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导数公式：
专升本高等数学公式大全
（tgx）'=sec2x（ctgx）'=-csc2x（secx）'=secx⋅tgx
（arcsinx）'=1
1-x2
1-x2
（arccosx）'=-1
（cscx）'=-cscx⋅ctgx
（ax）'=axlna
（arctgx）'
=1
1+x2
（loga
x）'=
1
xlna
（arcctgx）'=-
1
1+x2
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
⎰tgxdx=-lncosx+C
⎰ctgxdx=lnsinx+C
dx
⎰
cos2xdx
=⎰sec2xdx=tgx+C
⎰secxdx=lnsecx+tgx+C
⎰sin2x
=⎰csc2xdx=-ctgx+C
⎰cscxdx=lncscx-ctgx+C
dx=1arctgx+C
⎰secx⋅tgxdx=secx+C
⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+C
⎰a2+x2a
dx=1
a
lnx-a+C
⎰axdx=
ax
+
C
lna
⎰x2-a2
⎰
dx
a2-x2
2ax+a
=1lna+x+C
x2±a2
2aa-x
⎰shxdx=chx+C
⎰chxdx=shx+C
a2-x2
⎰
dx=arcsinx+C
a
⎰dx=ln（x+
x2±a2）+C
2
n
In=⎰sin
0
2
0
x
2
x2+a2
xdx=⎰cosn
xdx=
n-1
na2
In-2
x2+a2
⎰dx=
x2-a2
⎰dx=
+
2
-
x
2
x2-a2
a2
2
x
2
a2-x2
a2
ln（x+
x2+a2
x2-a2
lnx+
x
）+C
+C
a2-x2
⎰dx=
+
arcsin+C
2a
sinx=
2u1+u2
，cosx=
1-u2
，
1+u2
u=tgx，
2
dx=
2du1+u2
一些初等函数：
两个重要极限：
ex-e-x
双曲正弦:
shx=
limsinx=1
2x→0x
双曲余弦:
chx=
ex+e-x
lim（1+1）x=e=2.718281828459045...
双曲正切:
thx=
2
shx=
chx
ex-e-x
ex+e-x
x→∞x
arshx=ln（x+
archx=±ln（x+
x2+1）
x2-1）
arthx=1ln1+x
21-x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
cos
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin（±）=sincos±cossin
cos（±）=coscossinsin
tg（±）=tg±tg
1tg⋅tg
sin+sin=2sin+
2
sin
sin-sin=2cos+
2
+
-
2
-
2
-
ctg（±）=
ctg⋅ctg1
cos+cos=2cos
cos
22
ctg±ctg
cos-cos=2sin+
sin
2
-
2
·倍角公式：
sin2=2sincos
cos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2
ctg2-1
sin3=3sin-4sin3
cos3=4cos3-3cos
ctg2=
tg2=
2ctg2tg
tg3=
3tg-tg3
1-3tg2
1-tg2
·半角公式：
sin=±
2
tg=±
1-cos2
1-cos=1-cos=
sin
cos=±
2
ctg=±
1+cos2
1+cos=1+cos=
sin
21+cos
sin
1+cos
21-cos
sin
1-cos
·正弦定理：
a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R
·余弦定理：
c2=a2+b2-2abcosC
·反三角函数性质：
arcsinx=
-arccosx
2
arctgx=
-arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
（uv）=∑Cuv
n
（n）k（n-k）（k）
n
k=0
=u（n）v+nu（n-1）v'+n（n-1）u（n-2）v'++n（n-1）（n-k+1）u（n-k）v（k）++uv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f'（）（b-a）
f（b）-f（a）f'（）
柯西中值定理：
F（b）-
=
F（a）
F'（）
当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds=1+y'2dx,其中y'=tg
平均曲率：
K=
∆∆:
从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；∆s：
MM'弧长。
.
∆s
M点的曲率：
K=lim∆=
∆s→0∆s
d=.
y'
（1+y'2）3
ds
直线：
K=0;
半径为a的圆：
K=1.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
⎰f（x）≈
a
b
梯形法：
⎰f（x）≈
a
b-an
b-an
（y0+y1++yn-1）
1
[2（y0+yn）+y1++yn-1]
b
抛物线法：
⎰f（x）≈
a
b-a
3n
[（y0+yn）+2（y2+y4++yn-2）+4（y1+y3++yn-1）]
定积分应用相关公式：
功：
W=F⋅s
水压力：
F=p⋅A
引力：
F=km1m2,k为引力系数r2
1b
函数的平均值：
y=b-a⎰f（x）dx
a
均方根：
1
b
⎰f2（t）dt
b-aa
空间解析几何和向量代数：
（x-x）2+（y-y）2+（z-z）2
21
21
21
AB
空间2点的距离：
d=M1M2=
向量在轴上的投影：
PrjuAB=
⋅cos,是AB与u轴的夹角。
1
Prju（a+a
）=Prja
+
Prja
1
2
2
a⋅
b=a⋅bcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
a2+a2+a2⋅b2+b2+b2
xyz
xyz
两向量之间的夹角：
cos=
axbx+ayby+azbz
i
c=a⨯=a
jk
aa,c=a⋅
.例：
线速度：
v=w⨯r.
