版高考物理二轮复习专题一力与运动第4讲万有引力定律及其应用学案.docx

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版高考物理二轮复习专题一力与运动第4讲万有引力定律及其应用学案

第4讲万有引力定律及其应用

主干知识体系

核心再现及学科素养

知识规律

（1）一条黄金代换：

GM＝gR2.

（2）两条基本思路．

①天体附近：

G＝mg.

②环绕卫星：

G＝m＝mrω2＝mr2.

（3）两类卫星．

①近地卫星：

G＝mg＝m.

②同步卫星：

G＝m（R＋h）2（T＝24h）．

（4）双星：

＝m1ω2r1＝m2ω2r2

r1＋r2＝L

思想方法

（1）物理思想：

估算的思想、物理模型的思想．

（2）物理方法：

放大法、假设法、近似法.

1．（2018·全国Ⅰ卷，20）（多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（　　）

A．质量之积B．质量之和

C．速率之和D．各自的自转角速度

BC　[两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

＝m1ω2r1①

＝m2ω2r2②

l＝r1＋r2③

由①②③式得＝ω2l，

所以m1＋m2＝，

质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得

v1＝ωr1④

v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω（r1＋r2）＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]

2．（2018·全国Ⅱ卷，16）2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　）

A．5×109kg/m2B．5×1012kg/m3

C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m3

C　[脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，

又知M＝ρ·πr3

整理得密度

ρ＝＝kg/m3

≈5.2×1015kg/m3.]

3．（2018·全国Ⅲ卷，15）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为（　　）

A．2∶1B．4∶1

C．8∶1D．16∶1

C　[由G＝mr知，＝，则两卫星＝.

因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.]

4．（2018·天津卷，6）（多选）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的（　　）

A．密度B．向心力的大小

C．离地高度D．线速度的大小

CD　[设人造地球卫星的周期为T，地球质量和半径分别为M、R，卫星的轨道半径为r，则在地球表面：

G＝mg，GM＝gR2①

对卫星：

根据万有引力提供向心力，有

G＝m2r②

联立①②式可求轨道半径r，而r＝R＋h，故可求得卫星离地高度．由v＝rω＝r，从而可求得卫星的线速度．

卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力Fn＝G也不能求出．故选项C、D正确．]

5．（2016·高考全国卷Ⅰ，17）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（　　）

A．1hB．4h

C．8hD．16h

B　[地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示．

卫星的轨道半径为r＝＝2R

由＝得＝.

解得T2≈4h．]

[考情分析]

■命题特点与趋势

1．近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难度一般中等；在考查内容上一般考查对描述天体运动参量间的关系、天体质量（密度）的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力．

2．从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律，仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题．

■解题要领

1．正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量和密度的估算方法，熟悉一些天体的运行常识．

2．结合牛顿第二定律、向心力公式和万有引力定律分析计算卫星运行及卫星变轨问题．

高频考点一　万有引力定律及天体质量和密度的求解

[备考策略]

1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.

2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.

（1）由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；

（2）若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；

（3）若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

[题组突破]

1－1.理论上已经证明：

质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示，一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是（　　）

A　[选A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处（x≤R）物体所受的引力为F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝＝＝∝，故选项A正确．]

1－2.（2018·湖北省麻城一中高考冲刺模拟）宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，它们的半径分别为RA和RB.两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行周期的平方（T2）的关系如图所示；T0为两颗行星近地卫星的周期，则（　　）

A．行星A的质量小于行星B的质量

B．行星A的密度小于行星B的密度

C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度

D．若两卫星轨道半径相等，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度

D　[A.根据万有引力提供向心力，有：

＝，解得T＝，对于环绕行星A表面运行的卫星，有：

T0＝，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T0＝，联立解得＝，由图知RA>RB，所以MA>MB，故A错误；B.A行星质量为：

MA＝ρA·πR，B行星的质量为：

MB＝ρB·πR，代入解得＝，解得ρA＝ρB，故B错误；C、行星的近地卫星的线速度

即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：

＝，解得

v＝＝＝R∝R，因为RA>RB，所以vA>vB，故C错误；D、根据＝ma知，a＝，由于MA>MB，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D正确；故选D.]

1－3.（2018·山东省潍坊市昌乐县二中高三下学期质检）已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为（　　）

A．1∶16B．16∶1C．4∶1D．1∶4

D　[根据mg＝m得，第一宇宙速度v＝，因为星球和地球的第一宇宙速度相同，表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地球半径的2倍，根据G＝mg知，M＝，知星球的质量是地球质量的2倍，根据ρ＝＝知，星球的平均密度与地球平均密度的比值为1∶4，故D正确，A、B、C错误．故选D.]

高频考点二　天体和卫星的运行

[备考策略]

1．熟记卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系

（1）由G＝m，得v＝，则r越大，v越小．

（2）由G＝mω2r，得ω＝，则r越大，ω越小．

（3）由G＝mr，得T＝2π，则r越大，T越大．

2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：

G＝m.

3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24h，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．

[命题视角]

考向1　卫星的a、v、ω、T与半径r的关系

例1　（多选）卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则（　　）

A．卫星A、B的运行周期的比值为＝

B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝

C．卫星A、B的运行加速度的比值为＝

D．卫星A、B至少经过时间t＝，两者再次相距最近

BD　[由地球对卫星的引力提供向心力G＝mr知T＝2π∝，而rA＝4rB，所以卫星A、B的运行周期的比值为＝，A项错误；同理，由G＝m得v＝∝，所以卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝，B项正确；由G＝ma得a＝∝，所以卫星A、B的运行加速度的比值为＝，C项错误；由T＝2π及地球表面引力等于重力大小G＝

mg知T＝2π，由于B为近地卫星，所以TB＝2π，当卫星A、B再次相距最近时，卫星B比卫星A多运行了一周，即t＝2π，联立可得t＝，D项正确．]

考向2　同步卫星的理解

例2　（2018·高考物理全真模拟二）已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量均匀的球体，半径为R，则地球的自转周期为（设地球表面的重力加速度为g）（　　）

A．地球的自转周期为T＝2π

B．地球的自转周期为T＝π

AC　[在北极FN1＝G，在赤道G－FN2＝mR，根据题意，有FN1－FN2＝ΔN，联立计算得出：

T＝2π，所以A正确的，B错误；万有引力提供同步卫星的向心力，则：

G＝m′，联立可得：

r3＝，又地球表面的重力加速度为g，则：

mg＝G，得：

r＝R，C正确，D错误；故选A、C.]

[归纳反思]

解答卫星问题的三个关键点

1．若卫星做圆周运动：

根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma分析，可得：

v＝∝、ω＝∝、T＝∝、a＝∝，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．

2．若卫星做椭圆运动：

根据开普勒行星运动定律分析求解．可根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期．

3．注意事项：

注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM＝gR2的灵活应用．

[题组突破]

2－1.（2018·山东省青岛市高三统一质检）2018年1月19日，以周总理命名的“淮安号”恩来星在甘肃酒泉卫星发射中心，搭乘长征－11号火箭顺利发射升空．“淮安号”恩来星在距离地面高度为535km的极地轨道上运行．已知地球同步卫星轨道高度约36000km，地球半径约6400km.下列说法正确的是（　　）

A．“淮安号”恩来星的运行速度小于7.9km/s

B．“淮安号”恩来星的运行角速度小于地球自转角速度

C．经估算，“淮安号”恩来星的运行周期约为1.6h

D．经估算，“淮安号”