毕业论文巴特沃斯低通滤波器设计.docx
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毕业论文巴特沃斯低通滤波器设计
课程设计报告
题目：
巴特沃思低通滤波器的设计
学院
专业
学号
学生姓名
指导教师
低通滤波器设计要求：
1
滤波器简介2
设计原理与设计过程3
1、滤波器设计中的归一化与去归一化3
2、滤波器设计中的逼近问题3
3、巴特沃思（Butterworth）响应4
4、电路实现7
5、matlab仿真9
小结13
低通滤波器设计要求:
通带角频率•七=90二rad/s
阻带角频率•・s=150二rad/s
通带内允许最大衰减Amax=3dB阻带内允许最小衰减Amin=10dB
滤波器简介
滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。
滤波器是给出规定响应的一个网络，是用一组激励一一响应关系表征的系统，如图1所示
滤波器的主要作用是让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的反射。
按处理信号的不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。
模拟滤波器可处理模拟的或连续时间信号，数字滤波器可处理数字信号；按输出信号的不同频率，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器。
其中模拟滤波器，按构成元件的不同又可分为有源滤波器和无源滤波器两种。
激励
响应
・
图1-1
通常用滤波器的转移函数表征滤波器的特性，设响应的象函数为U°（s），激励
的象函数为Ui（s），则转移函数为
在正弦情况下，S二j，，相应地，上式的频域响应函数可写为
H（jgHj）e皿
其中，H（jeo）为幅频函数。
定义相频函数
（）=/H（j•）
定义群时延函数为
C'）—■（'）
d«
滤波器的幅频函数和相频函数或群时延函数，共同表征了这个滤波器的特性。
设计原理与设计过程
1、滤波器设计中的归一化与去归一化
对于实际电路，电路中的电阻元件、电容元件、电感元件的数值分布范围很大，在电路分析、设计的计算过程中，所需处理的数据的大小相差甚远，这样，往往容易产生计算误差。
同时，综合的理论依据和方法与函数的大小无关，因此，为便于理论分析和计算，通常将电路参数作归一化处理，以便产生通用的计算公式和图表。
采用归一化的方法，不仅便于分析和计算，也可避免误差的产生。
归一化处理包括阻抗归一化和频率归一化两种。
如果将网络的全部阻抗除以
常数kZ，相当于所有的电阻值、电感值除以kZ，电容值乘以kZ，这一过程称
为阻抗归一化，kz称为阻抗归一化系数。
同理，可将角频率除以常数k,，这
一变换称为频率归一化，k称为频率归一化系数。
为使网络函数不受频率变
换的影响，变换前后各元件的阻抗值应保持不变，因此，电阻值R不受变换
的影响，电感值L和电容值C应乘以k.,
在设计过程中，按各种综合方法得到的网络参数通常为归一化参数，因此还需要将这些参数转换为满足实际要求的参数，这一逆运算称为去归一化。
2、滤波器设计中的逼近问题
各种理想滤波器的幅频特性不具有可实现性，因为它们具有非因果性。
对于RLC电路来说，转移函数的幅度通常是角频率■的函数，因此，在角频
率0~「c之间，幅度不可能是常数，若幅度在角频率O~「C之间是常数，则它在所有角频率范围即0~二处都是常数。
因此，必须对理想特性作一定的修正，使其具有可实现性，同时修改后的性能在一定误差范围内也能满足要求。
这就是所谓的逼近问题，即用具有可实现性的转移函数来描述所需的技术要求，它的幅频特性、相频特性或群时延函数与所求电路的特性近似。
通常，修正的方式为，允许幅频函数在通带内有一定的衰减，在阻带内有微弱的信号存在，并在两者之间增加过渡带，如图1所示，称为滤波器的容差图。
其中，Amax为通带内允许最大衰减，Amin
为阻带内允许最小衰减，'c称为通带角频率，'s称为阻带角频率
图1滤波器的容差图
在模拟滤波器的逼近问题中，有两个基本约束条件。
第一是关于传递函数H（s）的性质。
由网络理论中有关网络函数的基本定理可知，一个具有可实现的模拟滤波器的转移函数是实有理函数。
第二是关于构造过程中的约束。
构造的转移函数H（s）只能唯一满足幅频函数的要求或唯一满足相频函数的
要求，而不可能同时满足幅频函数和相频函数的要求。
关于逼近问题已有许多成熟的方法，如巴特沃斯（Butterworth）响应，切比雪夫（Chebyshev）响应、倒切比雪夫响应、椭圆响应、贝塞尔-汤姆逊响应等，它们各具有不同的特性。
3、巴特沃思（Butterworth）响应
一个n阶低通巴特沃思滤波器的幅频函数为
式中，•匕为通带下边界角频率；；是小常数，其值应满足；2乞1。
可看出该
幅频函数在■=0处具有最大平直的特点，而且随着，的增大而单调下降，因此，它可以用来逼近低通滤波器，逼近的程度随n的增大而增高。
1
令门=；n（_），
（0
c
则其归一化表达式可写为
将门—带入上式可得
j
令1（~1^n=0，可解出H（s）的极点，其表达式为
所以H（s）的全部极点位于一个单位圆上，位于左半平面的极点有
用位于左半平面的这些极点构造的H（s）的分母多项式称为巴特沃思多项式,相应地，n阶巴特沃思低通函数可写为
表1给出了n=1,2,…，7时的巴特沃思多项式
n
P（s）
1
s+1
2
S2十72s+1
3
32
s+2s+2s+1
4
s4+2.6131S3+3.4142S2+2.6131S+1
5
s5+3.2361S4+5.2361S3+5.2361S2+3.2361S+1
6
s6+3.8637S5+7.4641S4+9.1416S3+7.4641s2+3.8637s+1
7
765432
