全称量词与存在量词附答案.docx
《全称量词与存在量词附答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全称量词与存在量词附答案.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全称量词与存在量词附答案
1.4全称量词与存在量词
（1）
第1课时：
全称量词与存在量词
情景设计：
已知p（x）:
x2x20,q（x）:
sinxcosx,
（1）语句p（x）,q（x）是命题吗？
为什么？
（2）如果在语句p（x）或q（x）前面加上“对所有xR”或“存在一个xR”，它们是命题吗？
为什么？
点拔提示：
（1）在x未赋值之前，语句p（x），q（x）不能判断其真假，所以它们不是命题；
（2）在语句p（x）或q（x）前面加上“对所有xR”或“存在一个xR”后，p（x），q（x）的真假就能确定，所以它们是命题•
阅读与积累：
1•短语“”、“”逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示。
对所有的对任意一个
2•短语“”、“”逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示。
存在一个至少有一个
3.含有全称量词的命题称为;含有存在量词的命题称为.
全称命题特称命题
4.全称命题形式：
;特称命题形式：
。
其中M为给定的集合，
p（x）是一个关于x的命题。
xM,p（x）xM,p（x）
问题与思考：
题1:
判断下列命题是全称命题还是特称命题
（1）对任意的n€乙2n+1
（3）有的平行四边形是菱形（
答案：
（1）
（2）都是全称命题；
是奇数
（2）所有的正方形都是矩形
4）有一个素数不是奇数
（3）（4）
都是特称命题
题2：
判断下列命题的真假吗？
（1）xN,有x41
（2）
xR,有x2x10
（3）xR,使x2x1
（4）
x乙使x25
答案：
（1）假命题
（2）真命题（3）真命题（4）假命题
［合作学习与问题探究］
［难点•疑点•方法］
问题1：
你能用符号“”与“”表达下列命题吗？
1自然数的平方大于或等于零
2圆x2y21上存在一个点到直线yx1的距离等于圆的半径
③基本不等式:
④对于数列
，总存在正整数n,使得an与1之差的绝对值小于0.01:
n1
解：
①x
222xy1
N,x20;②（x,y）x,y/x2y21,—1
V2
③a,bR，-^^屈；④nN,an1|0.01
名师讲析：
一般地，全称命题写成“xM,p（x）”特称命题写成“xM,p（x）”其
中M为给定的集合，p（x）是一个关于x的命题。
问题2：
你能判定下列全称命题的真假吗？
（1）p：
所有的自然数是正整数
（2）q:
xR,x22x10
（3）r:
对每个有理数x，,x一定是无理数
解：
（1）Q0是自然数，但不是正整数，命题p为假命题
（2）Q因为x22x1（x1）20,命题q为真命题
（3）Q4是无理数，但是,42是有理数，命题q为假命题
名师讲析：
要判定全称命题“xM,p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证
明p（x）成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题
问题3：
你能判定下列特称命题的真假吗？
（1）p:
xR，使2x2x10
（2）q:
存在两条直线既不平行也不相交
（3）r:
有一个向量a，a的方向不能确定；
解：
（1）Q
（1）242170,2x2x10无解命题p为假命题
（2）Q在空间中，两条直线为异面直线时，它们就既不平行也不相交，
命题q为真命题
r
（3）Q0的方向不能确定，命题r为真命题
名师讲析：
要判定特称命题“xM,p（x）"是真命题，只需在集合M中找到一个元素沧,
使P（x°）成立即可，如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
［新理念典题探究］
题型一■:
判断下列命题是全称命题还是特称命题。
例1:
判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题.
（1）中国的所有江河都流入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）有一个实数a，a不能取对数；
（4）每一个向量都有方向吗？
审题指导：
含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题•但要注意
有些命题可能省略了量词•
解析：
（1）
（2）（3）是命题，（4）不是命题，其中
（1）全称命题；
（2）既不是全称命题也不是特称命题；（3）特称命题；
变式备选2:
判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题.
（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；
（2）三角函数都是周期函数吗？
（3）有一个实数x，x不能取倒数；
（4）有的三角形内角和不等于180
解：
（1）全称命题；
（2）不是命题；（3）特称命题；（4）特称命题;
题型二：
判断全称命题或特称命题的真假
例2:
（2004年湖北，15）设A、B为两个集合.下列四个命题：
1A,B对任意x€A,有xB;②A,BAnB=;③A'BAjB;
④A^B存在x€A,使得xB.
其中真命题的序号是.（把符合要求的命题序号都填上）
审题指导：
①要判定一个特称性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素X,使命题
p（x）为真；否则命题为假。
2要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x,p（x）都为真；但要
判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个X0,p（xo）为假。
解析：
AB存在x€A,有xB,故①错误；②错误；④正确.亦或如下图所示.
