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；
c.将各个数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧.
用茎叶图表示数据有两个优点：
一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.
茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观、清晰.
②用样本的数字特征估计总体的数字特征.
a.众数、中位数、平均数以及利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数.
利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：
估计众数：
频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：
中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：
频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.
b.标准差
考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差（standarddeviation）.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是x1,x2,…,xn,
表示这组数据的平均数,xi到
的距离是|xi
|（i=1,2,…,n）.
于是，样本数据x1,x2，…，xn到
的“平均距离”是S=
.
由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差
s=
.
c.方差
从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方s2（即方差）来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的工具：
s2=
在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.
（3）变量间的相关关系包括：
①变量之间的相关关系
相关关系的概念：
自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
两个变量之间的关系分两类：
a.确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
b.带有随机性的变量间的相关关系，例如“身高者,体重也重”.我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.
②两个变量的线性相关
a.散点图的概念：
将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.
b.正相关与负相关的概念：
如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：
散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）
c.线性相关关系：
像能用直线方程=bx+a近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
d.线性回归方程：
一般地,设有n个观察数据如下：
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
当a,b使Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2取得最小值时,就称=bx+a为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.
上述式子展开后,是一个关于a,b的二次多项式,应用配方法,可求出使Q为最小值时的a,b的值．即
.
应用示例
例1为了了解高一
（1）班50名学生的视力状况,从中抽取10名学生进行检查．如何抽取呢？
解法1：
通常使用抽签法,方法是：
将50名学生从1到50进行编号,再制作1到50的50个号签,把50个号签集中在一起并充分搅匀,最后随机地从中抽10个号签．对编号与抽中的号签的号码相一致的学生进行视力检查．
解法2：
下面我们用随机数表法求解上面的问题．
对50个同学进行编号,编号分别为01,02,03,…,50；在随机数表中随机地确定一个数作为开始,如第8行第20列的数7开始．为便于说明,我们将附表中的第6行至第10行摘录如下：
16227794394954435482173793237887352096438426349164
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695556719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
57608632440947279654491746096290528477270802734328
从数7开始向右读下去,每次读两位,凡不在01到50中的数跳过去不读,遇到已经读过的数也跳过去,便可依次得到
12,07,44,39,38,33,21,34,29,42
这10个号码,就是所要抽取的10个样本个体的号码．
变式训练
某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人,其中教学人员与教辅人员的比为10∶1,行政人员有24人.
①现采取分层抽样容量为50的样本,那么行政人员应抽取的人数为___________.
A.3B.4C.6D.8
②教学人员和教辅人员应抽取的人数分别为___________和___________.
答案：
①C②404
例2下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理？
（1）从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；
（2）某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号为1—40．有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,需留下32名听众进行座谈；
（3）某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本．
解：
（1）总体容量比较小,用抽签法或随机数表法都很方便;
（2）总体容量比较大,用抽签法或随机数表法比较麻烦,由于人员没有明显差异,且刚好32排,每排人数相同,可用系统抽样;
（3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,故应采用分层抽样方法．
变式训练
要从已编号（1—60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）
A.5,10,15,20,25,30B.3,13,23,33,43,53
C.1,2,3,4,5,6D.2,8,14,20,26,32
答案：
B
例3某单位在岗职工共624人,为了调查工人用于上班途中的时间,决定抽取10％的工人进行调查．如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
解：
第一步:
将624名职工用随机方式进行编号；第二步:
从总体中剔除4人（剔除方法可用随机数表法）,将剩下的620名职工重新编号（分别为000,001,002,…,619）,并分成62段；第三步:
在第一段000,001,002,…,009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码i0；第四步:
将编号为i0,i0+10,i0+20,…,i0+610的个体抽出,组成样本．
变式训练
现有以下两项调查：
①某装订厂平均每小时大约装订图书362册,要求检验员每小时抽取40册图书,检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家,三者数量之比为1∶5∶9．为了调查全市商店每日零售额情况,抽取其中15家进行调查.完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）
A.简单随机抽样法,分层抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.分层抽样法,系统抽样法D.系统抽样法,分层抽样法
答案：
D
知能训练
1.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下：
品种
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
产量较高的是___________;产量比较稳定的是___________.
答案：
乙品种甲品种
2.从两个班中各随机抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
甲班
76
74
82
96
66
76
78
72
52
68
乙班
86
84
62
76
78
92
82
74
88
85
通过作茎叶图，分析两个班学生的数学学习情况.
解：
茎叶图为：
甲班
乙班
2
5
68
6
2
24668
7
468
2
8
24568
6
9
2
从这个茎叶图中可以看出乙班的数学成绩更好一些.
拓展提升
1.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机表第8行第18列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号.
（下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）
……
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439625879
73211234297864560782524207443815510613429966027954
……
解：
从第8行第18列的数开始向右读,是小于或等于799的数就为1个,即719,050,717,512,358是最先检测的5袋牛奶的编号.
课堂小结
本节介绍了从总体中抽取样本的常用方法,并通过实例,研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测．我们学习的是最常用的三种抽样方法．获取样本数据后,将其用频率分布表、频率直方图、频率折线图或茎叶图表示后,蕴含于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计,用样本的极差、方差（标准差）可以估计总体的稳定程度．对两个变量的样本数据进行相关性分析,可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象,得到的线性回归方程可用于预测和估计,为决策提供依据.
作业
复习参考题任选3题.
板书设计
教学反思
本节复习了最常用的三种抽样方法．获取样本数据后,将其用频率分布表、频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后,蕴含于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计,用样本的极差、方差（标准差）可以估计总体的稳定程度．对两个变量的样本数据进行相关性分析,可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象,得到的线性回归方程可用于预测和估计,为决策提供依据.本节对第二章知识和方法进行了归纳和总结,从总体上把握本章,使学生的基本知识系统化和网络化,基本方法条理化,会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决了一些简单的实际问题.
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