集合人教A版高中数学必修1课时训练含答案.docx

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集合人教A版高中数学必修1课时训练含答案

1.1.1.1集合的含义

1．下列几组对象可以构成集合的是（　　）．

A．充分接近π的实数的全体

B．善良的人

C．某校高一所有聪明的同学

D．某单位所有身高在1.7m以上的人

解析　A、B、C中标准皆不明确，故选D.

答案　D

2．下面有四个语句：

①集合N*中最小的数是0；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有2个元素．

其中正确语句的个数是（　　）．

A．0B．1C．2D．3

解析　N*是不含0的自然数，所以①错；取a＝

，则－

∉N，

∉N，所以②错；对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错；对于④，解集中只含有元素1，故④错．

答案　A

3．下列所给关系正确的个数是（　　）．

①π∈R；　②

∉Q；　③0∈N*；　④|－4|∉N*.

A．1B．2C．3D．4

解析　∵π是实数，

是无理数，∴①②正确，又∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．

答案　B

4．设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.

解析　矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.

答案　∈　∉

5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．

解析　方程x2－5x＋6＝0的解是2,3，方程x2－x－2＝0的解为－1,2，故以两方程的解为元素的集合中共有3个元素．

答案　3

6．设1,0，x三个元素构成集合A，若x2∈A，求实数x的值．

解　①若x2＝0，则x＝0，此时A中只有两个元素1,0，这与已知集合A中含有三个元素矛盾，故舍去．

②若x2＝1，则x＝±1.

当x＝1时，

集合A中的元素有重复，舍去；

当x＝－1时，

集合A中的元素为1,0，－1，符合题意．

③若x2＝x，则x＝0或x＝1，

不符合集合中元素的互异性，都舍去．

综上可知：

x＝－1.

7．已知x、y、z为非零实数，代数式

＋

＋

＋

的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（　　）．

A．0∉MB．2∈MC．－4∉MD．4∈M

解析　分类讨论：

x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0，－4，∴4∈M.

答案　D

8．满足“a∈A且4－a∈A”，a∈N且4－a∈N的有且只有2个元素的集合A的个数是（　　）．

A．0B．1C．2D．3

解析　∵a∈N，a∈A且4－a∈A，且A中只含2个元素，

∴集合A中元素可能为0,4或1,3，共2个．

答案　C

9．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．

解析　由a2≠1，得a≠±1.

答案　±1

10．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．

解析　∵y＝－x2＋1≤1，且y∈N，∴y的值为0,1.

答案　0或1

11．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．

解　由题意得

或

解得

或

或

或

由集合元素的互异性，知

或

12．（创新拓展）设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

解　∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.

由集合元素的互异性，知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

1.1.1.2集合的表示

1．下列集合表示法正确的是（　　）．

A．{1,2,2}B．{全体实数}C．{有理数}D．{祖国的大河}

解析　选项A不符合集合中元素的互异性；选项B中“{　}”的意义就是全体的意思，两者重复；选项D不具备确定性，不能用集合的表示．

答案　C

2．集合M＝{（x，y）|xy>0，x∈R，y∈R}是指（　　）．

A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集

C．第一、三象限内的点集D．第二、四象限内的点集

解析　因为xy>0，所以x与y同号．

答案　C

3．下列语句：

①0与{0}表示同一个集合；

②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；

③方程（x－1）2（x－2）2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；

④集合{x|4

正确的是（　　）．

A．只有①和④B．只有②和③

C．只有②D．以上语句都不对

答案　C

4．集合A＝{a，b，（a，b）}含有________个元素．

解析　集合A中含有3个元素，分别是a，b，（a，b）．

答案　3

5．用列举法表示集合A＝

＝________.

解析　∵x∈Z，

∈N，∴6－x＝1,2,4,8.此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．

答案　{5,4,2，－2}

6．用另一种方法表示下列集合．

（1）{绝对值不大于2的整数}；

（2）{能被3整除，且小于10的正数}；

（3）{x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；

（4）{（x，y）|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；

（5）{－3，－1,1,3,5}．

解　

（1）{－2，－1,0,1,2}．

（2）{3,6,9}．

（3）∵x＝|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x<5，

∴x＝0或1或2或3或4.

∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．

（4）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}．

（5）{x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．

7．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为（　　）．

A．{0,1}B．{（0,1）}

C.

D.

解析　把x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，∴交点为（0,1），选B.

答案　B

8．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2＋1}（A、B中x∈R，y∈R）．选项中元素与集合的关系都正确的是（　　）．

A．2∈A，且2∈B

B．（1,2）∈A，且（1,2）∈B

C．2∈A，且（3,10）∈B

D．（3,10）∈A，且2∈B

解析　集合A中元素y是实数，不是点，故选B、D不对，集合B的元素（x，y）是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错．

答案　C

9．已知集合{－1,0,1}与集合{0，a，b}相等，则a2010＋b2011的值等于________．

解析　由题意，得a＝－1，b＝1或a＝1，b＝－1，即a2010＋b2011＝0或2.