BAnBA
3A&BApB不成立的反例如下图所示.反之，同理.
真命题的序号是④
变式备选2:
（2005年春季上海，15）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
1若存在常数M，使得对任意x€R,有f（x）2若存在Xo€R，使得对任意x€R，且xmxo,有f（x）vf（xo）,则f（xo）是函数f（x）的最大值；
3若存在x0€R，使得对任意x€R，有f（x）大值.
这些命题中，真命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
解：
①错，原因：
可能“=”不能取到.②③都正确，选C.
［思维创新］
探究课题：
设语句q（x）:
x11x
（1）写出q
（1）,q
（2）,并判断它是不是真命题.
（2）写出“aR,q（a）”，并判断它是不是真命题.
（3）写出“aR,q（a）”，并判断它是不是真命题.
分析：
语句q（x）不是命题，给x赋值1,2,则成为命题q
（1）,q
（2）,判断其真假，即看x1,2时，等式x11x是否成立；要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可；
要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可
答案：
（1）q
（1）:
1111,真命题；q
（2）:
|2112,假命题
（2）aR,a11a
由
（1）知q
（2）为假命题，所以“aR,|a11a”为假命题
（3）aR,a11a
由
（1）知q
（1）为真命题，所以“aR,a11a”为真命题
[思维误区警示]
例题：
考察以下推导：
设ab，则有a2ab
a2b2abb2
（ab）（ab）b（ab）
abb
2bb
21
以上推导错在哪里？
请你从逻辑角度去找出问题并分析原因走出误区:
由ab命题真，可以导出以下三个命题真：
a2ab，a2b2abb2
（ab）（ab）b（ab）.但下一步导出abb是错误的，由于它引用了一个不真的全称命题，“dR，等式两边可以除以d”（因为d0时它是假命题）.同样的错误是由2bb导出2=1
评注:
全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某性质，使所给语句真.因
此，当给出限定集合中的任一个特殊元素时，自然应导“这个特殊元素具有这一性质”（类似于"代入”思想）；例如，由于"a,bR,（ab）（a2abb2）a3b3”真，因此，当a2，b3时，（23）（469）2333自然是正确的，以上思想要注意准确理解并运用.
[课时标准测控]时量30分钟,满分30分
1.下列全称命题中真命题为（
）
A.一次函数都是单调函数
B.
x
2
x/x是无理数，x3是有理数
C.任何一条直线都有斜率
D.
a
b//,都有a//b
答案:
A
2.下列特称命题中假命题为（）
A.空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
B.
仅存在一个实数b2,使得
9,b1,b2,b3,
1成等比数列
C.
存在实数a,b满足ab
2,使得3a
3的最小值是
D.
2
a（4,0],axax1
0恒成立
答案
:
A
3．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题.
（1）有一个实数a，a不能取对数；
（2）存在一个函数f（x），使f（x）既是奇函数又是偶函数；
2
（3）对任何实数a,b,c，方程axbxc0都有解；
（4）平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？
答案：
（1）
（2）（3）是命题，其中
（1）
（2）是特称命题，（3）是全称命题，（4）为疑问句，不是命题.
4．用量词符号“,”表示下列命题：
（1）有的实数不能写成小数形式；
（2）凸n边形的外角和等于2；
（3）任一个实数乘以1都等于它的相反数；
22
（4）对任意实数，都有sin2cos21
解：
（1）xR,x不能写成小数形式；
（2）x｛凸n边形｝，x的外角和等于2；
（3）xR,x
（1）x;
22
（4）R,,sincos1
5•判断下列命题的真假：
（1）xR,x2x10；
121
（2）xQ,3x-x1是有理数;
（3）
R，使sin（
）
sin
sin；
（4）
x,y
乙使方程3x
2y
10；
（5）
a,b
R,，方程ax
b
0恰有-
个解
解：
（1）
Qx2
12
x1（x-）
3
0
命题为真命题
4
（2）命题为真命题
（3）
Q
0时，sin（
）0,sinsin
0；
sin（
）
sin
sin，
命题为真命题
（4）
Qx
y
10时，3x
2y
10，命题为真命题
（5）
Qa
0,
b1时，ax
b
10，a0,b
1时，axb0无解
命题为假命题
6.设语句q（x）:
sin（x）cosx.
2
（1）写出q（—），并判断它是否为真命题？
2
（2）写出“R,q（）”，并判定它是否为真命题？
（3）写出“R,q（）”，并判定它是否为真命题?
解：
（1）q（—）:
sin（—
2
）
2
cos，即
2
sin0
cos为真命题
2
2
（2）
R,
sin（x
-）
2
cosx.由（
1）知,
它为真命题
（3）
R,
sin（x-）
2
cosx.
