4.(2015·浙江)已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.
答案 0 2-3
解析 f(f(-3))=f
(1)=0.
当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3<0,当且仅当x=时,取等号;
当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0时,取等号.
∴f(x)的最小值为2-3.
高考必会题型
题型一 与函数性质有关的简单的抽象函数问题
例1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充要
解析 ①∵f(x)在R上是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称.
∵f(x)为[0,1]上的增函数,
∴f(x)为[-1,0]上的减函数.
又∵f(x)的周期为2,
∴f(x)为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数.
②∵f(x)为[3,4]上的减函数,且f(x)的周期为2,
∴f(x)为[-1,0]上的减函数.
又∵f(x)在R上是偶函数,∴f(x)为[0,1]上的增函数.
由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
点评 抽象函数的条件具有一般性,对待填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.
变式训练1 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
解
(1)令x1=x2>0,
代入f()=f(x1)-f(x2),
得f
(1)=f(x1)-f(x2)=0,故f
(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1.
∵当x>1时,f(x)<0,
∴f<0,即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
(3)由f=f(x1)-f(x2),
得f()=f(9)-f(3).
而f(3)=-1,∴f(9)=-2,
∴原不等式为f(|x|)<f(9).
∵函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
∴|x|>9,∴x<-9或x>9.
∴不等式的解集为{x|x<-9或x>9}.
题型二 与抽象函数有关的综合性问题
例2 对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(a∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?
并说明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
解 f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0有解.
(1)当f(x)=ax2+2x-4a(a∈R)时,
方程f(x)+f(-x)=0即2a(x2-4)=0.
因为方程有解x=±2,
所以f(x)为“局部奇函数”.
(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可化为2x+2-x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.
令t=2x∈[,2],则-2m=t+.
设g(t)=t+,t∈[,2],
则g′(t)=1-,t∈[,2].
当t∈时,g′(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数;
当t∈(1,2)时,g′(t)>0,故g(t)在(1,2)上为增函数.
所以函数g(t)=t+,t∈[,2]的值域为[2,],
由2≤-2m≤,得-≤m≤-1,
故实数m的取值范围是[-,-1].
点评
(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法,因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关,把握好函数的性质.
(2)解答抽象函数问题时,学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题,而导致出错.要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数,而不是具体的某一个函数.因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.
变式训练2 已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:
①f(0)=f
(1)=0;
②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<
|x-y|.
若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|答案
解析 取y=0,则|f(x)-f(0)|<|x-0|,
即|f(x)|取y=1,则|f(x)-f
(1)|<|x-1|,
即|f(x)|<(1-x).
∴|f(x)|+|f(x)|∴|f(x)|<.
不妨取f(x)≥0,则0≤f(x)<,0≤f(y)<,
∴|f(x)-f(y)|<-0=,
要使|f(x)-f(y)|∴k的最小值为.
题型三 函数图象的应用与判断
例3 已知函数且f(a-1)=0,则不等式f(x)>a的解集为________.
答案 (0,)
解析 方法一 由f(a-1)=0得解得a=2,则不等式f(x)>2⇔或解得0a的解集为(0,).
方法二 画出函数f(x)的图象,由图可得a-1=1,即a=2.由图象可得不等式f(x)>2的解集为(0,).
点评
(1)求函数图象时首先考虑函数定义域,然后考虑特殊值以及函数变化趋势,特殊值首先考虑坐标轴上的点.
(2)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质,透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质,并以此为依据进行分析、推断,才是正确的做法.
变式训练3 形如y=(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称为“囧函数”.若当a=1,b=1时的“囧函数”与函数y=lg|x|的交点个数为n,则n=________.
答案 4
解析 由题意知,当a=1,b=1时,
y==
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点.
高考题型精练
1.定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且其导函数f′(x)满足>0,则当2<a<4时,f
(2),f(2a),f(log2a)的大小关系为__________________.
答案 f(2a)<f(log2a)<f
(2)
解析 由函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),得函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2.
因为函数f(x)的导函数f′(x)满足>0,
所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,(-∞,2)上单调递增.
因为2<a<4,所以1<log2a<2<4<2a.
又函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2,
所以f
(2)>f(log2a)>f(2a).
2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同根函数”,给出四个函数:
f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则“同根函数”是________.
答案 f2(x)与f4(x)
解析 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,f2(x)=log2(x+2),将f2(x)的图象沿着x轴先向右平移2个单位得到y=log2x的图象,然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象,故f2(x)与f4(x)为“同根函数”.
3.设函数f(x)=x|x-a|,若对∀x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等式>0恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,3]
解析 由题意分析可知条件等价于f(x)在[3,+∞)上单调递增,又∵f(x)=x|x-a|,
∴当a≤0时,结论显然成立;
当a>0时,f(x)=
∴f(x)在上单调递增,
在上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
∴0<a≤3.
综上,实数a的取值范围是(-∞,3].
4.在平面直角坐标系中,若两点P,Q满足条件:
(1)P,Q都在函数y=f(x)的图象上;
(2)P,Q两点关于直线y=x对称,
则称点对{P,Q}是函数y=f(x)的一对“和谐点对”.(注:
点对{P,Q}与{Q,P}看作同一对“和谐点对”)
已知函数f(x)=则此函数的“和谐点对”有________对.
答案 2
解析 作出函数f(x)的图象,然后作出f(x)=log2x(x>0)关于直线y=x对称的函数的图象,与函数f(x)=x2+3x+2(x≤0)的图象有2个不同交点,所以函数的“和谐点对”有2对.
5.对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:
(1)对任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;
(2)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
则下列3个函数中不是M函数的个数是________.
①f(x)=x2;②f(x)=x2+1;③f(x)=2x-1.
答案 1
解析 在[0,1]上,3个函数都满足f(x)≥0.
当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时:
对于①,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]
=(x1+x2)2-(x+x)=2x1x2≥0,满足;
对于②,f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=
[(x1+x2)2+1]-[(x+1)+(x+1)]=2x1x2-1<0,不满足;
对于③,f(x1+x2)-[f(x1)+f