bxyz
bxbybz
bsin
axayaz
向量的混合积：
[abc]=（a⨯b）⋅c=bxby
cxcy
bz=a⨯b⋅ccos,为锐角时
cz
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
0000000
1、点法式：
A（x-x）+B（y-y）+C（z-z）=0，其中n={A,B,C},M（x,y,z）
2、一般方程：
Ax+By+Cz+D=0
3xyz
、截距世方程：
++=1
Ax0+By0+Cz0+D
A2+B2+C2
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d=
⎧x=x0+mt
⎩
x-x0y-y0
z-z0⎪
空间直线的方程：
=
mn
=p=t,其中s={m,n,p};参数方程：
⎨y=y0+nt
0
二次曲面：
x
2
2
1、椭球面：
+
a
x2
yz2
2
+=
b2c21
y2
⎪z=z
+
pt
2、抛物面：
+
2p2q
3、双曲面：
=z（,
p,q同号）
x2
单叶双曲面：
a2
x2
双叶双曲面：
a2
+
y2
b2
-y2
b2
-
z2
c2
+z2
c2
=1
=（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：
dz=∂zdx+∂zdydu=∂udx+∂udy+∂udz
∂x∂y∂x∂y∂z
全微分的近似计算：
∆z≈dz=fx（x,y）∆x+fy（x,y）∆y
多元复合函数的求导法：
z=f[u（t）,v（t）]
dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
dt∂u∂t∂v∂t
z=f[u（x,y）,v（x,y）]
∂z=
∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x
当u=u（x,y），v=v（x,y）时，
∂u∂x
∂v∂x
du=∂udx+∂udydv=∂vdx+∂vdy
∂x∂y∂x∂y
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）=0，
dy=-Fx，
dxFy
d2y
dx2
=∂（-Fx）＋∂
∂xFy∂y
（-Fx）⋅dyFydx
隐函数F（x,y,z）=0，∂z=-Fx，
∂z=-Fy
∂xFz∂yFz
⎧F（x,y,u,v）=0
∂（F,G）
FuFv
⎨
隐函数方程组：
⎩G（x,y,u,v）=0
J=∂（u,v）=
=
GuGv
∂F
∂u
∂G
∂u
∂F
∂v
∂G
∂v
∂u=-1⋅∂（F,G）∂v=-1⋅∂（F,G）
∂xJ
∂（x,v）
∂xJ
∂（u,x）
∂u=-1⋅∂（F,G）∂v=-1⋅∂（F,G）
∂yJ
∂（y,v）
∂yJ
∂（u,y）
微分法在几何上的应用：
⎧x=（t）
空间曲线⎪y=（t）在点M（x,y,z）
x-x0
=y-y0
=z-z0
⎨
⎩
⎪z=（t）
000
处的切线方程：
（t0）
'（t0）
'（t0）
'
在点M处的法平面方程：
'（t0）（x-x0）+'（t0）（y-y0）+'（t0）（z-z0）=0
y
⎧⎪F（x,y,z）=0
Fy
FzFz
FxFxFy
若空间曲线方程为：
⎨
⎪⎩G（x,y,z）
=0,则切向量T={G
GzGz
G,G}
x
x
G
y
曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n={F（x,y,z）,F（x,y,z
）,F（x,y,z）}
x000
y000
z000
2、过此点的切平面方程：
Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0
3、过此点的法线方程：
x-x0
=y-y0
=z-z0
方向导数与梯度：
Fx（x0,y0,z0）
Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为∂f=∂fcos+∂fsin
：
∂l∂x∂y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）=∂fi+∂fj
∂f
∂x∂y
它与方向导数的关系是：
∂l
=gradf（x,y）⋅e，其中e=cos⋅i+sin⋅j，为l方向上的
单位向量。
∴∂f是gradf（x,y）在l上的投影。
∂l
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：
fxx（x0,y0）=A,
fxy（x0,y0）=B,
fyy（x0,y0）=C
⎧
AC-B2>0
⎧A<0,（x0,y0）为极大值
⎩00
⎪
⎪时，⎨A>0,（x,y）为极小值
则：
⎨AC-B2<0时，无极值
⎪
⎪AC-B2=0时,
⎪⎩
不确定
重积分及其应用：
⎰⎰f（x,y）dxdy=⎰⎰f（rcos,rsin）rdrd
DD'
曲面z=f（x,y）的面积A=⎰⎰
D
M
⎰⎰x（x,y）d
dxdy
1+ç∂x⎪+ç∂y⎪
⎛∂z⎫2
⎛∂z⎫2
⎝⎭
⎝⎭
M
⎰⎰y（x,y）d
平面薄片的重心：
x=x=D,y=y=D
M⎰⎰（x,y）d
D
M⎰⎰（x,y）d
D
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ix=⎰⎰y2（x,y）d,
D
对于y轴Iy=⎰⎰x2（x,y）d
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：
F={Fx,Fy,Fz}，其中
Fx=f⎰⎰
（x,y）xd
，
3
Fy=f⎰⎰
（x,y）yd
，
3
Fz=-fa⎰⎰
（x,y）xd
3
D（x2+y2+a2）2
柱面坐标和球面坐标：
⎧x=rcos
⎨
柱面坐标：
⎪y=rsin,
D（x2+y2+a2）2
⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,,z）rdrddz,
