高考数学二轮复习练习压轴小题抢分练三含答案.docx

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高考数学二轮复习练习压轴小题抢分练三含答案

压轴小题抢分练（三）

压轴小题集训练,练就能力和速度,筑牢高考满分根基!

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2（n∈N*）,则（　　）

A.an≥2n+1　　B.Sn≥n2

C.an≥2n-1　　D.Sn≥2n-1

【解析】选B.由题得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,…,an-an-1≥2,所以a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2（n-1）,所以an-a1≥2（n-1）,所以an≥2n-1.所以a1≥1,a2≥3,a3≥5,…,an≥2n-1,所以a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,所以Sn≥

（1+2n-1）=n2.

2.如图,三棱锥P-ABC中,△PAB,△PBC均为正三角形,△ABC为直角三角形,斜边为AC,M为PB的中点,则直线AM,PC所成角的余弦值为（　　）

A.-

B.

C.

D.

【解析】选B.如图,取BC的中点N,连接MN,AN,易得MN∥PC,则MN,AM所成的角即为直线AM,PC所成的角.设AB=2,则AN=

MN=1,AM=

.在△AMN中,由余弦定理,得cos∠AMN=

=-

所以直线AM,PC所成角的余弦值为

.

3.把函数f（x）=log2（x+1）的图象向右平移一个单位,所得图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称;已知偶函数h（x）满足h（x-1）=h（-x-1）,当x∈[0,1]时,

h（x）=g（x）-1;若函数y=k·f（x）-h（x）有五个零点,则k的取值范围是（　　）

A.（log32,1）　　B.[log32,1）

C.

　　D.

【解析】选C.曲线f（x）=log2（x+1）右移一个单位,

得y=f（x-1）=log2x,

所以g（x）=2x,h（x-1）=h（-x-1）=h（x+1）,

则函数h（x）的周期为2.

当x∈[0,1]时,h（x）=2x-1,

y=kf（x）-h（x）有五个零点,等价于函数y=kf（x）与函数y=h（x）的图象有五个公共点.

绘制函数图象如图所示,

由图象知kf（3）<1且kf（5）>1,即

求解不等式组可得:

log62

.

即k的取值范围是

.

4.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点,则

·

的取值范围是（　　）

A.[-1,0]　　B.[-1,2]　　C.[-1,3]　　D.[-1,4]

【解析】选C.如图所示,

由题意可得:

点M所在的区域为:

（x-1）2+（y-1）2≤1（0≤x≤2,0≤y≤2）.

可设点M（x,y）,A（0,0）,B（2,0）.所以

·

=（-x,-y）·（2-x,-y）=-x（2-x）+y2=（x-1）2+y2-1,

由

∈[0,2],所以

·

∈[-1,3].

5.设函数f（x）=|ex-e2a|,若f（x）在区间（-1,3-a）内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围为（　　）

A.

　　B.

C.

　　D.（-3,1）

【解析】选A.f（x）=|ex-e2a|=

f′（x）=

若存在x1

则必有-1

由-1<2a<3-a得-

由-1

由f′（x1）f′（x2）=-1得x1+x2=0,

所以2a-1<0

.

综上可得-

.

6.已知双曲线C:

-

=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,Q为双曲线C渐近线上一点,P,Q均位于第一象限,且2

=

·

=0,则双曲线C的离心率为（　　）

A.

-1　　B.

+1　　C.

-2　　D.

+2

【解析】选C.设Q（at,bt）（t>0）,P（m,n）,

注意到∠F1QF2=90°,从而OQ=c,

故b2t2+a2t2=c2,即t=1,

故

=（m-a,n-b）,

=（c-m,-n）.

因为2

=

所以

解得

代入双曲线方程,则有

-

=1,

=

-2.

7.已知函数y=x2的图象在点（x0,

）处的切线为l,若l也与函数y=lnx,x∈（0,1）的图象相切,则x0必满足（　　）

A.0

B.

C.

D.

【解析】选D.设l与函数y=lnx,x∈（0,1）的图象的切点为（x1,lnx1）,则由

（lnx）′=

（x2）′=2x得

=2x0=

x1∈（0,1）,

所以x0=

>

y=lnx的切线为y=

x-1+lnx1,l为y=2x0x-

故

=1-ln

-1-ln2x0=0.

令h（x）=x2-1-ln2x,

则h（

）=1-ln2

<0,h（

）=2-ln2

>0,

由零点存在定理得x0∈（

）,选D.

8.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当

取最小值时,a+b-c的最大值为

（　　）

A.2　　B.

　　C.

　　D.

【解析】选C.正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,

=

=

+

-1≥2

-1=3.

当且仅当a=2b时取得等号,

则a=2b时,

取得最小值,且c=6b2,

所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6

+

当b=

时,a+b-c有最大值为

.

