基于软件平台高中数学实验设计.docx
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基于软件平台高中数学实验设计
基于软件平台高中数学实验设计
刘荣锋
（江西省赣州市会昌县会昌中学342600）
摘要：
关于数学实验作用已有大量研究，但在实验设计等微观层面的研究尚显不足，尤其是关于如何设计具有教学意义的数学实验的设计理论研究较少．我们认为，要设计合理、高效的数学实验，必须根据数学实验不同类型，采取不同的设计方法，才能使学生在数学实验过程中达到“学数学，做数学，用数学”的和谐进步．本文试从这一观点出发，基于软件平台，结合实验设计案例对数学实验设计做一实践探索．并从其中归纳出四种类型数学实验的设计结构图。
关键词：
数学实验；计算机软件；实验类型、设计；教学案例
谈起实验，我们自然会与物理、化学、生物等学科产生联系．其实，数学的发展与学习也离不开实验．数学家欧拉曾说过：
“数学这门科学需要观察，也需要实验”．著名数学家、数学教育家G·波利亚也曾精辟地指出：
“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，它是创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”，指出“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见摸得着”．
基于软件平台数学实验，是指根据研究目标，借助现代教学技术，创设或改变某种数学情景，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律的过程。
数学实验具有以下三个特点：
1、以问题为载体。
通过对实际问题的解决培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
2、以计算机为辅助手段。
利用计算机对数据进行处理和建模，更好地解决实际问题。
3、以学生为主体。
在教师的精心准备和指导下，学生自主探索解决问题，在成功和失败中获取知识和培养能力。
正是因为这几个特点，使数学实验产生了其他授课形式难以替代的独特功能：
1、独特的同化功能。
数学实验通过操作、实验，使学生进入主动探索状态，变被动的接受为主动的建构，由“听数学”向“做数学”转变。
2、优越的发展功能。
讲授式教学设计得再好，也很难适合各种不同层次的学生的不同需求，而数学实验是一种活动化教学，一种开放式教学，它能满足不同学生的需求，使不同学生的能力在各自的基础上都得到发展。
3、显著的激励功能。
数学实验不仅能使学生主动建构，发展个性，而且能很好地激励学生的求知欲与好奇心
关于数学实验作用已有大量研究，但在实验设计等微观层面的研究尚显不足，尤其是关于如何设计具有教学意义的数学实验的设计理论研究较少．我们认为，要设计合理、高效的数学实验，必须根据数学实验不同类型，采取不同的设计方法，才能使学生在数学实验过程中达到“学数学，做数学，用数学”的和谐进步．本文试从这一观点出发，基于软件平台，结合实验设计案例对数学实验设计做一实践探索．
一中学数学实验设计的涵义、要求和基本原则
所谓数学实验设计是指运用课堂教学和实验教学的设计理论，侧重对实验系统的整体分析，从实验组成的各个要素之间的关系和相互作用中发现系统的规律性，从而指明解决复杂系统问题的一般步骤、程序与方法。
它不是发现客观存在的教学规律，而是研究在一定的条件下，为了达到特定目标，选择和确定最好的教学策略去创造性地进行数学实验设计。
（一）数学实验设计要求
在讨论数学实验设计之前，我们想就数学实验设计要求做一说明．众所周知，不同类型的数学实验的设计过程应该是不同的．但是，我们认为，各种类型的数学实验教学都应有一些基本要求，这些要求包括：
1.数学实验设计应能清晰地表达所研究的数学问题，这种表达需符合数学的有关约定，有助于探究、发现研究对象之间的相互关系．
2.数学实验设计应能迅速地提供大量有关数学概念和原理的正例，以帮助学生形成概念和掌握原理．
3.数学实验设计应根据实验课题内容，在实验的动态过程中，测量数据的变化能即时得到反应，即具有实时反馈或同步互动的功能．
4.数学实验过程中应可以随时添加某些可操控的数学对象，以帮助问题的探究．
（二）实验选题的基本原则
1、量力性：
适合中学生的知识水平和年龄特点，在实验时不需要补充大量知识就可入手；
