高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练62文doc.docx

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高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练62文doc

层级快练（六十二）

1.若过原点的直线1与双曲线牛一着=1有两个不同交点，则直线1的斜率的取值范围是

答案B

与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线1的斜率的収值范围应是0,

2.已知椭圆x2+2y2=4,则以（1,1）为中点的弦的长度为（）

（Xi—X2）2=（Xi+x2）-—4xiX2=4—§=§•

V2

3.（2018•辽亍师大附中期中）过点M（-2,0）的直线n与椭圆y+y2=l交于R,巴两点,

线段PiP2的中点为P,设直线m的斜率为k!

（k】H0）,直线OP的斜率为履则k）k2的值为（）

答案D

（丁2

寸+脊=1,

Y

2

爻丄21

—+^2=•-解析设Pi（xi,yi）,P2（x2,y?

）,P（x,y）,贝I」/两式相减，W-（X1+xJ2（X，~Xj+（y.4-y2）（y-y2）=0.

nn2x•（xi—x2）,门/\c

即+2y（yi—V2）=0.

22

4.（2017•山东师大附屮模拟）已知两定点A（0,-2）,B（0,2）,点P在椭圆誇+話=1上,

且满足I炉一屈1=2,则环•丽为（）

A.-12B.12

C.-9D.9

答案D

22

解析易知A（0,-2）,B（0,2）为椭圆令+話=1的两焦点，A|AP|+|BP|=2X4=8,又

|AP|-|BP|=2,A|AP|=5,|BP|=3.

V|AB|=4,AABP为直角三角形，・・・环・BP=|BP|2=9.

5.（2018・福建厦门中学期中）设直线1过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直,1与C交于A,B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）

A.^/2Bp

C.2D.3

答案B

22

解析不妨设双曲线c：

彩一話=l（a>0,b>0）,焦点F（c,0）,对称轴为直线y=0.

由题意知~2—72=1,y=±~,=4a,b2=2a2,c2—a2=2a2,c2=3a2,•故

abaaav

选B.

6.（2018•徳州一中期末）已知抛物线C：

y2=4x的焦点为F,准线为1.若射线y=2（x—

l）（xWl）与C,1分别交于P,Q两点，则罟

i\.y[2B.2

C.&D.5

答案C

解析抛物线C：

y2=4x的焦点为F（l,0）,设准线1：

x=—l与x轴的交点为F】，过点P

X=—1,

作直线i的垂线，垂足为n,由仁2（x_n,y,得点Q的坐标为i一4）,所以故选c.

7.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+l交于P、Q两点，若|PQ|=伍,则抛物线的方程为（）

A.y2=—4xB.y2=12x

C.y2=—4x或y'=12xD.以上都不对

答案C

y2=2px,?

解析由题意设抛物线的方程为y2=2px,联立方程得°.消去y，得4x2-（2p-4）x

、y=2x+l,

D—21

+1=0,设P（xi,yi）,Q（X2,y2）,则x】+x2=「^,xix2=-

|PQ|=VT+^|x-x2|=V5・y/（x】+x2）—4x】X2=V^・yj（宁）2-4X^=Vi5,所以

p2—4p—12=0,p=—2或6,所以y2=—4x或y'=12x.

8.（2018・衡水中学调研）过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的眩AB、CD,则「卜+击

=（）

A.2B.4

11

C迈D.&

答案D

解析根据题意，抛物线的焦点为（0,1）,设直线AB的方程为y=kx+l（kH0）,直线CD

1[y=kx+Lo

的方程为丫=—「x+l,rill2得y“一（2+4k「）y+l=0,市根与系数的关系得y.>\+yB

k[x~=4y，

4ii

=2+4於，所以|AB|=y,\+yB+2=4+4k‘，同理|CD|=yc+yD+2=4+^,所以

4k7+4+4k7+4=4,故选D

22_

9.（2018•福州外国语学校适应性考试）已知双曲线C：

彩一右=1Q>0,b>0）的焦距为2^5,

抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）

2y2x‘2

c.子一亍=1D・t_『=1

答案D

解析由题意可得c=&,即a2+b2=5,双曲线的渐近线方程为y=±、将渐近线方程和

抛物线方程y=*+*联立，可得#±）++=0,由渐近线和抛物线相切可得A斗一4X*

1V2

X-=0,即有a2=4b2,又a2+b2=5,解得a=2,b=l,可得双曲线的方程为〒一y'=l・故选D.

