高思导引四年级第十七讲数列与数表教师版汇编.docx

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高思导引四年级第十七讲数列与数表教师版汇编

第17讲数列与数表

内容概述

通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.

典型问题

兴趣篇

1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：

（1）这个数列一共有多少项?

（2）这个数列所有数的总和是多少?

答案：

67；1783

解析：

间隔是是等差数列。

2．观察数组（1，2，3），（3，4，5），（5，6，7），（7，8，9）的规律，求：

（1）第20组中三个数的和；

（2）前20组中所有数的和．

答案：

120；1260

解析：

（39，40，42），运用等差数列求和公式。

3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：

如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：

（1）第100项是多少?

（2）前100项的和是多少?

答案：

8；975

解析：

按规律写：

1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期

4.如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?

”处的数．

答案：

105

解析：

四周数的差是一个等差数列。

5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：

（1）100在第几行、第几列?

（2）第20行第3列的数是多少?

答案：

（1）第25行第6列；

（2）79

解析：

两行为一个周期。

观察除以8的余数与在第几列之间的关系。

6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：

（1）100在第几行，第几列?

（2）第5行第20列的数是多少?

答案：

（1）第1第25列；

（2）81

解析：

两列为一个周期。

7.如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：

（1）100在第几行，第几列?

（2）第20行第2列的数是多少?

答案：

（1）第15行第2列；

（2）138

解析：

八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。

8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：

（1）100在第几行?

100是这一行左起第几个数?

（2）第25行左起第5个数是多少?

答案：

（1）第14行左起第9个数；

（2）321

解析：

观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。

3，10也是1一直加到行数之和。

9.如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：

能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：

（1）1997；

（2）2016；（3）2349．

如果可以，请写出方框中最大的数．

答案：

只有2349是可以的，最大为269.

解析：

和一定是9的倍数，而且中心数必须是第二列到第6列的数。

10.如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20x20的方格表中，请问：

（1）246在第几行，第几列?

（2）第14行第13列的数是多少?

（3）所有阴影方格中数的总和是多少?

答案：

（1）13行16列；

（2）273；（8020）

解析：

周期问题

拓展篇

1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，0．请观察上面数列的规律，请问：

（1）这个数列中有多少项是2？

（2）这个数列所有项的总和是多少?

答案：

（1）26项；

（2）2652

解析：

间隔数是等差数列。

2．一列由两个数组成的数组：

（1，1），（1，2），（2，2），（1，3），（2，3），（3，3），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（1，5），…，请问：

（1）第100组内的两数之和是多少?

（2）前55组中“5”这个数出现了多少次?

答案：

23；11次。

解析：

数对前面的数规律为1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，…后面的规律为：

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…

3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?

如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?

答案：

257；2510

解析：

3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1…12个个数为一个周期。

50个数是4个周期加上9,8最大。

500个数求最大是41个周期加上8个最大的数，不加1,2,3,4即可。

4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：

78在哪条射线上?

射线OE上的第30个数是多少?

答案：

射线OF上；237.

解析：

八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。

5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：

（1）123应该排在第几列?

（2）第2行第20列的数是多少?

答案：

第24列；101.

解析：

周期问题，等差数列。

6．如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：

（1）500在第几行，第几列?

（2）第100行第2列是多少?

答案：

第111行，第5列；448.

解析：

周期问题。

7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?

答案：

9

解析：

第60行左起第4个数字是第476个数字。

1-99个

10-99180个

100-194285个

9+180+285=474个所以第60行左起第4个数字是9

8．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

地支共十二个，其排列顺序为：

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．

以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．

公元纪年则是国际通行的纪年方式．

图17-12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表．请问：

（1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年?

（2）21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年?

（3）“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?

答案：

己巳年；2044年；1889年

解析：

（1）【10,12】=60

2049-1911=138

138÷60=2……18己巳年

（2）1924+60×2=2044

（3）余数特征

9．如图17-13所示，将1至400这400个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内填有一个数.“l”所处的位置为第1行；“2，3，4”所处的位置为第2行；………请问：

（1）第15行正中间的数是多少?

（2）第12行中所有空白三角形内的数之和是多少?

（3）前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?

答案：

211；1463；176

解析：

（1）规律为N（N-1）带入

（2）123+125+127+…+143=1463

（3）1+（4-1）+（9-2）+（16-3）+（25-4）+（36-5）+（49-6）+（64-7）=176

10．如图17-14，把从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：

（1）150在第几行，第几列?

（2）第5行第10列的数是多少?

答案：

第6行第13列；86

解析：

（1）最右侧数是行数的平方

（2）第9行最左侧数是81，所以81+5=86

11．如图17-15，把从l开始的自然数按某种方式排列起来．请问：

（1）200排在第几行，第几列?

（2）第18行第22列的数是多少?

答案：

第10行第11列；759。

解析：

（1）1+2+3+…19=190

200-190=10行；21-10=11列

（2）18+22-1=39；第39行第一个数是780,780-21=759

12．如图17-16所示，把自然数按规律排列起来．如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，且和为798．这8个数中最大的数是多少?

（“土”字不能旋转或翻转）

答案：

112

解析：

设方程的方法，设方格中任意一个数为X，用含有X的式子表示其他的方格内数，他们的和为798，解方程再带入最大求值。

超越篇

1．下面的数组是按一定顺序排列的：

（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），…．请问：

（1）其中第70个括号内的数分别是多少?

（2）前50个括号内各数之和是多少?

答案：

解：

（1）把（1，1）看作第一组；（1，2），（2，1）看作第二组；……依次类推每一个括号内的两个数字之和是它所在组的序号加1.前十一组共有66括号，所以第70个括号一定属于第十二组。

（2）第一组的和为1×2；第二组的和为2×2；以此类推……前50个括号内的各数之和为1×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10＋5×11＝385.

2.桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成10堆并拿走其中9堆．这个过程称为一次“操作”．若球仅为一个，则不做“操作”．如果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球?

解：

每操作一次，数位会减少1，当数位减少至一位时是“2”，还可以再进行一次操作，所以，最初的球数有多少数位就可以进行多少次操作。

1×9＋2×（99－10＋1）＋3×（999－100＋1）＋4×（1949－1000＋1）＝6689（次）。

3．在图17-17所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：

它们上下相邻，且和为391．问：

在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小?

解：

两个数的和一定时，它们的差越大，乘积越小。

由数阵中规律可知，上下相邻的两个数差最大为29.由和差问题公式，较大数＝（和+差）÷2=（391+29）÷2=210，较小数=391－210=181，所以，这一组的两个数为181和210.

4．图17-18中的数是按一定规律排列的，郡么第6行第23列的数字是多少?

解：

前22列的数字个数为1+2+…+22=253，从1至120的数字个数为9+2×90+3×21=252，所以，第23列的第1行是121中的“2”，那么第6行就是123中的“1”。

所以，第6行第23列的数字是“1”。

5．将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图17-19所示的方式排列．请问：

（1）第1行从左往右数的第15个字是多少?

（2）第1列从上往下数的第25个字是多少?

（3）第25行的第15个字是多少?

解：

（1）1+2+…+15=120，第1行从左向右的第15个字是整个图中第120个字，文字排列周期为6，120÷6=20。

所以第120个字是“申”。

（2）1+2+…+24+1=301，第1列从上往下数的第25个字是整个图中第301个字，

301÷6=50……1，所以第301个字是“白”。

（3）