2、实用性：
要有一定的实际背景（意义），选择这种实际问题，可以使学生从实验过程中体会数学的价值，提高学生学数学的自觉性；
3、趣味性：
学生动手操作，能充分调动学生学习的主动性，吸引学生思考，启迪学生思维，开阔学生眼界，提高学生学习数学的兴趣。
4、体现计算机的作用：
实验课题的解决需要借助和通过计算机的计算和模拟功能，解决以前没有解决或难以解决的问题。
二中学数学实验教学设计
中学数学实验教学实践，由于实验的目的、应用的知识和采取的技术手段等不尽相同，因此各种分类的观点也大相径庭。
一般地讲，数学实验的分类可以有以下四种分类标准．
第一类，按照数学知识素材来划分可以有代数、几何实验、解析几何实验、三角实验及概率统计实验等．例如用圆的内接正多边形面积和外切正多边形面积来逼近圆的面积过程可以作为几何实验．再如计算圆周率的实验可作为代数实验，圆锥曲线中的轨迹实验是解析几何实验。
第二类，依据数学实验的任务作为标准．可以有观察实验、计算实验、体验实验和应用实验四个子类．例如球面距离的概念和弧度的概念等测量是一种体验实验。
第三类，依据数学实验的使用的实验工具来区分，可以有计算机实验、折纸实验、算法实验和骰子实验等等．例如用纸折圆锥曲线，利用计算机软件的绘图、测量和动态演示等功能进行数学实验。
第四类，按照需要来划分，按照用做实验中所用数学原理的数学思想方法可以分为逻辑确定性与随机模拟型等．如幂函数图像的性质的研究实验就是一种随机模拟的实验。
对于一个数学实验设计，本身就是一项系统工程。
它需要理论的指导和实践的检验。
只有经过理论――实践――理论的过程，才能呈现出优秀的实验设计。
其一般的设计结构如图1：
从数学实验结果的角度来看，它具备三个特征，一是实证性，即能提供确定的数学知识，结论明确，（理论上）可以验证；二是深刻性，能在实践的基础上进行抽象思维，进而揭示数学规律或问题解决的本质；三是创造性，在技术中介（几何画板）的参与下扩大主体的认识能力，进行“发现”或“再发现”。
由于对数学实验的合理分类有助于指导实验设计的理论与方法，因而本文从数学实验教学设计的角度出发，以实验任务为划分标准，将数学实验分为：
验证式、模拟实验式、观察理解式、探索建构式四种具体设计类型。
（一）验证性数学实验设计
验证式的数学实验是让学生通过实验验证、检测由已学过的相关知识推导出的结论或做出的一般性猜测的正确性。
这类实验作为一种特殊的认识方式，把演绎与归纳两种方法的特点结合于一身。
这种实验的过程比较短，可以随堂进行，既可以由老师进行演示，也可以由学生利用计算机自行操作验证．根据教学实践经验，设计验证性数学实验一般要经历如下四个基本过程：
1.实验课题的选择．一般来说，数学中并不是每一个结论都需要验证，教师在选择课题的时候应该深入考虑，所选择的课题是否需要验证，验证结论以后，对学生的理解会有什么样的帮助，为学生应用这个结论会起到什么样的作用．
2.实验的准备．由于验证性的实验大部分可以随堂进行，需要教师课前做好课件．如果需要学生操作，应该在课前进行有关的准备性的实验，让学生熟练掌握有关的操作过程．
3.实验时机的选择．根据教学的需要，验证性的实验一般放到新知识猜测、发现出来以后，或新结论产生之后．
4.验证结论之后的应用．结论的验证过程中，往往包含了一定的数学思想和方法，在验证完某一个结论以后，教师应该补充一些问题，这些问题应和验证中所用到的思想和方法有关，这样就能够使学生对结论的理解上升到一个新的高度．
<案例1>二次函数为抛物线
在学过抛物线的定义和方程以后，教师可首先提问：
以前我们学习的二次函数的图像称作抛物线，那么它满足我们新下的抛物线的定义吗?
这个问题如果采用严格证明是非常复杂的，所以可提议通过数学实验进行观察验证体认．验证性实验设计如下：
1、先利用几何画板软件做出二次函数的图像
，根据抛物线的知识可知，该抛物线的焦点坐标是
），准线方程是
（如图2）．
2、在抛物线上任取一点M，做
于点A，连结MF，测量MF，MA长度
3、拖动点M在抛物线上移动．观察变化的数据，可以看出MF，MA始终相等，符合抛物线的定义。
如果只是上述这样验证定义，意义并不是很大．但是，如果验证完以后，做进一步的延伸，向学生提出如下问题，就更显数学实验的价值：
（1）
，点M应在线段AF的____________上．
（2）如果先在直线
上确定点A，怎样确定点M？
（3）当点A在直线
上移动时，
始终成立吗?
