最新微分几何 陈维桓 第四章讲稿.docx
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最新微分几何陈维桓第四章讲稿
微分几何陈维桓第四章讲稿
第四章曲面的第二基本形式50
§4.1第二基本形式50
§4.2法曲率51
§4.3Weingarten映射和主曲率54
一、Gauss映射和Weingarten变换54
二、主曲率和主方向55
§4.4主方向和主曲率的计算57
一、Gauss曲率和平均曲率57
二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵58
三、第三基本形式59
§4.5Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开60
§4.6某些特殊曲面63
一、Gauss曲率«SkipRecordIf...»为常数的旋转曲面63
二、旋转极小曲面64
第四章曲面的第二基本形式
本章内容：
第二基本形式，法曲率，Gauss映射和Weingarten变换，主方向与主曲率，Dupin标形，某些特殊曲面
计划学时：
12学时，含习题课3学时.
难点：
主方向与主曲率
§4.1第二基本形式
设«SkipRecordIf...»为正则曲面，«SkipRecordIf...»是单位法向量.向量函数«SkipRecordIf...»的一阶微分为
«SkipRecordIf...»，
二阶微分为
«SkipRecordIf...».
由于«SkipRecordIf...»，再微分一次，得«SkipRecordIf...».
定义二次微分式
«SkipRecordIf...»（1.6）
称为曲面«SkipRecordIf...»的第二基本形式（secondfundamentalform），其中
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»（1.4-5）
称为曲面«SkipRecordIf...»的第二类基本量.
第二基本形式的几何意义：
刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度.
由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号.但是，在参数变换下第二类基本量«SkipRecordIf...»一般都会改变.
第二基本形式与空间坐标系的选取无关.
对曲面«SkipRecordIf...»作参数变换
«SkipRecordIf...»（1.7）
在新的参数下，
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
因此
«SkipRecordIf...».（1.10）
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，从而«SkipRecordIf...»；当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，从而«SkipRecordIf...».
在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律.事实上，记参数变换（1.7）的Jacobi矩阵为
«SkipRecordIf...».
则
«SkipRecordIf...».（1.14）
从而
«SkipRecordIf...»，
即有
«SkipRecordIf...».（1.13）
例求平面«SkipRecordIf...»和圆柱面«SkipRecordIf...»的第二基本形式.
解.
（1）对平面，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...».
（2）对圆柱面，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».因此
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...».□
定理1.1正则曲面«SkipRecordIf...»是平面（或平面的一部分），当且仅当«SkipRecordIf...»的第二基本形式«SkipRecordIf...».
证明“«SkipRecordIf...»”平面«SkipRecordIf...»的单位法向量«SkipRecordIf...»是常向量，故«SkipRecordIf...».
“«SkipRecordIf...»”由«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...».同理有«SkipRecordIf...».所以«SkipRecordIf...»是常向量.于是«SkipRecordIf...».故«SkipRecordIf...».□
定理1.2正则曲面«SkipRecordIf...»是球面（或球面的一部分），当且仅当«SkipRecordIf...»的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：
«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是非零函数.
证明“«SkipRecordIf...»”不妨设球心为原点，半径为«SkipRecordIf...».则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».从而
«SkipRecordIf...».
“«SkipRecordIf...»”由条件，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»（因为«SkipRecordIf...»是独立的变量）.所以
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
又«SkipRecordIf...».故
«SkipRecordIf...».
（1）
同理有
«SkipRecordIf...».
（2）
因为«SkipRecordIf...»是三次以上连续可微的，«SkipRecordIf...».于是
«SkipRecordIf...»，
即有«SkipRecordIf...».由于«SkipRecordIf...»线性无关，«SkipRecordIf...».故«SkipRecordIf...»是非零常数.由
（1）和
（2）得
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
所以«SkipRecordIf...»是常向量.从而«SkipRecordIf...»上的点满足球面方程
«SkipRecordIf...».□
课外作业：
习题1（1,4,5），2（3），3，6
§4.2法曲率
设«SkipRecordIf...»是曲面«SkipRecordIf...»上过点«SkipRecordIf...»的一条正则曲线，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的弧长参数，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»点的曲纹坐标.则«SkipRecordIf...»的单位切向量为
«SkipRecordIf...».（2.3）
根据Frenet公式，«SkipRecordIf...»的曲率向量
«SkipRecordIf...»，（2.4）
其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的曲率.设«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的单位法向量，«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...».
定义函数
«SkipRecordIf...»（2.6）
«SkipRecordIf...»（2.5）
称为曲面«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点沿着切方向«SkipRecordIf...»（即«SkipRecordIf...»）的法曲率（normalcurvature）.
