版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函.docx

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版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示教师用书

1．函数与映射

函数

映射

两集合A、B

设A，B是两个非空数集

设A，B是两个非空集合

对应

关系

f：

A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f（x），x∈A

对应f：

A→B是一个映射

2.函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

（2）函数的三要素：

定义域、对应关系和值域．

（3）函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【知识拓展】

1．函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广．

2．函数图象的特征：

与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．

3．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）对于函数f：

A→B，其值域是集合B.（　×　）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（　×　）

（3）映射是特殊的函数．（　×　）

（4）若A＝R，B＝{x|x>0}，f：

x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．（　×　）

（5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（　×　）

1．（教材改编）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

答案　B

解析　A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.

2．（2016·全国甲卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝

答案　D

解析　函数y＝10lgx的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝

，故选D.

3．已知f（

）＝x2＋5x，则f（x）＝________.

答案　

（x≠0）

解析　令

＝t（t≠0），

则f（t）＝

＋5

＝

，

∴f（x）＝

（x≠0）．

4．（2016·诸暨期末）已知函数f（x）＝

则f[f（0）]＝________；若f[f（x0）]＝2，则x0＝________.

答案　6　2或－2

解析　由题意知f（0）＝4，f（4）＝6，设f（x0）＝t，则f（t）＝2，当t>0时，－t＋10＝2，得t＝8，当t<0时，t2＋4＝2，无解，当x0>0时，由－x0＋10＝8，得x0＝2，当x0≤0时，由x

＋4＝8，得x0＝－2，所以x0＝2或－2.

题型一　函数的概念

例1　有以下判断：

①f（x）＝

与g（x）＝

表示同一函数；

②函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数；

④若f（x）＝|x－1|－|x|，则f

＝0.

其中正确判断的序号是________．

答案　②③

解析　对于①，由于函数f（x）＝

的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）＝

的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f（x）定义域内的值，则直线x＝1与y＝f（x）的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x）定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x）的图象只有一个交点，即y＝f（x）的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函数；对于④，由于f

＝

－

＝0，所以f

＝f（0）＝1.

综上可知，正确的判断是②③.

思维升华　函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同）．

（1）下列所给图象中函数图象的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

（2）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）

A．y＝x－1和y＝

B．y＝x0和y＝1

C．f（x）＝x2和g（x）＝（x＋1）2

D．f（x）＝

和g（x）＝

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.

（2）A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.

题型二　函数的定义域问题

命题点1　求函数的定义域

例2　（2016·临安中学一模）

（1）函数f（x）＝

＋

的定义域为（　　）

A．（－3,0]B．（－3,1]

C．（－∞，－3）∪（－3,0]D．（－∞，－3）∪（－3,1]

（2）若函数y＝f（x）的定义域为[0,2]，则函数g（x）＝

的定义域是________．

答案　

（1）A　

（2）[0,1）

解析　

（1）由题意得

解得－3＜x≤0.

所以函数f（x）的定义域为（－3,0]．

（2）由0≤2x≤2，得0≤x≤1，

又x－1≠0，即x≠1，

所以0≤x＜1，即g（x）的定义域为[0,1）．

引申探究

例2

（2）中，若将“函数y＝f（x）的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f（x＋1）的定义域为[0,2]”，则函数g（x）＝

的定义域为________________．

答案　[

，1）∪（1，

]

解析　由函数y＝f（x＋1）的定义域为[0,2]，

得函数y＝f（x）的定义域为[1,3]，

令

得

≤x≤

且x≠1，

∴g（x）的定义域为[

，1）∪（1，

]．

命题点2　已知函数的定义域求参数范围

例3　

（1）若函数f（x）＝

的定义域为R，则a的取值范围为________．

（2）若函数y＝

的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）[－1,0]　

（2）[0,3）

解析　

（1）因为函数f（x）的定义域为R，

所以

对x∈R恒成立，

即

，x2＋2ax－a≥0恒成立，

因此有Δ＝（2a）2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.

（2）因为函数y＝

的定义域为R，

所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，

即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．

当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；

当a≠0时，则Δ＝（2a）2－4·3a<0，解得0

综上所述，a的取值范围是[0,3）．

思维升华　

（1）求给定函数的定义域往往转化为解不等式（组）的问题，在解不等式（组）取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．

（2）求抽象函数的定义域：

①若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a

（3）已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．

（1）已知函数f（x）的定义域为[3,6]，则函数y＝

的定义域为（　　）

A．[

，＋∞）B．[

，2）

C．（

，＋∞）D．[

，2）

（2）若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，

]B．（0，

）

C．[0，

]D．[0，

）

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）要使函数y＝

有意义，

需满足

⇒

⇒

≤x<2.

（2）要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立．

①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；

②当m≠0时，要使不等式恒成立，

需

即

或

即

解得0

.由①②得0≤m＜

，故选D.

题型三　求函数解析式

例4　

（1）已知f（

＋1）＝lgx，则f（x）＝________.

（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，则f（x）＝________.

（3）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝2f（

）·

－1，则f（x）＝________.

答案　

（1）lg

（x>1）　

（2）2x＋7　（3）

＋

解析　

（1）（换元法）

令t＝

＋1（t>1），则x＝

，

∴f（t）＝lg

，即f（x）＝lg

（x>1）．

（2）（待定系数法）

设f（x）＝ax＋b（a≠0），

则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，

∴

解得

∴f（x）＝2x＋7.

（3）（消去法）

在f（x）＝2f（

）·

－1中，用

代替x，

得f（

）＝2f（x）·

－1，

将f（

）＝

－1代入f（x）＝2f（

）·

－1中，

可求得f（x）＝

＋

.

思维升华　函数解析式的求法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法．

（2）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

（3）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式．

（4）消去法：

已知f（x）与f

或f（－x）之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

（1）已知f（

＋1）＝x＋2

，求f（x）的解析式；

（2）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x－1，求f（x）；

（3）已知f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，求f（x）．

解　

（1）设

＋1＝t（t≥1），

∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，

∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

（2）设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k2x＋kb＋b，

即k2x＋kb＋b＝4x－1，

∴

∴

或

故f（x）＝2x－

或f（x）＝－2x＋1.

（3）以－x代替x，得f（－x）＋3f（x）＝－2x＋1，

∴f（－x）＝－3f（x）－2x＋1，

代入f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，

可得f（x）＝－x＋

.

2．分类讨论思想在函数中的应用

典例　

（1）已知实数a≠0，函数f（x）＝

若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为_____