（4）点M的轨迹是什么?
由此进一步分析、启发、诱导，可以得到已知焦点F和准线
的情况下，抛物线的一种做法：
（1）在
上任取点
、
、
……
（2）分别过
、
、
……，做
、
、
，……
（3）分别做
……的中垂线
……和
……的交点分别是
，
，
，……
（4）用光滑的曲线把
，
，
，……连结起来，便得到抛物线．
最后，可以进一步补充如下的题目作为学生的课外实验延伸材料：
一张长方形纸片ABCD，其长AD为
，宽AB为
（
），按（图3）所示的方法进行折叠，使折叠后B始终在AD边上，此时将B记为
（EF为折痕），过
作
T
AD交EF于点T，求T点的轨迹方程．
在这一实验过程中，并没有停留在只对定义验证这一肤浅的层次上，而是在验证的基础上进行了适当的延伸，通过这一实验，学生对抛物线的理解上升到了一个新的水平，其观察能力和抽象思维能力得到了很好的锻炼．
通过上例，在验证性数学实验设计应注意：
1．选择具有一定的难度，要全面考虑才能得到正确答案的问题
2．问题结果的可验证性
3．选择利于对问题结果验证的实验工具
这种实验模式简单，其类型结构如图（图4）：
修正
反思原因
数学问题的解决
实验验证
结果正确
结果错误
图4
（二）模拟实验式数学实验设计
数学中的变量，由于其动态的复杂性和客观条件的限制，无法在想象中完成对它的刻画，借助计算机的强大动态功能描述客观数学变化现象，尽可能真实地创造一种实验环境，在这种环境中重现所要描述的客观数学现象，从而对这种现象的某些规律做描述和判断，这种数学实验通常成为“模拟式”的数学实验。
模拟实验可以弥补常规实验存在的一些不足中学数学有很多内容，如动态的函数问题、对参数范围的考察问题、轨迹问题等，都可以采取模拟实验进行教学。
案例2等长线段在坐标轴上的运动
在直角坐标系中,有一条长为2的线段AB,点A在y轴上运动,点B在x轴上运动,且保持线段长度不变,线段AB上的点分线段AB所成的比为1:
2.求点P满足的方程.
怎么是椭圆呢?
这样很多同学不能理解的.轨迹形状与比有关系吗?
若用几何画板将轨迹的形成过程动态显现,可减少不同学的困惑,而且,在此基础上还可进一步探究.
图5
1.改变比值
可发现,0<
<1时是焦点在y轴的椭圆,
=1时为圆（图5）,
>1时为焦点在x轴的椭圆（椭圆可看作是一个压扁的圆）
2.若追踪线段AB的轨迹呢?
（图6）
3.原点O到梯子距离最小的点的轨迹呢?
（路径就是数学上的四叶玫瑰线）（图7）
4.主动点D到梯子距离最小的点的轨迹呢?
（星形线）（图8）
5.若角AOB不是直角呢?
