24 函数的奇偶性与单调性学案高考一轮复习.docx

24 函数的奇偶性与单调性学案高考一轮复习.docx

《24 函数的奇偶性与单调性学案高考一轮复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24 函数的奇偶性与单调性学案高考一轮复习.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

24函数的奇偶性与单调性学案高考一轮复习

2014年高中数学一轮复习教学案

第二章函数、导数及其应用

第4节函数的奇偶性与周期性

一．学习目标：

1．了解奇函数、偶函数的定义，会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题；

2．了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题.

二．学习重、难点：

1．学习重点：

会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题；

2．学习难点：

周期函数的定义，能够用函数的周期性解决一些函数问题.

三．学习方法：

讲练结合

四．自主复习：

1．函数的奇偶性

奇偶性

奇函数

偶函数

定义

如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x

都有______________，那么函数f（x）是奇函数

都有__________，那么函数f（x）是偶函数

图象特点

关于______对称

关于_____对称

2.奇（偶）函数的性质

（1）奇函数在关于原点对称的两个区间上有______的单调性；

偶函数在关于原点对称的两个区间上有______的单调性．

（2）如果奇函数f（x）在原点有意义，则f（0）＝___；如果函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则有________.

3．周期函数

若f（x）对于定义域中任意x均有____________（T为不等于0的常数），则f（x）为周期函数．

若T是函数y＝f（x）的一个周期，则nT（n∈Z，且n≠0）也是f（x）的周期．

五．复习前测：

1．函数f（x）＝

－x的图象关于（　　）

A．y轴对称B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称D．直线y＝x对称

2．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－

B.

C.

D．－

3．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（2011）＝（　　）

A．－2B．2

C．－98D．98

4．下列函数中，所有奇函数的序号是__________．

（1）f（x）＝2x4＋3x2；

（2）f（x）＝x3－2x；

（3）f（x）＝

；（4）f（x）＝x3＋1.

5．若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝__________.

要点点拨：

1．深化奇函数和偶函数的定义

（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要非充分条件；

（2）f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：

f（－x）＝±f（x）⇔f（－x）∓f（x）＝0⇔

＝±1（f（x）≠0）．

2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

3．若对于函数f（x）的定义域内任一个自变量的值x都有f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝

或f（x＋a）＝－

（a是常数且a≠0），则f（x）是一个周期为2a的周期函数.

六．复习过程：

题型一：

函数奇偶性的判断

[例1]　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3－x；

（2）f（x）＝（x＋1）

；

（3）f（x）＝

.

[思路点拨]　由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算f（－x），并判断其与f（x）的关系，从而得出函数的奇偶性．

[规律总结]　利用定义法判断函数奇偶性时，先要求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f（－x），否则可能得到错误结论．

变式训练1

（1）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　　）

A．|f（x）|－g（x）是奇函数

B．|f（x）|＋g（x）是偶函数

C．f（x）－|g（x）|是奇函数

D．f（x）＋|g（x）|是偶函数

（2）（2013·青岛模拟）若函数f（x）＝3x＋3－x与g（x）＝3x－3－x的定义域均为R，则（　　）

A．f（x）与g（x）均为偶函数

B．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

C．f（x）与g（x）均为奇函数

D．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

题型二：

函数奇偶性的应用

[例2]　

（1）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）＝（　　）

A．－3　　B．－1

C．1D．3

（2）若函数f（x）＝

为奇函数，则a＝（　　）

A.

B.

C.

D．1

（3）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－

）

）的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）B．（0，

）

C．（0,2

）D．（

，＋∞）

[思路点拨]　解答本题需利用函数的奇偶性：

（1）将求f

（1）的值转化为求f（－1）的值的问题求解；

（2）由题意可知f（－x）＋f（x）＝0，从而得到关于x的恒等式，再构建a的方程求解；

（3）得到f（2x－

）＝f（|2x－

|），将原不等式转化为f（|2x－

|）

），从而求解．

[规律总结]　利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想．

变式训练2

（1）设偶函数f（x）满足f（x）＝x3－8（x≥0），则{x|f（x－2）>0}＝（　　）

A．{x|x<－2或x>4}B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6}D．{x|x<－2或x>2}

（2）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ax－a－x＋2（a>0，且a≠1）．若g

（2）＝a，则f

（2）等于（　　）

A．2B.

C.