9.设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2lnx-m

≥0恒成立,则m的最大值是

（　　）

A.

　　B.

　　C.2e　　D.e

【解析】选D.不等式x2lnx-m

≥0⇔x2lnx≥m

⇔xlnx≥

⇔

lnxelnx≥

设f（x）=xex（x>0）,则f′（x）=（x+1）ex>0,

所以f（x）在（0,+∞）上是增函数.

因为

>0,lnx>0,所以

≤lnx,

即m≤xlnx对任意的x≥e恒成立,

此时只需m≤（xlnx）min.

设g（x）=xlnx（x≥e）,g′（x）=lnx+1>0（x≥e）,

所以g（x）在[e,+∞）上为增函数,

所以g（x）min=g（e）=e,

所以m≤e,即m的最大值为e.

10.已知F1,F2分别为椭圆

+

=1（a>b>0）的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限内的点,延长PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为

（　　）

A.2-

　　B.

-

　　C.

-1　　D.

-

【解析】选D.由PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|,可得△PQF1为等腰直角三角形,

设|PF1|=t,|QF1|=

t,即有2t+

t=4a,

则t=2（2-

）a,

在直角△PF1F2中,可得t2+（2a-t）2=4c2,

化为c2=（9-6

）a2,可得e=

=

-

.

11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内有两个球O1,O2相外切,球O1与面ABB1A1、面ABCD、面ADD1A1相切,球O2与面BCC1B1、面CC1D1D、面B1C1D1A1相切,则两球表面积之和的最大值与最小值的差为（　　）

A.（2-

）π　　B.

C.（3-

）π　　D.

【解析】选A.设球O1,O2的半径分别为r1,r2,

由题意得

r1+r1+

r2+r2=

所以r1+r2=

令a=

.

表面积和为S,所以S=4π

+4π

所以

=

+

=

+（a-r1）2=2

+

又r1最大时,球O1与正方体六个面相切,且（r1）max=

（r1）min=

-

=

.

所以r1∈

.

又

<

<

所以当r1=

时,

=

当r1=

或

时,

=a2-a+

所以

-

=

-a+

=

=

.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为（2-

）π.

12.设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f（x0）<0,则a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】选D.设g（x）=ex（2x-1）,h（x）=ax-a,

由题意,知存在唯一的整数x0,使得g（x0）在直线

h（x）=ax-a的下方.

因为g′（x）=ex（2x+1）,所以当x<-

时,g′（x）<0,

当x>-

时,g′（x）>0,所以g（x）在

上单调递减,

在

上单调递增,

作出g（x）与h（x）的大致图象,如图所示,

故

即

所以

≤a<1.

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上）

13.在平面四边形ABCD中,AB⊥AC,AD⊥CD,AB=3,AC=8,则BD的最大值为________. 

【解析】根据题意,画出相应的四边形,

设∠CAD=α,则有AD=8cosα,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB

=9+64cos2α-48cosαcos

=24sin2α+32cos2α+41

=40sin（2α+φ）+41,其中cosφ=

所以其最大值为81,所以BD的最大值为9.

答案:

9

14.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,2Sn=an+

（n∈N*）,记数列{

}的前n项和为Tn,则

的最小值为________. 

【解析】由题意结合2Sn=an+

当n=1时,2a1=a1+

结合a1>0可得:

a1=1;

当n=2时,2（a1+a2）=a2+

结合a2>0可得:

a2=

-1;

当n=3时,2（a1+a2+a3）=a3+

结合a3>0可得:

a3=

-

;

猜想an=

以下用数学归纳法进行证明:

当n=1,n=2时,结论是成立的,

假设当n≥2时,数列{an}的通项公式为:

ak=

-

则Sk=

由题意可知:

2Sk+1=ak+1+

结合假设有:

2（

+ak+1）=ak+1+

解得:

ak+1=

-

综上可得数列{an}的通项公式是正确的.

据此可知:

Sn=

=n,

利用等差数列前n项和公式可得:

Tn=

则

=

=

+

+

结合对勾函数的性质可知,当n=3或n=4时,

取得最小值,

当n=3时

=

+

+

=

当n=4时

=

+

+

=

由于

<

据此可知

的最小值为

.

答案:

15.如图,在△ABC中,BC=2,∠ABC=

AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于D,E两点,且DE=

则BE2=________.世纪金榜导学号 

【解析】由题意知DE垂直平分AC,所以∠A=∠ACD,

故∠BDC=2∠A,所以

=

=

故CD=

.

又DE=CDsin∠ACD=CDsinA=

=

所以cosA=

而A∈（0,π）,故A=

因此△ADE为等腰直角三角形,所以AE=DE=

.

在△ABC中,∠ACB=

所以

=

故AB=

+1,

在