22

10.（2018•天津红桥区期末）己知双曲线笃一占=1（8〉0,b>0）的两条渐近线与抛物线

ab

2px（p>0）的准线分别交于A,B两点，0为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AAOB的面积

为书,

则P=（）

A.1

3

B.2

C.2

D.3

答案

C

解析

22

因为双曲线方程为冷一占=1,所以双曲线的渐近线方程是

ab

y=±-x.又抛物线y2=a

2px（p>0）的准线方程是x=—故A,B两点的纵坐标分别是y=±普.因为双曲线的离心率

为2,所以£=2,所以2=3,贝A,B两点的纵坐标分别是y=±学=土乂共又AAOB

aaazqz

的而积为羽，X轴是ZAOB的平分线，所以解得p=2.故选C.

11.设F为抛物线C：

y=2px（p>0）的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点（B在第一象限，A在第四象限），0为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M,则|0B|与|0M|的比值为（）

A.y/3B.2

答案C

解析抛物线C：

y2=2px（p>0）的焦点F（号，0）,准线x=—号，直线AB：

y=Q5（x—号），与抛物线方程联立，消去x得，羽y‘一2py—寸5p?

=0.设A（x】，yj,B（x2,y?

）,则yi=—Y2=V^P,故"（—g—爭，贝躲I=寸,将y?

=y/3p代入直线AB的方程得x2=|p,故B（|p,V3p）,贝lj|OB|=^J^+3p2=^p,所以|OB|=3|OM|.故选C.

12.（2018•河南郑州二测）过点P（-l,0）作直线与抛物线y2=8x相交于A,B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为・

答案5

V*1

解析设A（xa,*）,B（Xb,Yb）t由相似三角形知识可知—①

YbO

y=kx+k9A

设直线的斜率为k,则其方程为y—0=k（x+l），即y=kx+k,由仁°可得ky2-8y

ly=8x,

+8k=0,则yA・Yb=8.②

4

由①②可得yB?

=24=8xB,所以xb=3,由抛物线的定义可知点B到焦点的距离为3+㊁=5.

22

13.（2018•湖北部分重点高中联考）已知双曲线C2与椭圆Cu才+才=1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最人时双曲线C2的离心率为—

22

心

答案y/2

2

解析设双曲线的方程阳

器=l（a>0,b>0）,由题意知a2+b2=4—3=1,由<

x2=4a\

解得交点的坐标满足2、2由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为

.y=3（1—a）\

顶点的四边形是长方形，其面积S=4|xy|=4y/4^•y/3（1—a2）=8y/3•y/P•y/l~a2^

8p・，2‘=M，当且仅当a2=l-a2,即时，取等号，此时双曲线的方程为，一

2

T=1‘离心率

2

22

14.（2018•淮南一模）过椭圆^+p=1（a>b>0）上的动点P作圆x2+y2=b2的两条切线PA,

PB,切点分别为A,B,直线AB与x轴，y轴分别交于N,则AMON（0为坐标原点）面积的

最小值为

答案I解析设A（xi,yi）,B（X2,y2）,则直线PA：

xix+yiy=b2,直线PB：

x2x+y2y=b2.因为P（x°,

y。

）在直线PA,PB上,所以

XiXo+yiyo=b\Qb2

2可得直线AB的方程为xox+y0y=b\得M（—,0）,、X2Xo+y2yo=bSxo

当罟U胡时等号成立•

X2

15-（2018•湖南永州一模）已知椭圆C：

?

+fa2

（2）若对于直线1：

y=x+ni,椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线1对称，且3更•丽<32,求实数m的取值范围.

答案（l）y+y2=l

（2）（—3»*）

解析

（1）由题意知c=i,£=爭，

az

所以a=^2,b=l.

V2

所以所求椭圆的方程为㊁+y2=l.

y=—x+n,

消去y并整理可得3x2-4nx+2n2-2=0,

由△=（—4n）2—12（2『一2）=24—8『〉0,解得一£

Xi+x2=—，X1X2=-,

设直线AB的屮点为P（x0,yo）,则刈=洱竺=学

由点P在直线AB上得y°=—丰+n=*

又点P在直线1上，扌=弓+111,所以山=—詐（一平，申）.①

又QA=（xi,yi—3）,QB=（x2,y?