评析：
在过去传统教学中，教师只能用粉笔和黑板，学生只能用笔和纸，画出来的图象是静态的，有时很容易掩盖一些几何规律，无法形象地表达一些普遍性的内容．而现在，计算机的介入，给教师提供了动态的黑板，给学生提供了更为丰富的学习资源．借助于计算机和多媒体迅速的图文、数据处理功能，为抽象的数学思维提供了直观的思维背景，使静态的数学结构表现为时空的动态过程，使得数学实验有了质的飞跃．
在进行数学模拟实验的设计应注意：
1充分考虑数学问题中控制动态特征的量和静态规律的质的结合
2实验设计应对影响答案和结果的变因给予一定范围的限制
3使学生能够观察和测量到动态变化的一些规律
4问题变化的多方位多角度的设计考虑
这种实验类型主要通过实验工具为学生创设一定的问题情境，为学生的再发现提供了背景。
为认识主体在实验中通过改变实验初始条件使认识主体对客体进行认识的角度、方位和层次变得灵活多样。
（三）观察理解式数学实验设计
观察理解式的数学实验设计通常是指在人为干预控制实验对象的条件下进行观察，利用计算机软件的几何作图功能，在动态的图形演示中，从直观上理解数学概念，并通过观察，分析、归纳出数学性质或真理，以深刻理解数学概念及原理。
它主要通过对实验材料的“数学化”操作来实现对数学概念、原理和事实的接受和理解。
这类实验在中学数学实验中占有相当大的比例。
如中学数学教学内容中的复合函数的单调性规律、圆锥曲线与其离心率的关系、二次函数与其系数的关系等都可以通过观察实验进行教学，以帮助学生对这些数学知识的认识和理解。
案例3：
复合函数单调性规律的实验
以往研究复合函数的基本性质，特别中复合函数单调性的判断，总是直接给出结论“同增异减”。
学生只知其然，不知其所以然，往往疑惑不解。
放置四个图形：
其左下方为y=f（x）图象，左上方为复合函数y=f[g（x）]的图象。
画出（x,t）,（t,y）,（x,y）的对应点，认清这三组变量的对应关系。
以y=cos（sinx）为例，设t=sinx,y=cost（如图9）
学生可以研究的g=cos（sinx）
（1）定义域，值域
（2）单调性、奇偶性（3）最大、最小值等。
如果改变t=g（x）,y=f（t）函数的具体表达式和绘图范围，就能看到不同的复合函数生成过程。
由此可观察t=g（x）,y=f（t）函数的基本性质对复合函数的影响，使复合函数问题变得直观、易懂，对复合函数的有关知识从疑惑不解到清楚明了，由不确定到确定，由含糊到明确。
在进行观察理解式数学实验设计应注意:
1强化实验素材在实验目的方向上的数学化特征；
2实验材料的选择应具有明显的数学形象
3注意实验观察数学特征的分化点
这种实验在中学数学实验中的应用广泛。
数学实验素材多取自基本数学概念和众多数学事实。
具体设计结构如下（图10）：
（四）探究建构式数学实验设计
探究性数学实验综合性特点既可以将验证性质的实验继续发展，又可将操作理解的效果移植到实验结论的掌握上，也可以在模拟实验的基础上进一步探究。
更可将三者有机融合不断创新。
探究性实验的目的是让学生通过观察、归纳、类比。
概括等思维方式来建立具有一定层次性结构的数学思维方式。
中学数学中的很多知识都有一定的规律，并具有推广的潜力，这些知识或问题大部分可以通过实验的方式来获得。
如有些问题在限定或放宽某些条件的情况下，通过对其结论变化的探索，从而得出一般意义下的规律和法则等，这样的问题都可以开发成探索实验。
这种实验设计通常从某种数学原理出发，又回到这一数学原理。
实验的最终目的是使学生在应用这个原理时，认识不同水平条件变化下的数学本质,真正意义上通过“探索”达到“建构”数学认识结构的目的。
探究性实验一般安排在概念原理之前，为发现、提出概念原理埋下种子，实验后一般要进行小组或班级讨论，讨论分析观察到的现象、收集到的数据和对数据进行的解释，提出猜想和假说，用时一般较多．所以，因此，它的设计过程要复杂一些，一般需要经过选题、实验方案的设计、局部设计和总体设计等阶段．
1.选题．根据教学内容，由教师提出数学问题，这些问题可能是学生要学习的新知识，可能是学生学习中遇到的不易解决的问题．
2.实验设计．分析：
①实验时应重点演示什么?
②指导观察时，应指出什么?
得到什么结论?
③启发引导得出实验结论时，应提问什么?
分析归纳什么?
等等
3.总体构思．根据教学目标和所选实验方案，设计或选择适当的教学策略，建立教学模式，对整个教学过程进行总体的构思，决定主要的教学环节和大致的教学程序．
4.确定总体设计方案．根据总体的构思，将局部方案汇合，串接，调整，加工成为一个完整的总体设计方案．这里需要注意：
各局部设计、各环节的“接口”（过渡、衔接）须自然、恰当．
<案例4>直线与双曲线的交点问题的探索实验。
1、问题的提出
（1）己知双曲线
，直线
过定点P（0，2），问直线
何时与双曲线只有一个公共点?