注曲面上所有在«SkipRecordIf...»点相切的曲线在«SkipRecordIf...»点有相同的法曲率，并且在«SkipRecordIf...»点这些曲线的曲率中心位于垂直于切方向的平面（«SkipRecordIf...»的法平面«SkipRecordIf...»）内的一个直径为«SkipRecordIf...»的圆周上：
曲率中心为
«SkipRecordIf...».
沿着曲线«SkipRecordIf...»，有«SkipRecordIf...».由于«SkipRecordIf...»是弧长参数，因此在«SkipRecordIf...»点成立
«SkipRecordIf...».
定义2.1在曲面«SkipRecordIf...»上对应于参数«SkipRecordIf...»的点«SkipRecordIf...»处，沿着切方向«SkipRecordIf...»的法曲率为
«SkipRecordIf...».（2.8）
注法曲率除了与点«SkipRecordIf...»有关，还与切方向即比值«SkipRecordIf...»有关.但是与切向量«SkipRecordIf...»的大小无关.上面的定义不要求以«SkipRecordIf...»为切向量的曲线«SkipRecordIf...»以弧长«SkipRecordIf...»为参数.
定义曲面«SkipRecordIf...»上过«SkipRecordIf...»点的一个切方向«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»点的法线确定的平面«SkipRecordIf...»称为由切方向«SkipRecordIf...»确定的法截面.法截面«SkipRecordIf...»与曲面«SkipRecordIf...»的交线称为该点的一条法截线.
定理2.1曲面«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点，沿切方向«SkipRecordIf...»的法曲率«SkipRecordIf...»等于该切方向确定的法截线«SkipRecordIf...»在相应的有向法截面«SkipRecordIf...»（以«SkipRecordIf...»为平面«SkipRecordIf...»的定向）中的相对曲率，即有«SkipRecordIf...».
证明设该点是«SkipRecordIf...»，沿切方向«SkipRecordIf...»的单位切向量为«SkipRecordIf...»，在«SkipRecordIf...»点的单位法向量为«SkipRecordIf...».则法截面的定向是«SkipRecordIf...»，从而法截线«SkipRecordIf...»的弧长参数方程为
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...».因为«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的切向量，«SkipRecordIf...».从而«SkipRecordIf...».因此«SkipRecordIf...»是由«SkipRecordIf...»确定的切方向.由定义，沿切方向«SkipRecordIf...»的法曲率
«SkipRecordIf...».
另一方面，法截线«SkipRecordIf...»在该点的相对曲率
«SkipRecordIf...».
所以有«SkipRecordIf...».□
例
（1）平面的法曲率.
在平面«SkipRecordIf...»上，«SkipRecordIf...».所以在任意点«SkipRecordIf...»，沿任意切方向«SkipRecordIf...»，都有法曲率«SkipRecordIf...».
（2）圆柱面«SkipRecordIf...»的法曲率.
对圆柱面，由上一节的例，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...».
（3）球面«SkipRecordIf...»的法曲率.
由定理1.2，«SkipRecordIf...».所以«SkipRecordIf...»是非零常数.□
定理2.2在曲面«SkipRecordIf...»上任意一点«SkipRecordIf...»处，法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.
证明在固定点«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»都是常数，法曲率«SkipRecordIf...»仅与比值«SkipRecordIf...»有关.取«SkipRecordIf...»点邻近的正交参数网.则任意单位切向量«SkipRecordIf...»，可以写成
«SkipRecordIf...»，
其中
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...».
沿着切方向«SkipRecordIf...»的法曲率
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
是«SkipRecordIf...»上的连续可微周期函数，必定在闭区间«SkipRecordIf...»上取到最大值和最小值.
如果«SkipRecordIf...»是常值函数，则«SkipRecordIf...»在任意两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.
设«SkipRecordIf...»不是常值函数，则它的最大值和最小值不相等.通过对曲面作参数变换
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
不妨设在«SkipRecordIf...»处«SkipRecordIf...»取到最大值«SkipRecordIf...».由于
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
并且«SkipRecordIf...»，有
«SkipRecordIf...».
所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处取到最小值«SkipRecordIf...».□
定义2.2在曲面«SkipRecordIf...»上一个固定点«SkipRecordIf...»处，法曲率取最大值和最小值的切方向称为曲面«SkipRecordIf...»在该点的主方向（principaldirection），相应的法曲率称为«SkipRecordIf...»在该点的主曲率（principalcurvature）.