D．a2

题型三：

函数的周期性及应用

[例3]　已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋6）＋f（x）＝2f（3），y＝f（x－1）的图象关于点（1,0）对称，且f（4）＝4，则f（2012）＝（　　）

A．0　　　　B．－4

C．－8D．－16

[思路点拨]　首先根据y＝f（x－1）的图象关于点（1,0）对称推出函数y＝f（x）的图象关于坐标原点对称，进而得出函数f（x）是奇函数，再根据函数方程f（x＋6）＋f（x）＝2f（3）即可求出f（3）的值，进而建立函数f（x）的函数值之间的一个递推关系式，把f（2012）转化为已知的函数值．

[规律总结]　类似于本例中的函数方程，求解函数值的基本方法是建立函数值之间的一个类似递推数列中的递推关系，本例中f（3）＝0，可以得出f（x）是以12为周期的周期函数．如果f（3）≠0，如f（3）＝1，则根据函数方程也可以得到f（x＋12）＝f（x），同样也可以递推求值．

变式训练3

（2012·山东卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x），当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2012）＝（　　）

A．335B．338

C．1678D．2012

题型四：

函数性质的综合应用

[例4]　定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）且f（x）在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：

①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x＝1对称；③f（x）在[1,2]上是减函数；④f

（2）＝f（0），其中正确命题的序号是__________．（请把正确命题的序号全部写出来）

[规律总结]　这类抽象函数试题，关键是对函数恒等式的变换，通过变换首先得到其周期性，再根据函数的性质对各个结论作出判断．本例中关系式f（x＋1）＝－f（x），可以变换为f（x＋1）＝－f（－x），由此可以说明函数图象关于点（

，0）中心对称．

变式训练4

设f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x－2）＝－f（x）．当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则下列四个命题：

①函数y＝f（x）是以4为周期的周期函数；

②当x∈[1,3]时，f（x）＝（2－x）3；

③f（4）＝0；

④函数y＝f（x）的图象关于点（3,0）对称．

其中正确的命题序号是__________．

创新探究——函数与方程思想在函数性质中的应用

[例题]　（2012·辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x3.又函数g（x）＝|xcos（πx）|，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在[－

，

]上的零点个数为（　　）

A．5　　　　　　　　　　B．6

C．7D．8

[思路点拨]　利用好f（－x）＝f（x）和f（x）＝f（2－x）这两个条件进行转化．

链接高考：

1．（2012·陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．y＝x＋1B．y＝－x3

C．y＝

D．y＝x|x|

2．（2012·福建）设函数D（x）＝

则下列结论错误的是（　　）

A．D（x）的值域为{0,1}

B．D（x）是偶函数

C．D（x）不是周期函数

D．D（x）不是单调函数

3．（2012·上海）已知y＝f（x）＋x2是奇函数，且f

（1）＝1.若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝__________.

七．反馈练习：

1．（2012·广东）下列函数为偶函数的是（　　）

A．y＝sinxB．y＝x3

C．y＝exD．y＝ln

2．若奇函数f（x）＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于（　　）

A．3B．－3

C．0D．无法计算

3．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2＋x）＝f（2－x），则f（4）＝（　　）

A．4B．2

C．0D．不确定

4．已知周期为2的偶函数f（x）在区间[0,1]上是增函数，则f（－6.5），f（－1），f（0）的大小关系是（　　）

A．f（－6.5）

B．f（0）

C．f（－1）

D．f（－1）

5．已知定义在R上的函数f（x），对∀a∈R，都有f（－a）＋f（a）＝0.若x，y满足f（x2－2x）＋f（2y－y2）＝0，则在平面直角坐标系内，x，y满足的方程f（x2－2x）＋f（2y－y2）＝0表示的图形为（　　）

A．两条直线B．圆

C．双曲线D．不确定

6．（2012·福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（

）≤

[f（x1）＋f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

①f（x）在[1,3]上的图象是连续不断的；

②f（x2）在[1，

]上具有性质P；

③若f（x）在x＝2处取得最大值1，则f（x）＝1，x∈[1,3]；

④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f（

）≤

[f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＋f（x4）]．其中真命题的序号是（　　）

A．①②B．①③

C．②④D．③④

7．（2012·浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x＋1，则f（

）＝__________.

8．设偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则不等式f（x－2）>0的解集为__________．

9．（2013·徐州模拟）设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若f

（1）<1，f

（2）＝

，则a的取值范围是__________．

10．设定义在[－2,2]上的偶函数f（x）在区间[－2,0]上单调递减，若f（1－m）

11．已知f（x）是R上的单调函数，且对任意的实数a∈R，有f（－a）＋f（a）＝0恒成立，若f（－3）＝2

（1）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；

（2）解关于x的不等式：

f（

）＋f（m）<0，其中m∈R且m>0.

12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.

（1）求函数的最小正周期；

（2）当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式；

（3）计算f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2012）．

八．思维总结：

九．自我评价：

1．你对本章的复习的自我评价如何？

A．很好B．一般C．不太好

2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？