D（x2+y2+a2）2
⎩
⎪z=zΩΩ
其中：
F（r,,z）=f（rcos,rsin,z）
⎧x=rsincos
⎨
球面坐标：
⎪y=rsinsin，dv=rd⋅rsin⋅d⋅dr=r2sindrdd
⎩
⎪z=rcos
2
r（,）
⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,,）r2sindrdd=⎰d⎰d⎰F（r,,）r2sindr
ΩΩ000
重心：
x=1⎰⎰⎰xdv,y=1⎰⎰⎰ydv,z=1⎰⎰⎰zdv，其中M=x=⎰⎰⎰dv
MΩMΩMΩΩ
转动惯量：
Ix=⎰⎰⎰（y2+z2）dv，
Ω
Iy=⎰⎰⎰（x2+z2）dv，
Ω
Iz=⎰⎰⎰（x2+y2）dv
Ω
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
⎧x=（t）
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
⎨,
（≤t≤）,则：
⎩y=（t）
⎧x=t
⎰f（x,y）ds=⎰f[（t）,（t）]'2（t）+'2（t）dt（<）特殊情况：
⎨
L⎩y=（t）
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
⎧x=（t）
设L的参数方程为⎨y=，则：
⎩（t）
⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy=⎰{P[（t）,（t）]'（t）+Q[（t）,（t）]'（t）}dt
L
两类曲线积分之间的关系：
⎰Pdx+Qdy=⎰（Pcos+Qcos）ds，其中和分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式：
⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy格林公式：
⎰⎰（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy
D∂x∂yLD∂x∂yL
当P=-y,Q=x∂Q-∂P=2时，得到D的面积：
A=⎰⎰dxdy=1⎰xdy-ydx
，即：
∂x∂y
D2L
·平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且∂Q＝∂P。
注意奇点，如（0,0），应
∂x∂y
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积：
在∂Q＝∂P时，Pdx+Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
∂x
u（x,y）=
∂y
（x,y）
⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。
（x0,y0）
曲面积分：
⎰⎰⎰⎰xy
对面积的曲面积分：
∑
f（x,y,z）ds=
Dxy
f[x,y,z（x,y）]
1+z2（x,y）+z2（x,y）dxdy
对坐标的曲面积分：
⎰⎰P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：
∑
⎰⎰R（x,y,z）dxdy=±⎰⎰R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；
∑Dxy
⎰⎰P（x,y,z）dydz=±⎰⎰P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；
∑Dyz
⎰⎰Q（x,y,z）dzdx=±⎰⎰Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
∑Dzx
两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcos+Qcos+Rcos）ds
∑∑
高斯公式：
⎰⎰⎰（∂P+∂Q+∂R）dv=⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcos+Qcos+Rcos）ds
Ω∂x∂y∂z∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度：
散度：
div=∂P+∂Q+∂R,即：
单位体积内所产生的流体质量，若div<0,则为消失...
∂x∂y∂z
通量：
A⋅nds=Ads=（Pcos+Qcos+Rcos）ds，
òòòònòò
∑∑∑
因此，高斯公式又可写成：
divAdv=Ads
òòòòòn
Ω∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰（∂R-∂Q）dydz+（∂P-∂R）dzdx+（∂Q-∂P）dxdy=⎰Pdx+Qdy+Rdz
∑∂y∂z
∂z∂x
dydz
dzdx
∂x
⎰⎰
dxdy
∂y
cos
Γ
cos
cos
⎰⎰
上式左端又可写成：
∂∂
∑∂x∂y
与路径无关的条件∂R=∂Q，∂P=∂R，∂Q=∂P
：
i
∂
j
∂
∂y∂z∂z∂x∂x∂y
k
∂
∂x
∂y
∂z
P
Q
R
PQ
空间曲线积分
∂=∂
∂z∑∂x
RP
∂∂
∂y∂z
QR
旋度：
rotA=
向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：
⎰Pdx+Qdy+Rdz=⎰A⋅tds
ΓΓ
常数项级数：
等比数列：
1+q+q2
++q
n-1
=1-qn
1-q
等差数列：
1+2+3++n=（n+1）n
2
调和级数：
1+1+1++1是发散的
23n
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）
⎧<1时，级数收敛设：
=limnu，则⎪>1时，级数发散
n→∞n
⎨
⎩
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