注由上面的推导过程可知，如果在«SkipRecordIf...»点«SkipRecordIf...»不是常值函数，«SkipRecordIf...»在闭区间«SkipRecordIf...»上只有4个零点，所以在«SkipRecordIf...»点«SkipRecordIf...»只有两个主曲率«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».于是有下面的Euler公式：
«SkipRecordIf...»，
其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，并且«SkipRecordIf...».
定义2.3
（1）在曲面«SkipRecordIf...»上一点，使法曲率为零的切方向«SkipRecordIf...»称为该点的一个渐近方向（asymptoticdirection）.
（2）设«SkipRecordIf...»是曲面«SkipRecordIf...»上的一条曲线.若«SkipRecordIf...»上每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向，则称«SkipRecordIf...»是曲面«SkipRecordIf...»上的一条渐近曲线（asymptoticcurve）.
在一点«SkipRecordIf...»处，渐近方向«SkipRecordIf...»是二次方程
«SkipRecordIf...»（2.5）
的解.当«SkipRecordIf...»时，有两个实渐近方向
«SkipRecordIf...»；
当«SkipRecordIf...»时，只有一个实渐近方向«SkipRecordIf...»；当«SkipRecordIf...»时，没有实渐近方向.
让«SkipRecordIf...»变动，则（2.5）就是渐近曲线的微分方程.如果在曲面上每一点，«SkipRecordIf...»，则曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向向量场.根据第三章定理4.1，在曲面上有由渐近曲线构成的参数曲线网，称为渐近线网.
定理2.3参数曲线网是渐近线网的充分必要条件是：
«SkipRecordIf...».
证明“«SkipRecordIf...»”在«SkipRecordIf...»-曲线上«SkipRecordIf...».由（2.5）得«SkipRecordIf...».同理可得«SkipRecordIf...».
“«SkipRecordIf...»”（2.5）现在成为«SkipRecordIf...».因此«SkipRecordIf...»-曲线和«SkipRecordIf...»-曲线都是渐近曲线.□
定理2.4设«SkipRecordIf...»是曲面«SkipRecordIf...»上的一条曲线.则«SkipRecordIf...»是渐近线，当且仅当«SkipRecordIf...»是直线，或«SkipRecordIf...»的密切平面与曲面的切平面重合.
证明由公式«SkipRecordIf...»可得.□
课外作业：
习题1，4，7.
§4.3Weingarten映射和主曲率
一、Gauss映射和Weingarten变换
设«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»）是一个正则曲面，«SkipRecordIf...»是它的单位法向量.向量函数«SkipRecordIf...»定义了一个映射«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»中的单位球面.因为空间«SkipRecordIf...»中的点与它的位置向量是一一对应的，映射«SkipRecordIf...»诱导了映射
«SkipRecordIf...».（3.1）
这个映射«SkipRecordIf...»称为Gauss映射.注意Gauss映射的象不一定是«SkipRecordIf...»的一个区域.
Gauss映射«SkipRecordIf...»的切映射«SkipRecordIf...»是一个线性映射，满足«SkipRecordIf...»，即
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».（3.2）
特别有
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».（3.4）
因为«SkipRecordIf...»同时也是«SkipRecordIf...»的法向量，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点的切平面与«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点的切平面是平行的，从而在自由向量的意义下可将«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等同.
定义线性映射«SkipRecordIf...»称为曲面«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点的Weingarten变换（Weingartentransformation）.
事实上，因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...».由定义可知，
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».（3.5）
二、主曲率和主方向
定理3.1«SkipRecordIf...».□
定理3.2相对于切空间的内积，Weingarten变换«SkipRecordIf...»是自共轭（对称）的，即
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».
证明«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».□
根据线性变换理论，Weingarten变换«SkipRecordIf...»的2个特征值«SkipRecordIf...»都是实的（这2个特征值可能相等）.设«SkipRecordIf...»分别是从属于它们的特征向量，即«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...».当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»所确定的切方向«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»是唯一的，且相互正交.当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»中的任何非零向量都是特征向量.因此仍然有两个相互正交的特征方向.
定理3.3在曲面«SkipRecordIf...»上任意一点«SkipRecordIf...»处，«SkipRecordIf...»的2个特征值«SkipRecordIf...»正好是曲面«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点的主曲率，对应的特征方向是曲面«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»点的主方向.
证明取«SkipRecordIf...»的由«SkipRecordIf...»的特征向量构成的单位正交基«SkipRecordIf...»，使得
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，（3.12）
并设«SkipRecordIf...».
对任意一个单位切向量«
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