（代数方法解决）
（2）在几何画板中绘制曲线和动直线，观察分析四条直线的位置特征，同时教给学生必要的操作方法。
（3）将问题一般化：
若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条?
2、问题探索：
将学生分成若干小组，并进行实验操作，得出相应结论。
3、小组交流、总结
4、问题的代数验证
5、问题的拓展：
给定双曲线和定点，过定点与双曲线有两个交点的直线有几条?
学生开始实验探索时，点P的选取是杂乱无章的，得出的结论也不全面。
但无论如何都是自己的探究和发现，其中的体验是深刻的，尤其是通过交流后，便会相互补充形成全面的结论，而且会发现：
利用对称性，只需探求点P在第一象限时的情形就可以得出全面的结论。
探索建构式实验激发了学生探究的兴趣，提高了学生的实验能力和分析能力。
实验并没有要求学生研究其他曲线（圆、椭圆和抛物线）与过定点的直线交点个数的问题，但很多学生能够主动地进行实践探索。
这些都表明数学实验启发了学生的创造性，提
高了学生探究学习的主动性。
在进行探究建构式数学实验设计时应注意：
1遵循学生认识事物从特殊到一般的规律
2借助启发性联想，设计问题控制实验进程
3利用经验的局限性设置认知冲突和布置实践探索的层次和变式。
这种实验将是中学实验中主流实验，其类型结构如下（图11）：
这类设计类型所选择的数学实验素材，应具有一定的层次结构，有体现特殊、一般的突出特征，有推广和变换下的数学不变性，应包含有能动的抽象性促进实验主体发现规律特征的愿望。
设计时，要让学生有机会经历各个抽象阶段。
三、基于软件平台高中数学实验设计的几点说明
（一）数学实验设计几点要求
不同类型的数学实验的设计过程应该是不同的．但是，我们认为，各种类型的数学实验教学都应遵循一些基本要求，这些要求包括：
1、数学实验设计应能清晰地表达所研究的数学问题，这种表达需符合数学的有关约定，有助于探究、发现研究对象之间的相互关系．
2、数学实验设计应能迅速地提供大量有关数学概念和原理的正例，以帮助学生形成概念和掌握原理．
3、数学实验设计应根据实验课题内容，在众多的数学软件中选择一个合适的数学软件平台．一般要求数学实验条件或原始参数可（在一定范围内）任意设定而实验过程的中间数据和最终数据可以测量，在实验的动态过程中，测量数据的变化能即时得到反应，即具有实时反馈或同步互动的功能．
4、数学实验过程中应可以随时添加某些可操控的数学对象，以帮助问题的探究．
（二）数学实验的程序制作的几条原则
设计数学实验要有鲜明的数学属性，在具体制作过程中，又要充分考虑到它是一种教学工具（而不是玩具），因此，要符合“教”和“学”的基本规律。
1、取材要小，目的性要明确，问题的结论要清楚。
2、要能让学生操作，让学生在操作中有后续步骤，有发现新问题的潜能。
3、操作按钮要有提示；但不要把问题和盘托出，要给学生有想象的余地。
4、教师要坚持自己动手。
因为同一个问题，不同的老师有不同的讲解方法。
数学实验的设计和教师的讲解相配套，就能充分发挥这一实验的优势。
四、结束语
以上4种实验设计范式是中学数学教学中常见的方式，对改革数学教学具有一定的意义．
首先，，数学实验设计将教师对数学的主观经验赋予一定的客观形式，即借助于物质材料作为传递经验的媒体或信号，使学生在活动中认识并改造着自己的数学知识结构．
其次，数学实验的设计规划对设计者所假设的认识主体（学生）具有可操作性和实践性．实验教学特别注重实测与直观，让数学在“实验”的过程中对所研究的内容“可视化”，从中获得对数、形的观念，并逐步对其适度抽象，进行更高层次上的“再实验”，进而体会数学的研究方法和构成体系．
数学实验设计的最终目的是使学生逐步学会数学思维的方法，掌握研究的规律，培养理性思考问题的习惯，并检验和论证问题的结果．这是新课标所倡导的数学素养和数学的人文价值所在!
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作者简介：
刘荣锋：
中学一级，本科，研究方向为信息技术与数学课堂教学有效整合。
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