—3）,

ff3232

.*.QA•QB——=（xi,yi—3）•（x2,ys—3）——

32

=xix2+（yi—3）（y2—3）——

=n2—2n—3=9m2+6m—3

=3（3m—1）（m+1）<0,解得一15〈扌，②

综合①②式，得m的取值范围为（一专，利

方法二：

由题意设A（xi,yi）,B（X2,y2）,直线AB的中点为P（x,y）,则2x=x】+x2,2y=yi+y2,将A,B两点分別代入椭圆方程，fxi2+2y/—2=0,

并联立91o9nn两式相减得x.2-x22+2（yi2-y22）=0,lx2^+2y2—2=0,

即（xi—x2）（xi+x2）+2（yi—y2）（yi+yz）=0.

V1—V2

又AB丄19所以k»\B==—1

所以，AB的屮点P的轨迹方程为y=尹.

又TP在椭圆内，・・■（—；"）+（_m）2〈l,即m逍

另一方而，易知直线AB的方程为丫=—x—3m.

又QA=（x.yi—3）,QB=（x・2,y・2—3）,

=2xiX2+（3m+3）（X1+X2）+9nf+18m+9—~

=9m+6m—3

=3（3ni—1）（m+1）<0,解得一15<#.②

综合①②式，得山的取值范围为（一零»

X2y2

16.（2016・课标全国II）已知椭圆E：

y+3=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为

k（k〉0）的直线交E于A,两点，点7在E上，MA丄NA.

（1）当t=4,|AM|=|AN|时,求AAMN的面积;

（2）当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

答案⑴罟

（2）（萌，2）

解析

（1）设M（xi,yj,则由题意知yQO.

22

当t=4时，E的方程为扌+寸=1，A（—2,0）.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为寸■.因此直线AM的方程为y=x+2.

22

将x=y—2代入才+才=1,得7y2-12y=0.

19I?

解得y=0或y=〒，Vyi>0,所以yi=—

亠/厂、t2k2—3t如（3—tk'）

rflX,•=3+tR2,得x.=3+tk

IAM|=|Xi+^/t|-^/l+k2=6^t3^}^2k—.

由题设知，直线AN的方程为丫=—*（x+&）,

m・eII6k\/t（l+k‘）

故同理可得IANI=•

2k

b2|AM|=|AN|,得讦应=黍頁，

即（k3-2）t=3k（2k-l）.

当k=^/2时上式不成立，因此t="k

即誉〈0.

因此k的取值范围是（萌，2）.

|备选题|

x2V2

1-（2°17•北京大兴一中月考）己知双曲线C：

厂討1@>0,b>0）的左、右焦点分别为F】,

F2,过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF］丄PF2,则C的离心率为（）

ApB.^/3

C.2D.&

答案D解析取双曲线C的渐近线为y#因为F—c,0）,F2（c0）,所以过F2作平行于渐近

线y=£x的直线PF?

的方程为y=£（x-c）.

因为PF」PF2,所以直线PFi的方程为y=-f（x+c）.

联立方程组s

y4（X-c）'2ab

得点p的坐标为（——，

acc

y=—-（x+c）,

因为点p在双曲线c上,

（U）2（2ab）2

2

~r=lc

耳=1,整理得c2=5a2.c

cc

所以一P=1,

ab

（p2—少J）2

a2c2

因为c2=a2+b2,所以（°因为e=->l,所以e=y[5.故选D.

av

2

2.已知双曲线x2-^=l,过点A（l,1）的直线1与双曲线只有一个公共点，则1的条数为

（）

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析①斜率不存在时，方程为x=l符合.

②设斜率为k,y-l=k（x-l）,kx-y-k+l=O.

4x2—y2=4,

（4-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-5=0.

b=kx—k+l,

当4—於=0,k=±2时符合；

当4—於工0,A=0,亦有一个答案，.••共4条.

X2

3.已知双曲线T：

j-y2=l,过点B（-2,0）的直线交双曲线于A点（A不是双曲线的顶点），

若AB的中点Q在直线y=x上,点P为双曲线T上异于A,B的任意一点（不是双曲线的顶点）,

直线AP,BP分别交直线y=x于M,N两点，0为坐标原点，则鬲・0N=（）

B.

A.