s+4.4940s+10.0978s+14.5918s+14.5918s+10.0978s+4.4940s+1
表1巴特沃思多项式
上式中，常数；的作用是调整通带内允许的最大衰减，使其可小于3dB。
逼近过程中，需要确定的参数为；和巴特沃斯多项式的阶数n,其中，通带内允
许最大衰减Amax确定了；的大小；阶数n的大小取决于阻带内允许的最小衰
减Amin。
首先，推导；的计算。
习惯上，多用衰减（分贝数）表示幅频特性,令
A（；r）=_20lg
H（j）
H（0）
则巴特沃斯低通响应
当，二c时，产生通带内最大衰减，即
Amax"0lg（1①
解上式可得
；-100.1Amax-1
当•1s时，产生阻带内最小衰减
―10叶逬”
上式可写为
对式求解，可得
将式代入可得
代入c=90二rad/s,
100.1Amin
2n
100.1扁_1
ig
（2）
n—
•I2
ig（s）2
■c
10°.1Amin—1n_lg100.1Amax_1
国s
2lg」
■c
s=150「rad/s,Amax=3dB，Amin=10dB；得
；=■,100.1Amax_1=一100.13_1=0.51
号10“1:
-1）
0.110‘
.J0_1、
lg
（2）
0.512
lg（
150二
90■:
=3.47
取n=4
Amin=10lg1
（乞）2nLoig1+0.512（
«cI
1；2（S'2n
即4阶巴特沃思函数可满足要求。
查表1可得
1
H（S）二~432
s+2.6131s+3.4142s+2.6131s+1上式为归一化表达式。
去归一化，用
SS
•c90二
代替上式等号右边表达式中的s可得
H（s）=6.39如09
s_s47.39102s32.73105s25.91107s6.39109
4、电路实现
由于n阶巴特沃思滤波器分母多项式是霍尔维兹多项式，并且H（s）全部传输零点在s「：
处，因而可以用图示达林顿电路结构实现。
一般情况电路都是在匹配情况下工作，所以取信号源内阻RS和负载电阻R相等。
此时满足
nn
S（-s）bn（s）Bn（-S）
其中Bn（S）是表1中所列的巴特沃思多项式。
由上式得到归一化的反射系数
用达林顿电路实现时，策动点阻抗函数
上式表示具有巴特沃思滤波特性的电路有两种可能的综合形式:
Zn（s）T曾;和Z'11（s）=Rs|4斗
Bn（S）-SBn（s）+s
本设计中选取
乙1（小^_^
Bn（s）-sn
其中
Bn（s）=B4（s）=S42.6131s33.4142s22.6131s1
Z11G）B4（s）s42s42.6131s33.4142s22.6131s1
2.6131s33.4142s22.6131s1
"rT飞（s）-s4=
展开成连分式表示
乙1（s）
」0.7654s
Rs1.8478s
1.8478s
0.7654s+1
二L「s
C2's
21
L3's
3C4W1
其中，LJ,C2',L3'，C4'是归一化电感、电容值，其实现电路如下图2所示,
图2归一化电路图
在实际实现电路时，需要把原型滤波器的元件值对频率和内阻去归一化。
电阻值恢复原来值即可，实际电容、电感值可由下式求出
Rs
LSL'
-'C
1
CC'
RS&'C
根据原型电路图对各元件去归一化，其中Rs取600Q:
二Rsg、6000.7654=1.62H
-'C
C2
C4
—C2'丄1.8478=1.0910“F
RsC6002-45
=-RsL3'6001.8478=3.92H
C2二45
A
——C4'-0.7654=4.5110»F
Rsc6002-45
标准化参数，取
Li=1.6H,C2=10uF,L3=3.9H,C4=4.7uF
5、matlab仿真
仿真电路如图3所示。
亡DntinuouE
povengiui
图3simulink仿真电路
用matlab软件仿真后，所得波特图如图4所示。
通过波特图可以看出所设计滤波器满足要求的技术指标。
LUViewer:
LinearizationQuickPlot
FileEditWindowHeIp
□\订困
-150
0
-360
-1=1
BodeDiagram
From：
hlTo.Out1
50
-ICC
-90
-150
-270
1
102
Frequency（rad/sec）
10
10
LTIViev.-er
图4simulink仿真波特图
在上述仿真电路输入端分别加两个正弦电压源信号，AC1为10V电压，60Hz
频率；AC2为1V电压，600Hz频率。
得到仿真结果如图5所示。
其中，图5下面部分为输入的两交流电压源的叠加信号，上面部分为通过滤波器后的输出信号。
通过对比可以看出，滤波器作用显著。
TJfvifoITmI4-
图5高频、低频叠加信号输入及输出波形
图6为60Hz交流电压源单独作用是的仿真结果。
下面部分为输入信号，上面部分为输出信号。
图6低频输入及输出波形
图7为600Hz交流电压源单独作用仿真结果，下面部分为输入信号，上面部
分为输出信号。
可以看到高频信号的幅值从-1v~1v衰减到-1.5X10」v~1.5X
10爼v,衰减了
6.7X104倍，滤波效果显著
图7高频输入及输出波形
小结
在本次滤波器课程设计中，根据设计要求，通过分析计算选用了4阶巴特沃思型滤波器，根据滤波器设计原理，求出系统的归一化传递函数，通过去归一化得到具体实际电路，求出理论的电容电感参数，然后，根据实际选取相关标准化参数，并用Matlab/Simulink软件进行了仿真实验，由输出波形和波特图看出，电路很好的实现了滤波的功能。
在制作实际电路中，由于电容电感可能会存在误差，并且根据环境的不同，实现的效果可能跟电路仿真的结果有差距，这就需要在制作的时候，综合考虑各个因素，并在不断试验中，选出最佳的参数。
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