答案　0或2

10．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为________．

解析　由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，

∴（－5）2＋5a－5＝0，

解得a＝－4.

则方程x2＋ax＋3＝0即为x2－4x＋3＝0，

解得x＝1或x＝3.

∴{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，

所以元素之和为1＋3＝4.

答案　4

11．用适当的方法表示下列对象构成的集合．

（1）绝对值不大于3的整数；

（2）平面直角坐标系中不在第一、三象限内的点；

（3）方程

＋|y－2|＝0的解．

解　

（1）用列举法：

{－3，－2，－1,0,1,2,3}；

或用描述法：

{绝对值不大于3的整数}，或写成{x||x|≤3，x∈Z}．

（2）因为在第一、三象限内的点（x，y）的横坐标x、纵坐标y同正（第一象限）或同负（第三象限），即xy>0，

所以不在第一、三象限内的点（x，y）满足xy≤0，

因此该集合可用描述法表示为{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}．

（3）由算术平方根及绝对值的意义，若干个非负数的和为零，则这几个非负数均为零，则必有

即

因此该方程的解的集合为

12．（创新拓展）已知集合M＝{0,2,4}，定义集合P＝{x|x＝ab，a∈M，b∈M}，求集合P.

解　∵a∈M，b∈M，∴a＝0,2,4，b＝0,2,4.

当a，b至少有一个为0时，x＝ab＝0；

当a＝2且b＝2时，x＝ab＝4；

当a＝2且b＝4时，x＝ab＝8；

当a＝4且b＝2时，x＝ab＝8；

当a＝4且b＝4时，x＝ab＝16.

根据集合中元素的互异性，知P＝{0,4,8,16}．

1.1.2集合间的基本关系

1．下列说法：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.

其中正确的有（　　）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

解析　①空集是其自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是空集的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．

答案　B

2．如果A＝{x|x>－1}，那么正确的结论是（　　）．

A．0⊆AB．{0}A

C．{0}∈AD．∅∈A

解析　由于0>－1，所以{0}A.

答案　B

3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是（　　）．

A．5B．6C．7D．8

解析　∵A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，

∴集合A有3个元素，故集合A有23－1＝7（个）真子集．

答案　C

4．下列关系中正确的是________．

①∅∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{（0,1）}；④{（a，b）}＝{（b，a）}．

解析　∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{（0,1）}是含有一个元素的点集，③错误；{（a，b）}与{（b，a）}是两个不相等的点集，④错误．故正确的是②.

答案　②

5．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系错误的有________．

①SU；②FT；③ST；④SF；⑤SF；⑥FU.

解析　根据子集、真子集的Venn图，可知SU，ST，FU正确，其余错误．

答案　②④⑤

6．已知集合A＝{（x，y）|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．

解　∵A＝{（x，y）|x＋y＝2，x，y∈N}，

∴A＝{（0,2），（1,1），（2,0）}．

∴A的子集有：

∅，{（0,2）}，{（1,1）}，{（2,0）}，{（0,2），（1,1）}，{（0,2），（2,0）}，{（1,1），（2,0）}，{（0,2），（1,1），（2,0）}．

7．已知集合A＝

，B＝

，则（　　）．

A．ABB．BA

C．A＝BD．A与B关系不确定

解析　对B集合中，x＝

，k∈Z，当k＝2m时，x＝

，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝

－

，m∈Z，故按子集的定义，必有AB.

答案　A

8．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有（　　）．

A．6个B．7个C．8个D．15个

解析　集合M必含元素a，且为{a，b，c，d}的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M：

{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}．

答案　B

9．设A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若BA，则a的值为________．

解析　∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.

若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，

解得a＝2或a＝－1，符合题意；

若a2－a＋1＝a，则a＝1.

此时A＝{1,3,1}，不符合题意，舍去．

综上可知a的值为2或－1.

答案　2或－1

10．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的取值是________．

解析　P＝{－1,1}，∵Q⊆P

若Q＝∅，则a＝0，此时满足Q⊆P，

若Q≠∅，则Q＝

，由题意知，

＝1或

＝－1，解得a＝±1.综上可知，a的取值是0，±1.

答案　0，±1

11．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．

解　因为M＝N，所以（a－3）＋（2a－1）＋（a2＋1）＝－2＋（4a－3）＋（3a－1），即a2－4a＋3＝0.

解得a＝1或a＝3.

当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；

当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．

故所求实数a的值为1.

12．（创新拓展）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）若x∈Z，求A的非空真子集的个数；

（3）当x∈R时，若没有元素使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A；

当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，

则

解得－3≤m≤3，则2≤m≤3.

