高考数学一轮复习 29函数与方程讲解与练习 理 新人教A版.docx

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高考数学一轮复习29函数与方程讲解与练习理新人教A版

[备考方向要明了]

考什么

怎么考

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

高考对本节内容的考查主要体现在以下几个方面：

（1）结合函数与方程的关系，求函数的零点；

（2）结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点及零点个数（方程是否存在实数根及方程根的个数）进行判断，如2012年北京T5，湖北T3，湖南T9等．

（3）利用零点（方程实根）的存在性求相关参数的值或范围.

[归纳·知识整合]

1．函数的零点

（1）定义：

对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．

（2）函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

[探究]　1.函数的零点是函数y＝f（x）与x轴的交点吗？

是否任意函数都有零点？

提示：

函数的零点不是函数y＝f（x）与x轴的交点，而是y＝f（x）与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f（x）＝0有根的函数y＝f（x）才有零点．

2．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，则y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f（a）·f（b）<0呢？

提示：

不一定．由图

（1）

（2）可知．

3．函数零点具有哪些性质？

提示：

对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：

（1）当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；

（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

与x轴的交点

（x1,0），（x2,0）

（x1,0）

无交点

零点个数

两个

一个

零个

3．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

[自测·牛刀小试]

1．（教材习题改编）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　）

解析：

选C　由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解．

2．（教材习题改编）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0,16），（0,8），（0,4），（0,2）内，那么下列命题中正确的是（　　）

A．函数f（x）在区间（0,1）内有零点

B．函数f（x）在区间（0,1）或（1,2）内有零点

C．函数f（x）在区间[2,16）上无零点

D．函数f（x）在区间（1,16）内无零点

解析：

选C　由题意可知，函数f（x）的唯一零点一定在区间（0,2）内，故一定不在[2,16）内．

3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为（　　）

x

－1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.39

20.09

x＋2

1

2

3

4

5

A.（－1,0）　　　　　　　　B．（0,1）

C．（1,2）D．（2,3）

解析：

选C　令f（x）＝ex－x－2，则

f（－1）＝0.37－1<0，f（0）＝1－2<0，

f

（1）＝2.72－3<0，f

（2）＝7.39－4>0，

f（3）＝20.09－5>0，

所以方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为（1,2）．

4．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是________．

解析：

∵函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点为2和3，

∴

即a＝5，b＝－6.

∴g（x）＝bx2－ax－1＝－6x2－5x－1，

令g（x）＝0，得x＝－

或－

.

答案：

－

，－

5．函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1,1）上存在零点，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1,1）上有零点，

且f（x）为一次函数，

∴f（－1）·f

（1）<0，即（1－5a）（1＋a）<0.

∴a>

或a<－1.

答案：

a>

或a<－1

确定函数零点所在的区间

[例1]　

（1）（2013·唐山模拟）设f（x）＝ex＋x－4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）

A．（－1,0）　　B．（0,1）　　

C．（1,2）　　D．（2,3）

（2）（2013·朝阳模拟）函数f（x）＝2x－

－a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1,3）B．（1,2）

C．（0,3）D．（0,2）

[自主解答]　

（1）∵f（x）＝ex＋x－4，∴f′（x）＝ex＋1>0，∴函数f（x）在R上单调递增．对于A项，f（－1）＝e－1＋（－1）－4＝－5＋e－1<0，f（0）＝－3<0，f（－1）f（0）>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f

（1）＝e＋1－4＝e－3<0，f

（2）＝e2＋2－4＝e2－2>0，f

（1）f

（2）<0.

（2）由条件可知f

（1）f

（2）<0，即（2－2－a）（4－1－a）<0，即a（a－3）<0，解得0

[答案]　

（1）C　

（2）C

若方程xlg（x＋2）＝1的实根在区间（k，k＋1）（k∈Z）内，则k为何值？

解：

由题意知，x≠0，则原方程即为lg（x＋2）＝

，在同一直角坐标系中作出函数y＝lg（x＋2）与y＝

的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间（－2，－1）上，一个在区间（1,2）上，所以k＝－2或k＝1.　　　　