Q当
0时,sin（0-
i）
1,而cos—
2
0，
它为假命题•
第2课时：
含一个量词的命题的否定
课时栏目：
［自主学习与问题发现］
情景设计：
对于下列命题：
（1）所有的人都喝水；
（2）aR，|a|0；（3）某些平行四边形是矩形；（4）xQ，使x230；
上述命题属什么命题？
试对上述命题进行否定、你发现有何规律？
点拔提示：
命题
（1）的否定为：
并非所有的人都喝水，或：
至少存在一个人不喝水
命题
（2）的否定为：
“aR，都有|a|0”
命题（3）的否定为：
每一个平行四边形都不是矩形；
命题（4）的否定为“x，x230”；
注意命题被否定后，原来的全称量词要变为存在量词，而原来的存在量词要变为全称量词
阅读与积累：
1.全称命题p:
xM,p（x）的否定p:
;全称命题的否定
xM,p（x）特称命题
2.特称命题p:
xM,p（x）的否定p:
:
特称命题的否定
xM,p（x）全称命题
问题与思考：
题1:
设集合M1,2,3,4,5,6,7,试写出下列命题的非（否定）:
（1）nM,n1；
（2）n是质数，使nM
答案：
（1）nM,使n1.
（2）n｛质数｝,nM
题2:
写出下列命题的非，并判断它们的真假:
（1）
任意实数x，都是方程
3x
5
0的根;
（2）
xR,x20
（3）
xR,x220
（4）
2
xR,x是方程x
3x
2
0的根
答案：
（1）命题的非:
xR,使3x
50.Qx
3时，3350,
命题的非为真
⑵
命题的非：
x
R,使x20.Q
x0时，02
0,
命题的非为真.
⑶
命题的非：
x
R,使x220
.Qx
1时，
x21,
命题的非为假
⑷
命题的非：
x
R,x不是方程x2
3x
20的根.Q
x1时，123
120,
命题的非为假
［合作学习与问题探究］
［难点•疑点•方法］
冋题1：
你能写出下列命题的非？
（1）p:
矩形有一个外接圆.
（2）q:
若3是有理数，则4>3.
（3）r
:
存在角，使tan
cot1.
解:
（1）
p:
存在矩形没有外接圆
（2）
q:
若、3不是有理数
，则43.
（3）
r:
R,tan
cot1
名师讲析：
求命题的非的时候，要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质含义•
问题2:
你能写出下列命题的非，并判断它们的真假吗？
（1）p:
对所有的正实数p，为正数且,pp.
（2）q:
存在实数x，使得x11或x24
121
（3）r:
xQ,-xx1是有理数
32
解:
（1）p:
pR，0或Pp.p为真命题•
（2）q:
xR，都有x11且x24.q为假命题.
121
（3）r:
xQ,-xx1不是有理数.r为假命题.
32
名师讲析：
当命题的非的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真
时，命题的非为假，当原命题为假时，命题的非为真
问题3：
你能举反例说明下列命题是假命题吗？
（1）
a,bR,方程axb都有唯一解;
（2）
x
R,都有x
1x1
（3）
x
R^/x2:
x
解：
（1）如a0,b1等；
（2）如x2等；（3）如x1等
名师讲析：
要判定全称命题“xM,p（x）”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0,
使得p（Xo）不成立.
［新理念典题探究］
题型一：
写出全称命题的非，并判断其真假例1：
写出下列全称命题的非，并判断其真假
（1）p:
xR,2x10
21
（2）q:
xR,xx0
4
（3）r:
所有的正方形都是矩形
（4）S:
一切分数都是有理数
审题指导：
注意命题被否定后，原来的全称命题要变为特称命题，在判定全称命题
“xM,p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p（x）成立；如果在
集合M中找到一个元素x0,使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题
变式备选1:
判断下列全称命题的真假，并写出其否定:
（1）p:
对所有的正实数，都有'、xx
2
（2）q:
xR,2x3x17
解：
（1）假命题，如x—等.其否定为：
xR,Xxx
100
（2）假命题，如x1等.其否定为：
xR,2x23x17
题型二：
写出特称命题的非，并判断其真假
例2：
写出下列特称命题的非，并判断其真假
2
（1）p:
xR,x2x20
3
（2）q:
至少有一个实数x，使x10
（3）r:
有些三角形是锐角三角形
2
（4）s:
xR,xxx2
审题指导：
注意命题被否定后，原来的特称特称命题要变为全称命题，要判定特称命题
“xM,p（x）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使p（x0）成立即可，
如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
解：
⑴p:
xR,x22x20.p为真命题
（2）q:
xR，x310.q为假命题.这里由于x1时，x310.
