高等数学上期末复习.docx

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高等数学上期末复习

高等数学（上）复习

高等数学（上）期末复习

第一章极限与函数

一、重点概念

1.数列{Xn}有界是数列{Xn}收敛的必要条件。

数列{Xn}收敛是数列{Xn}有界的充分条件。

即：

数列{Xn}收敛

数列{Xn}有界

（以上说明收敛的数列一定有界，有界的数列不一定收敛。

另外，如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在。

）

2.ƒ（x）在x0的某一去心临域内有界是

存在的必要条件。

存在是ƒ（x）在x0的某一去心邻域内有界的充分条件。

即：

存在

ƒ（x）在x0的某一去心临域内有界

3.ƒ（x）当

时的右极限ƒ（x0+）及左极限ƒ（x0-）都存在且相等是

存在的充分必要条件。

4.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

（※）如出现sin∞或者cos∞。

做题时要配有说明。

（注：

y=arctanx为有界函数）

5.复合函数的极限运算法则：

6.β与α是等价无穷小的充分必要条件为

β=α+o（α）

7.间断点的类型：

第一类间断点为左右极限都存在的间断点；第二类间断点为左右极限至少有一个不存在的点。

（注：

找间断点找没有意义的点）

8.有界性与最大值最小值定理：

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

9.零点定理：

设函数ƒ（x）在闭区间[a,b]上连续，且ƒ（a）与ƒ（b）异号，那么在开区间至少存在一点ξ,使

ƒ（ξ）=0

10.介值定理：

设函数y=ƒ（x）在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，ƒ（a）=A及ƒ（b）=B。

。

那么，对于A与B之间的任意一个数，在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得ƒ（ξ）=C（a<ξ

11．

二、题型方法总结

1.求极限：

（※）第一步就是判断极限的类型。

特别要注意的是极限的条件。

共有8种不定式。

（Ⅰ）

型不定式求极限步骤：

a.因式分解，有理化消掉零因子。

b.变量代换

c.乘除运算利用等价无穷小

d.洛必达法则

（有些极限中带有积分的注意用此法）

e.泰勒公式（不常用）

补充：

等价无穷小公式当x→0时（※※）

sinx～xtanx～x（1-cosx）～

arcsinx～xarctanx～x

ln（1+x）～x（ex-1）～xloga（1+x）～

（ax-1）～xlna[（1+x）α-1]～αx

洛必达法则若函数

和

满足下列条件：

⑴

；

⑵在点a的某去心邻域内两者都可导，且

；

⑶

（

可为实数，也可为±∞）则

（Ⅱ）

型不定式求极限步骤

a.同除无穷大量

b.洛必达法则

注：

0·∞和∞-∞不定式可以转化为以上两种不定式。

重点是出现分母！

（Ⅲ）1∞型不定式求极限步骤

a.底数必须出现数字“1”，如果没有“1”则加“1”减“1”。

b.底数中除了“1”以外的数配倒数。

e之外的极限最好单独算。

运用的重要极限为：

计算此类问题的技巧：

先配出来，再写原式，要写过程，防止出错。

2.极限，连续，可导，间断点问题。

①某点何时有极限？

验证左右极限是否相等

②何时连续？

左极限=函数值，右极限=函数值，同时成立。

③何时可导？

连续，左导数=右导数

④间断点？

分母为零的点，左右极限都存在即第一类间断点，否则，第二类间断点。

三、本章补充知识点：

1.反三角函数图像

2.幂指函数的变换：

3.指数函数的特殊性：

对于

要注意。

第二章导数与微分

一、概念和求导题型

1.函数在一点处的导数：

①

②

2.导函数：

3.ƒ（x）在点x0可导是ƒ（x）在点x0连续的充分条件。

ƒ（x）在点x0连续是ƒ（x）在点x0可导的必要条件。

即：

如果函数y=ƒ（x）在点x处可导，则函数在该点必连续。

另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

4.函数ƒ（x）在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。

5.基本初等函数的导数公式（※※）

（tanx）＇＝sec2x（cotx）＇=-csc2x

（ax）＇=axlna（logax）＇=

（arcsinx）＇=

（arctanx）＇=

（注：

千万不要记混啊！

！

！

！

！

）

6.反函数的求导法则：

[ƒ-1（x）]＇=

7.高阶导数:

①一些基本初等函数n阶导数

②莱布尼茨公式：

（uv）（n） =u（n）v+nu（n-1）v＇+

u（n-2）v"+．．．+

u（n-k）v（k）+．．．+uv（n）

8.幂指函数的导数

①根据定义：

②对数求导法（另对于复杂的根式计算也可使用此法）

9.参数方程求导：

对于的求导法则为

（参数方程求导无论几阶导分母都为

）

10.函数的微分:

千万不要忘记dx

总结:

幂函数、三角函数、指数函数的导数仍分别为幂函数、三角函数、指数函数。

11.微分近似计算:

12.ƒ（x）在点x0可导是ƒ（x）在点x0可微的充分必要条件。

13.求单调区间时，单个区间全闭，多个区间注意不要重叠。

14.求最值：

先求极值点，后于端点值比较。

二、本章补充知识点

①关于“1”的等式：

（※※）

（※※）

②那些关于和or差公式：

③那些“完全”的公式

第三章微分中值定理与导数应用

一、重点概念及解题步骤

1.拉格朗日中值定理：

若函数

在区间

满足以下条件：

①在

上连续；②在

上可导则至少有一个

，使得

。

2.如果函数

在区间I上的导数恒为零，那么

在区间I上是一个常数。

3.泰勒公式：

1佩亚诺余项：

2拉格朗日余项：

3麦克劳林展开：

即令a=0

4.通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）

5.曲线的凹凸性与拐点：

①曲线凹凸性的定义

②凹凸性的判定（易忘）

③拐点定义：

连续曲线上凹凸的分界点成为曲线的的拐点。

④拐点的求法：

a.求出

的根

b.求出导数不存在的点

c.对于所求的点来判断两侧的凹凸性

d.看两侧符号，得出结论

6.函数的极值问题：

第二充分条件

设函数ƒ（x）在x0处具有二阶导数且ƒ‘（x）=0，ƒ‘’（ｘ）≠０那么

（1）当ƒ‘’（x0）<0时，函数ƒ（x）在x0处取得最大值；

（2）当ƒ‘’（x0）>0时，函数ƒ（x）在x0处取得最小值。

第四章不定积分

一、重要概念和公式

1.连续函数一定有原函数。

2.基本积分表中易忘公式：

3.换元积分法：

第一类换元法:

“凑”

第二类换元法三角代换去除

整体代换根号

4.补充积分公式：

5.分部积分法：

∫uv＇dx=uv-∫u＇vdx

6.有理函数的积分：

有理真分式

有理假分式

二、题型方法总结

1.计算不定积分思考步骤综述：

a.有理函数积分

b.第二类换元法

c.分部积分法

d.第一类换元法

2.第一类换元法中的规律：

1对于sin2k+1xcosnx或sinnxcos2k+1x（其中k∈N）型函数的积分，总可依次做变换u=cosx或u=sinx

2对于sin2kxcos2lx（k、l∈N），可降幂升角。

对于sinmx和cosmxm为奇数，提出一个凑微分

m为偶数，则降幂升角

3对于tannxsec2kx或tan2k-1xsecnx（k∈N+）可依次作变换u=tanx或u=secx

4利用三角函数的积化和差公式

3.第二类换元法：

a.注意辅助三角形的运用

b.注意定义域

c.用整体代换时的标准为唯一解

d.三角代换常见为根号下二次函数

4.分部积分法：

①凑微分的先后顺序：

三角函数幂函数对数函数

指数函数优于优于反三角函数

②对于

这类的积分要用两次分部积分。

同时两次分部积分中凑微分函数相同。

4.有理函数的积分的一般方法

1有理函数化成多项式与有理真分式之和-综合除法

2有理真分式化成简单分式之和

a.分解因式

b.待定系数法

3简单分式积分：

a.

b.

c.

（p2<4q）

当A=0时，分母配方

当A≠0时，凑分母导数

三、本章补充知识点

有关三角变换的公式

1.两角和差公式

2.积化和差公式

3.二倍角公式

第五章定积分

一、基本概念及重要公式

1.微积分基本公式之原函数存在定理的推论

例：

注：

极限问题出现积分变限函数，就考虑导数，利用洛必达法则。

2.牛顿-莱布尼茨公式：

若ƒ（x）在[a,b]上可积，且F（x）是ƒ（x）的一个在[a,b]上的原函数，则

。

3.定积分的换元法：

注意“三换”。

积分区间换，被积函数换，积分变量换

。

4.定积分的可加性：

5.奇、偶函数的定积分：

a.当为偶函数时,。

b.当为奇函数时,。

6.周期函数的定积分公式：

8.定积分的分部积分法：

二、计算不定积分的思考步骤

1.判断是瑕积分还是有界积分

2.对称区间（考虑是否为奇偶函数）

3.有理函数积分

4.无理函数积分

5.第二类换元法（根式）

6.分部积分（五大类初等函数乘积）

7.第一类换元法（凑微分）

第六章定积分的应用

一、定积分在几何上的应用

1.平面图形的面积

①判断X型区域orY型区域及计算公式

X型区域：

Y型区域：

X型区域和Y型区域判定：

在x轴上任取一点x，过该点作一条垂直于x轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为X型区域。

类似的，在y轴上任取一点y，过该点作一条垂直于y轴的直线去穿区域，与D的边界曲线之交点不多于两个，即一进一出，此区域为Y型区域。

2.极坐标下曲边扇形的面积公式：

3.空间立体的体积：

a.旋转体体积（绕坐标轴旋转）：

b.平行截面面积为已知的立体的体积：

4.平面图形的弧长：

a.直角坐标下曲线的弧长：

b．参数方程下曲线的弧长：

（已知）

b.极坐标方程下曲线的弧长：

（已知）

二、本章补充知识点

1.极坐标：

在极坐标中

。

2.参数方程：

圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ（θ∈[0，2π））（a,b）为圆心坐标，r为圆半径,θ为参数，（x,y）为经过点的坐标。

椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθ（θ∈[0，2π）），a为长半轴长，b为短半轴，θ为参数。

3.扇形计算公式：

弧长：

面积：

（注：

可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!

）