134课题学习最短路径问题.docx

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134课题学习最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题3

一．选择题（共10小题）

1．（2015•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（　　）

　A．

B．2

C．2

D．

2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：

①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（　　）

　A．转化思想

　B．三角形的两边之和大于第三边

　C．两点之间，线段最短

　D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

3．（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（　　）

　A．10B．8C．5

D．6

4．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

　A．50°B．60°C．70°D．80°

5．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

　A．25°B．30°C．35°D．40°

6．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（　　）

　A．4B．5C．6D．7

7．（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

　A．

B．4C．

D．5

8．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）

　A．

B．1C．2D．2

9．（2014•鄂尔多斯）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB上的动点，E是BC上的动点，则AE+DE的最小值为（　　）

　A．3+2

B．10C．

D．

10．（2013•济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　）

　A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）

二．填空题（共17小题）

11．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为　　　　　　．

12．（2015•玉林）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　　　　　　．

13．（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　　　　　．

14．（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．

（Ⅰ）如图①，当BE=

时，计算AE+AF的值等于　　　　　　

（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）　　　　　　．

15．（2015•安顺）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为　　　　　　．

16．（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为　　　　　　．

17．（2014•资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　　　　　　．

18．（2014•东营）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，

=

=

，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是　　　　　　cm．

19．（2014•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是　　　　　　．

20．（2014•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是　　　　　　．

21．（2014•黔东南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为　　　　　　．

22．（2014•锦州）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是　　　　　　．

23．（2014•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　　　　　　．

24．（2014•无锡）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是　　　　　　．

25．（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是　　　　　　．

26．（2014•莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是　　　　　　．

27．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　　　　　　．

三．解答题（共2小题）

28．（2014•齐齐哈尔）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．

29．（2013•日照）问题背景：

如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：

如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　　　　　　．

（2）知识拓展：

如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

13.4课题学习最短路径问题3

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2015•内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（　　）

　A．

B．2

C．2

D．

考点：

轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

分析：

由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．

解答：

解：

由题意，可得BE与AC交于点P．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=2

．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2

．

故所求最小值为2

．

故选B．

点评：

此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．

2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：

①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（　　）

　A．转化思想

　B．三角形的两边之和大于第三边

　C．两点之间，线段最短

　D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

考点：

轴对称-最短路线问题．

分析：

利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．

解答：

解：

∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，

∴CB=CB′，

又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，

∴CB′+CA最短，

即CA+CB的值最小，

将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．

故选D．

点评：

此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

3．（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（　　）

　A．10B．8C．5

D．6

考点：

轴对称-最短路线问题．

分析：

根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用勾股定理及面积法求出CC′的值，然后再证明△BCD∽△C′NC进而求出C′N的值，从而求出MC+NM的值．

解答：

解：

如图所示：

由题意可得出：

作C点关于BD对称点C′，交BD于点E，连接BC′，

过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小，

∵AB=10，BC=5，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：

BD=

=5

，

∵S△BCD=

•BC•CD=

BD•CE，

∴CE=

=

=2

，

∵CC′=2CE，

∴CC′=4

，

∵NC′⊥BC，DC⊥BC，CE⊥BD，

∴∠BNC′=∠BCD=∠BEC=∠BEC′=90°，

∴∠CC′N+∠NCC′=∠CBD+∠NCC′=90°，

∴∠CC′N=∠CBD，

∴△BCD∽△C′NC，

∴

，

即

，

∴NC′=8，

即BM+MN的最小值为8．

故选B．

点评：

此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．

4．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是