综上可得m≤3时，有B⊆A.

（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，

所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.

（3）由于x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且没有元素使x∈A与x∈B同时成立，

①若B＝∅，则由m＋1>2m－1，得m<2，满足条件；

②若B≠∅，则要满足条件

或

解得m>4.

综上，m<2或m>4.

1.1.3集合的基本运算（并集、交集）

1．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于（　　）．

A．{x|x<－5或x>－3}

B．{x|－5

C．{x|－3

D．{x|x<－3或x>5}

解析　结合数轴得：

M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

答案　A

2．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．

答案　B

3．设集合M＝{m∈Z|－3

A．{0,1}B．{－1,0,1}

C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}

解析　M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．

答案　B

4．若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________.

解析　P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}．

答案　{－1}

5．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2

解析　结合数轴得：

A∪B＝{x|x>－2}．

答案　{x|x>－2}

6．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.

解　∵B⊆（A∪B），∴x2－1∈（A∪B）．

∴x2－1＝3或x2－1＝5.

解得x＝±2或x＝±

.

若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．

若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．

7．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．

答案　D

8．已知集合A＝{（x，y）|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝（　　）．

A．{－2}B．{（－2，－3）}

C．∅D．{－3}

解析　由于A是点集，B是数集，∵A∩B＝∅.

答案　C

9．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A是________．

解析　∵{0,1}∪A＝{0,1,2}，∴2∈A.

∴A＝{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}．

答案　{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}

10．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝________.

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈A，

∴a2＝1，a＝±1.

又a≠1，∴a＝－1.

答案　－1

11．若A∩B＝A，A∪C＝C，B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，写出满足上述条件的所有集合A.

解　∵A∩B＝A，A∪C＝C，∴A⊆B，A⊆C.

又B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，

故A⊆（B∩C）＝{0,2}，

所以满足条件的集合A有∅，{0}，{2}，{0,2}．

12．（创新拓展）设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称（M，N）为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数（规定（M，N）与（N，M）不同）．

解　符合条件的理想配集有

①M＝{1,3}，N＝{1,3}．

②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．

③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．

1.1.3集合的基本运算（补集及其综合应用）

1．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁RA＝（　　）．

A．{0,1,2,3,4,5,6}B．{x|x<0或x>6}

C．{x|0

解析　∁RA＝{x|x<0或x>6}．

答案　B

2．已知全集U＝{2,5,8}，且∁UA＝{2}，则集合A的真子集个数为（　　）．

A．3B．4C．5D．6

解析　由∁UA＝{2}，则A＝{5,8}

∴集合A的真子集为∅，{5}，{8}，共3个．

答案　A

3．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是（　　）．

A．A∩B＝{－2，－1}B．（∁RA）∪B＝{－2，－1,1}

C．A∪B＝{1,2}D．（∁RA）∩B＝{－2，－1}

解析　∵∁RA＝{x|x≤0}，∴（∁RA）∩B＝{－2，－1}．

答案　D

4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.

解析　∵∁AB＝{5}，

∴A＝B∪∁AB＝{3,4,5}．

∴m＝5.

答案　5

5．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|0

解析　由题意，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

A∩（∁UB）＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．

答案　{2,4,6,8}

6．在如图中，用阴影表示出集合（∁UA）∩（∁UB）．

解　∵（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B），

∴如图所示为所求．

7．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则（　　）．

A．（∁UM）⊇（∁UN）B．M⊆（∁UN）

C．（∁UM）⊆（∁UN）D．M⊇（∁UN）

解析　利用韦恩图，如图所示：

可知（∁UM）⊆（∁UN）．

答案　C

8．已知集合A＝{x|x

A．a≤2B．a<1C．a≥2D．a>2

解析　∵B＝{x|1

∴∁RB＝{x|x≥2或x≤1}．

如图，若要A∪（∁RB）＝R，必有a≥2.

答案　C

9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

解析　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.故填－3.

答案　－3

10．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________．

解析　先求出∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．

∴∁UA∁UB.

答案　∁UA∁UB

11．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1

}，

（1）求A∩B；

（2）求（∁UB）∪P；

（3）求（A∩B）∩（∁UP）．

解　借助数轴，如下图．

（1）A∩B＝{x|－1

（2）∵∁UB＝{x|x≤－1或x>3}，

∴（∁UB）∪P＝{x|x≤0或x≥

}．

（3）∁UP＝{x|0

}．

（A∩B）∩（∁UP）

＝{x|－1

}

＝{x|0

12．（创新拓展）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}，且B⊆∁UA，求实数p的取值范围．

解　∁UA＝{x|x<－1或x>2}，

B＝

.

∵B⊆∁UA，∴－

≤－1

∴p≥4，即p的取值范围是{p|p≥4}.