（2）[教材习题改编]设双曲线－＝1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．
答案：
a
解析：
双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较可得a＝2.
双曲线的标准方程：
关注实轴的位置．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，虚轴长为2，则双曲线方程为________．
答案：
x2－＝1或－＝1
解析：
当实轴在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0）．
由已知可知＝，b＝，
所以a2＝1，即所求方程为x2－＝1.
当实轴在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0）．
由已知可得b＝，＝，
所以a2＝9，即所求方程为－＝1.
求双曲线的标准方程：
待定系数法．
对称轴为坐标轴，经过点P（3,2），Q（－6,7）的双曲线是________．
答案：
－＝1
解析：
由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．
∵所求双曲线经过P（3,2），Q（－6,7），
∴解得A＝，B＝－.
故所求双曲线方程为－＝1.
[考情聚焦] 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．
主要有以下几个命题角度：
角度一
求双曲线的标准方程
[典题2]
（1）过双曲线C：
－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
[答案] A
[解析] 由双曲线方程知右顶点为（a,0），
设其中一条渐近线方程为y＝x，
可得点A的坐标为（a，b）．
设右焦点为F（c,0），由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即（c－a）2＋b2＝16，
所以有（c－a）2＋b2＝c2，
又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，
所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.
故双曲线的方程为－＝1，故选A.
（2）[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（，4），则此双曲线的标准方程是________．
[答案] －＝1
[解析] 解法一：
椭圆＋＝1的焦点坐标是（0，±3），
设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），
根据定义知2a＝|－|＝4，
故a＝2.又b2＝32－a2＝5，
故所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：
椭圆＋＝1的焦点坐标是（0，±3）．
设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），
则a2＋b2＝9，
又点（，4）在双曲线上，所以－＝1，
解得a2＝4，b2＝5.
故所求双曲线的方程为－＝1.
解法三：
设双曲线的方程为＋＝1（27<λ<36），
由于双曲线过点（，4），故＋＝1，
解得λ1＝32，λ2＝0（舍去）．
故所求双曲线方程为－＝1.
[点石成金] 求双曲线标准方程的一般方法
（1）待定系数法：
设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程，并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）．
（2）定义法：
依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
角度二
已知离心率求渐近线方程
[典题3] 若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y＝±x
C．y＝±xD．y＝±x
[答案] B
[解析] 在双曲线中离心率e＝＝＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.
角度三
已知渐近线求离心率
[典题4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为________．
[答案] 或
[解析] 根据双曲线的渐近线方程知＝2或＝2.则e＝＝或.
角度四
由离心率或渐近线方程求双曲线方程
[典题5] 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是（ ）
A．x2－＝1B.－y2＝1
C.－x2＝1D．y2－＝1
[答案] C
[解析] 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A，B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.
角度五
利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围
[典题6] 已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，）B．（1，]
C．（，＋∞）D．[，＋∞）
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，
∴e＝＝＞＝.
即双曲线离心率的取值范围为（，＋∞）．
[点石成金] 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点
（1）已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
（2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
考点3 直线与双曲线的位置关系
[典题7] 若双曲线E：
－y2＝1（a＞0）的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m（＋），求k，m的值．
[解]
（1）由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（1－k2）x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
∴
即
∴1＜k＜.
故k的取值范围为（1，）．
（2）由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，∴k＝，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝k（x1＋x2）－2＝8.
设C（x3，y3），由＝m（＋），
得（x3，y3）＝m（x1＋x2，y1＋y2）＝（4m,8m）．
∵点C是双曲线上一点，
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
[点石成金] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：
将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.
已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（－12，－15），求双曲线E的方程．
解：
设双曲线E的标准方程为－＝1（a>0，b>0），
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
两式作差，得
＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5.
所以双曲线E的标准方程是－＝1.
[方法技巧] 1.双曲线标准方程的求法
（1）当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为－＝1（mn>0），这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1（AB<0），这种形式在解题时更简便；
（2）当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ（λ≠0），据其他条件确定λ的值；
（3）与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0），据其他条件确定λ的值．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线方程．
3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．
4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
5．过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
[易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．
2．双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±x，－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±x.
3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
4．要牢记在双曲线中c2＝a2＋b2，离心率e>1这两点是不同于椭圆的．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（－1,3）B．（－1，）
C．（0,3）D．（0，）
答案：
A
解析：
由题意，得（m2＋n）（3m2－n）>0，解得－m22．[2016·天津卷]已知双曲线－＝1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
答案：
D
解析：
根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D.
3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F1，F2是双曲线E：
－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（ ）
A.B.
C.D．2
答案：
A
解析：
设F1（－c,0），将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，
所以y＝±.
因为sin∠MF2F1＝，
所以tan∠MF2F1＝＝
＝＝＝－＝－＝，
所以e2－e－1＝0，所以e＝.故选A.
4．[2016·浙江卷]已知椭圆C1：
＋y2＝1（m>1）与双曲线C2：
－y2＝1（n>0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1
C．m1D．m答案：
A
解析：
由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又（e1e2）2＝·＝·＝＝1＋>1，所以e1e2>1.故选A.
5．[2016·北京卷]双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC
的边长为2，则a＝________.
答案：
2
解析：
双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝
（2）2，解得a＝2.
6．[2016·山东卷]已知双曲线E：
－＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
答案：
2
解析：
如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，
|MN|＝2c＝2，
故|BN|＝
＝＝.
由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2.
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求双曲线离心率的易错点
[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线－＝1（mn>0）的一条渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．
[易错分析]
（1）未考虑m，n的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况；
（2）易将弄错，从而导致失分．
[解析] 当m>0，n>0时，
则有＝，所以＝，
e＝＝＝；
当m<0，n<0时，
则有＝，所以＝，
e＝＝＝，
综上可知，该双曲线的离心率为或.
[答案] 或
温馨提醒
（1）对于方程－＝1表示的曲线一定要视m，n的不同取值进行讨论，m，n的取值不同表示的曲线就不同．
（2）对于双曲线－＝1（mn>0）的焦点位置不同，则的值就不一样，一定要注意区分．
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