—————

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判断函数零点所在区间的方法

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

1．（2013·武汉模拟）在下列区间中，函数f（x）＝e－x－4x－3的零点所在的区间为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选B　易知函数f（x）在R上是单调减函数．对于A，注意到f

＝e

－4×

－3＝e

>0，f

＝e

－4×

－3＝e

－1>0，因此函数f（x）＝e－x－4x－3的零点不在区间

上；对于B，注意到f

>0，f

＝e

－4×

－3＝e

－2<4

－2<0，因此在区间

上函数f（x）＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f

<0，f（0）＝－2<0，因此函数f（x）＝e－x－4x－3的零点不在区间

上；对于D，注意到f（0）＝－2<0，f

＝e

－4×

－3＝e

－4<0，因此函数f（x）＝e－x－4x－3的零点不在区间

上．

2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）＝[x]为取整函数，x0是函数f（x）＝lnx－

的零点，则g（x0）等于________．

解析：

∵函数f（x）的定义域为（0，＋∞），∴函数f′（x）＝

＋

>0，即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．由f

（2）＝ln2－1<0，f（e）＝lne－

>0，知x0∈（2，e），

∴g（x0）＝[x0]＝2.

答案：

2

判断函数零点个数

[例2]　

（1）（2012·北京高考）函数f（x）＝x

－

x的零点个数为（　　）

A．0　　　B．1　　　

C．2　　　D．3

（2）函数f（x）＝

的零点个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[自主解答]　

（1）因为y＝x

在x∈[0，＋∞）上单调递增，y＝

x在x∈R上单调递减，所以f（x）＝x

－

x在x∈[0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝－1<0，f

（1）＝

>0，所以f（x）＝x

－

x在定义域内有唯一零点．

（2）当x≤0时，函数有零点x＝－

；当x>0时，作出函数

，y＝x2－2x的图象，观察图象可知两个函数的图象（如图）有2个交点，即当x>0时函数f（x）有2个零点．故函数f（x）的零点的个数为3.

[答案]　

（1）B　

（2）D

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判断函数零点个数的方法

（1）解方程法：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理法：

利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；

（3）数形结合法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

3．（2013·深圳模拟）已知符号函数sgn（x）＝

则函数f（x）＝sgn（x－1）－lnx的零点个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选C　依题意得，当x－1>0，即x>1时，f（x）＝1－lnx，令f（x）＝0得x＝e>1；当x－1＝0，即x＝1时，f（x）＝0－ln1＝0；当x－1<0，即x<1时，f（x）＝－1－lnx，令f（x）＝0得x＝

<1.因此，函数f（x）的零点个数为3.

根据函数零点的存在情况求参数

[例3]　定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x＋2）＝f（x）－f

（1），且当x∈[2,3]时，f（x）＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f（x）－loga（x＋1）在（0，＋∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（　　）

A.

　B.

C.

　D.

[自主解答]　在方程f（x＋2）＝f（x）－f

（1）中，令x＝－1得f

（1）＝f（－1）－f

（1），再根据函数f（x）是偶函数可得f

（1）＝0，由此得f（x＋2）＝f（x）＝f（－x），由此可得函数f（x）是周期为2的周期函数，且其图象关于直线x＝1对称，又当x∈[0,1]时，x＋2∈[2,3]，所以当x∈[0,1]时，f（x）＝f（x＋2）＝－2（x＋2）2＋12（x＋2）－18＝－2x2＋4x－2＝－2（x－1）2，根据对称性可知函数f（x）在[1,2]上的解析式也是f（x）＝－2（x－1）2，故函数f（x）在[0,2]上的解析式是f（x）＝－2（x－1）2，根据其周期性画出函数f（x）在[0，＋∞）上的部分图象（如图），结合函数图象，只要实数a满足0

＝log3

，即0

.

[答案]　A

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已知函数有零点方程有根求参数值常用的方法和思路

1直接法：

直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

2分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

3数形结合：

先对解析式