（3）r:
所有三角形不是锐角三角形；或r:
x｛三角形｝,x｛锐角三角形｝.r
为假命题
（4）s:
xR,x2xx2.r为假命题
变式备选2:
判断下列特称命题的真假，并写出其否定:
（1）p:
x
R,
x
2
2
（2）q:
x
R,x2
4x
50
解：
（1）真命题，
如x
0等•
其否定为：
xR,
x22
（2）真命题,
如x
1等.
其否定为：
xR,
2
x4x50
［思维创新］
探究课题：
证明命题“xR,yR,使x（y1）、、2”为假命题.
分析：
从整体看，这是一个全称命题，要证明它是假命题，只需举出一个反例即可
答案：
如x0,贝UyR,x（y1）.2都不成立.这说明命题“xR,yR,使
x（y1）、2”为假命题.
［思维误区警示］
1
例题：
已知p:
3x42,q:
二0,求p和q对应的x值的集合.
xx2
典型错解：
由p:
3x4
2得p:
3x
23x42,
2
—x2.即p:
3
由q:
2门
1
0得q:
2
xx2
xx
走出误区：
若条件p中的兀素，组成的集合为
42
x-x2
3
-0,1x2.即x1x2
2
M，那么对p的否定p组成的集合就是M
1
q:
二0的错误,
xx2
1
的补集，在上例中，学生容易出现由由q:
二0得
xx2应先求出满足q的x的值，再求其补集.
正确解答:
由p:
3x4
2得p:
3x4
2
23x42,
2
_x2.即p:
x
-x2
3
3
由q：
2.
0得q:
x2或x
1,
xx2
q:
1x2.即卩x
［课时标准测控］时量30分钟,满分30分
1.对下列命题的否定错误的是（）
A.p:
负数的平方是正数；p:
负数的平方不是正数
B.p:
至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
p:
每一个整数，它是合数或素数
3232
C.p：
xN,xx;p：
xN,xx
D.p：
2既是偶数又是素数p:
2不是偶数或不是素数
答案：
A
2.下列语句中，判断是真的个数是（）
1全称命题“nZ,2n1是奇数”是真命题
2特称命题“xR,x2是无理数”是真命题
3命题“nZ,2n1是奇数”的否定是“nZ,2n1不是奇数”
4命题“xR,x2是无理数”的否定是“xR,x2是有理数”
（A）1（B）2（C）3（D）4
答案:
D
3.设集合A1,2,4,6,8,10,12，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p:
nA,n12；
（2）q:
n｛奇数｝，使nA
解：
（1）p:
nA,使n12,p为真命题
（2）q:
n｛奇数｝,nA
4.写出下列命题的否定：
（1）存在一个三角形是直角三角形；
2）至少有一个锐角，使sin=0；
（3）在实数范围内，有一些一元二次方程无解；
（4）不是每一个都会开车
解：
（1）任意三角形都不是直角三角形；
（2）对一切锐角，sin0；
（3）在实数范围内，所有一元二次方程都有解；
（4）每一个都会开车
5•写出下列命题的非，并判断它们的真假：
（1）任意的实数x，都是方程3x70的根
2
（2）xR,（x1）0
2
（3）xR,2x4
2
（4）xR,x是方程x2x3的根
解：
（1）命题的非：
xR，使3x70,Qx-时，3x70,
3
命题的非为真命题
（2）命题的非：
xR，使（x1）20,Qx0时，（11）20,
命题的非为真命题
（3）命题的非：
xR,2x24,Qx2时，2x24,
命题的非为假命题
2
（4）命题的非：
xR,x不是方程x22x3的根，
22
Qx3时，x2x3233,命题的非为假命题
6.写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：
（1）nN
，若n是
:
完全平方数，
则、一n
N；
（2）a,b
R，若a
ib，则a2
ab；
（3）x,q
R，若q
10,则x2
xq
0有实根；
（4）x,y
R，若xy0，则x
0或y0;
[1）逆命题：
nN
，若.nN
，则n；
是完全平方数（真）；
否命题：
nN
若n不是完全平方数
，则.nN;（真）；
逆否命题
n
N，若.n
N，则n不是完全平方数（真）；
（2）逆命题：
a,b
R，若a2
ab，则
ab;（假）；
否命题：
a,b
R，若ab
，则a2
ab；（假）；
逆否命题：
a,b
R，若a2
ab，则ab；（真）；
（3）逆命题：
x,q
R，若x2
xq
0有实根，则q0;（假）:
否命题：
x,q
R，若q0
，则x2
xq0无实根；（假）；
逆否命题：
x,q
2
R，若x
xq
0无实根，则q0;（真）
（4）逆命题：
升级会员 