C.D・-8

答案A

104

解析因为AB的中点Q在直线y=x上，B（—2,0）,所以A（—,§）・设P（xo,yo）,当直线AP的斜率不存在时,易知P（¥，—M（y,詈），N（—I，—|）,此时丽•0N=yX（—|）

4y0———

）-yX（-|）=-|当直线AP的斜率存在时，则直线AP的方程是y-|=—（x—乎）,与

_8

22

4.（2017-福建福州质检）已知叭，F2是双曲线与一占=l（a〉0,b>0）的左、右焦点，若双曲

ab

线左支上存在一点P与点F2关于直线y=fx对称，则该双曲线的离心率为•

答案&

bxIppj

解析由题意可知双曲线左支上存在一点P与点压关于直线'匸丁对称,则PM丄Pf又話

联立IPF2I—|PFi|=2a,|PF2|2+|PFi|2=（2c）2,可得b3+a2b=2c2a.所以b=2a,e=诵.clY

22

5.（2018•河北石家庄模拟）已知Fi,F2分别为双曲线与一£=l（a>0,b>0）的左、右焦点，

ab

点P为双曲线右支上一点，M为△PFE的内心，满足SAMPF^SAMPFs+入SAMFiF2.若该双

曲线的离心率为3,则X=.（注:

SAMPFi,SAMPF2,SAMFlF2分别为△MPF】,△

MPF2,AMF,F2的面积）

答案I

解析设△PF1F2内切圆的半径为r,则由题意，得*X|PFi|Xr=-|x|PF2|Xr+XX^X|FiF2|

Xr,即iPFj-lPFz^X|FiF2|=X・2c,又由双曲线的定义知|PF,|-|PF2|=2a,所以2a

6.已知抛物线C：

y2=2px（p>0）的焦点为F,抛物线C与直线hy=~x的一个交点的横坐标为8.

（1）求抛物线C的方程；

（2）不过原点的直线12与h垂直，且与抛物线相交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求ZXFAB的面积.

答案（l）y2=8x

（2）24&

解析

（1）易知直线与抛物线的交点坐标为（8,-8）,

・・・（一8）2=2pX8,・・・2p=8,・・・抛物线方程为y2=8x.

（2）直线I2与h垂直，故可设直线L：

x=y+m,A（x）,yj,B（x2,y2）,直线I2与x轴的交点为M.

fy2=8x,9

由I,得y^-8y-8m=0,

x=y+ni,

A=64+32m>0,Am>-2.

故Safab—Safmb+S

AF.MA

由题意可知OA丄OB,即xix2+yiy2=m2—8m=0,・・・m=8或m=0（舍），・・・直线5x=y+8,M（8,0）.

=3yj（yi+y2）2—4yiy2=24&.

7.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.

⑴若AF=2FB,求直线AB的斜率;

（2）设点M在线段AB上运动，原点0关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.答案

（1）±2边

（2）4

解析

（1）依题意知F（l,0）,设直线AB的方程为x=my+l.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x,得

2

y—4my—4=0.

设A（xi,yi）,B（X2,y：

J,所以yi+y2=4m,yiy2=—4.®

因为祚=2西，所以yi=-2y2.②

联立①和②，消去yi,y2f得【11=土乎.

所以直线AB的斜率是±2边.

⑵由点C与原点0关于点M对称，得M是线段0C的中点.

从而点0与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2Saaob.

因为2Saaob=2X~•|OF|•Iyi—y21

=yj（yi+y2）2—4yiy2=4寸1+n?

所以当时，四边形OACB的而积最小，最小值是4.

8.（2018•河南洛阳第一次统考）已知抛物线C：

x2=2py（y>0）,过焦点F的直线交C于A,B两点，D是抛物线的准线1与y轴的交点.

（1）若AB〃1,且AABD的面积为1,求抛物线C的方程；

⑵设M为AB的中点，过M作1的垂线，垂足为证明：

直线AN与抛物线相切.答案（l）x2=2y

（2）略

解析

（1）；・AB〃1,・・・|FD|=p,|AB|=2p.

•；SzSABD=P=1・•：

P=1・

・•・抛物线c的方程为x2=2y.

（2）证明：

设直线AB的方程为y=kx+?

y=kx+T,联立＜2得x~—2kpx—p-=0.①

x2=2py,

设A（X1,話）

设方程①的两根分别为xi,X2,则xi+x2=2kp,xiX2=—pl2/X2〔

B（x2,_）.

设M（kp,k2p+|）,N（kp,—|）.

・・・抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=*・•・直线AN与抛物线相切.