高考立体几何文科大题及答案.docx

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高考立体几何文科大题及答案高考立体几何文科大题及答案高考立体几何大题及答案1.（2009全国卷文）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD2，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM=60。

（I）证明：

M是侧棱SC的中点；求二面角SAMB的大小。

2.（2009全国卷文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（）证明：

AB=AC（）设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小A1C1B1DEACB3.（2009浙江卷文）如图，DC平面ABC，EB/DC，ACBCEB2DC2，ACB120，P,Q分别为AE,AB的中点（I）证明：

PQ/平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值4.（2009北京卷文）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（）求证：

平面AEC平面PDB；（）当PD2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是AB、A1C的中点，点D1在BC上，A1DB1C11。

求证：

（1）EF平面ABC；

（2）平面AFD平面BB1C1C.16.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（）证明：

直线垂直且平分线段AD：

（）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。

7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2以BD的中点O为球心、BD为直径的球P面交PD于点M

（1）求证：

平面ABM平面PCD；

（2）求直线PC与平面ABM所成的角；M（3）求点O到平面ABM的距离DAOBC8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45（I）求证：

EF平面BCE；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：

PM平面BCE（III）求二面角FBDA的大小。

9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点，且DEa（01）.（）求证：

对任意的（0、1），都有ACBE:

（）若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=4,AA17,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEAE.（）证明：

平面1ADE平面ACC1A1;（）求直线AD1和平面ADE所成角的正弦值。

111.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若CD2，平面ABCD平面DCEF，求直线MN的长；（II）用反证法证明：

直线ME与BN是两条异面直线。

12.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45（I）求证：

EF平面BCE；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：

PM平面BCE（III）求二面角FBDA的大小。

13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，ACAA13，ABC=600.（）证明：

ABA1C；A1C1（）求二面角AA1CB的大小。

B1ACB14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90（）证明：

ABPC（）若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC体积。

15.（2009福建卷文）如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD（I）求证：

ABDE（）求三棱锥EABD的侧面积。

16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF中，ABDC，BAD，2CDAD2，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，FC3,ED7求：

（）直线AB到平面EFCD的距离；（）二面角FADE的平面角的正切值17.（2009年广东卷文）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图;

（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:

直线BD平面PEG参考答案1、【解析】（I）解法一：

作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，连ME、NB，则MN面ABCD，MEAB,NEAD2设MNx，则NCEBx,在RTMEB中，MBE60ME3x。

在RTMNE中由222MENEMN223xx2解得x1，从而1MNSDM为侧棱SC的中点M.2解法二:

过M作CD的平行线.（II）分析一:

利用三垂线定理求解。

在新教材中弱化了三垂线定理。

这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJCD交SD于J,作SHAJ交AJ于H,作HKAM交AM于K,则JMCD,JM面SAD,面SAD面MBA,SH面AMBSKH即为所求二面角的补角.法二：

利用二面角的定义。

在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GFAM，则GFB即为所求二面角.解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,0,2）,S（0,0,2）。

zSMCyDABx（）设M（0,a,b）（a0,b0），则BA（0,2,0）,BM（2,a2,b）,SM（0,a,b2），SC（0,2,2），由题得cosBA,BM12，即SM/SC2（a2）12（a22）2b22解之个方程组得a1,b1即M（0,1,1）2a2（b2）所以M是侧棱SC的中点。

2222法2：

设SMMC，则M（0,）,MB（2,）1111又oAB（0,2,0）,MB,AB60故oMBAB|MB|AB|cos60，即142（12）22）2（1，解得1，所以M是侧棱SC的中点。

（）由（）得M（0,1,1）,MA（2,1,1），又AS（2,0,2），AB（0,2,0），设n1（x1,y1,z1）,n2（x2,y2,z2）分别是平面SAM、MAB的法向量，则A0且nMA02即2x1y1z10且x2AS0nAB102x12z10y2分别令x1x2得z11,y11,y20,z22，即2n1（2,1,1）,n2（2,0,2），cosn1,n22022663二面角SAMB的大小6arccos。

32、解法一：

（）取BC中点F，连接EF，则EF12BB，从而EFDA。

1连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE。

又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

（）作AGBD，垂足为G，连接CG。

由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角。

由题设知，AGC=601.2设AC=2，则AG=。

又AB=2，BC=22，故AF=2。

3由ABADAGBD得2AD=2322.AD2，解得AD=2。

故AD=AF。

又ADAF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。

连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD。

连接CH，则ECH为B1C与平面BCD所成的角。

1因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=2BC=2，100.所以ECH=30，即B1C与平面BCD所成的角为30解法二：

（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz。

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B（1，0，2c）,E（112，b2，c）.于是DE=（12，b2，0），BC=（-1，b,0）.由DE平面BCC1知DEBC，DEBC=0，求得b=1，所以AB=AC。

（）设平面BCD的法向量AN（x,y,z）,则ANBC0,ANBD0.又BC=（-1，1，0），BD=（-1，0，c）,故xyxcz00令x=1,则y=1,z=1c,AN=（1,1,1c）.又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角ABDC为60知，AN，AC=60，故ANACANACcos60，求得c12于是AN（1，1，2），CB（1，1，2）1cosANCB11AN，CB，12ANCB1AN，CB601所以BC1与平面BCD所成的角为3013、（）证明：

连接DP,CQ，在ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，所以PQ/BE，21又DCBE/，所以PQ/DC，又PQ平面ACD，DC平面ACD，所以PQ/平面ACD2（）在ABC中，ACBC2,AQBQ，所以CQAB而DC平面ABC，EB/DC，所以EB平面ABC而EB平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以CQ平面ABE由（）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP/CQ所以DP平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，所以直线AD与平面ABE所成角是DAP2DC222在RtAPD中，ADAC215，DPCQ2sinCAQ1所以sinDAPDPAD15554、【解法1】（）四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.（）设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OE/PD，1OEPD，又PD底面ABCD，2OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，12OEPDABAO，22AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa,PDh,则Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,D0,0,0,P0,0,h，（）ACa,a,0,DP0,0,h,DBa,a,0，ACDP0,ACDB0，ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.（）当PD2AB且E为PB的中点时，112P0,0,2a,Ea,a,a，222设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，1122EAa,a,a,EO0,0,a，2222cosAEOEAEOEAEO22，AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.5、6、【解析】

（1）由于EA=ED且ED面ABCDEDEC点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.又ABCD是四方形线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EF都居线段AD的垂直平分线上.所以,直线EF垂直平分线段AD.

（2）连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分.设AD中点为M,在RtMEE中,由于ME=1,ME3EE2.VABCDE11422S四方形ABCDEE22333又VEBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC111222SEE22ABC3323多面体ABCDEF的体积为VEABCDVEBCF=227、解：

方法

（一）：

（1）证：

依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.zP（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，M由

（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上N的射影，DAy所以PNM就是PC与平面ABM所成的角，O且PNMPCDBPDtanPNMtanPCD22DCxC所求角为arctan22（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由

（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，PAAD4，PDAM，所以M为PD中点，DM22，则O点到平面ABM的距离等于2。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），P（0,0,4），B（2,0,0），C（2,4,0），D（0,4,0），M（0,2,2），设平面ABM的一个法向量n（x,y,z），由nAB,nAM可得：

2x0，令z1，2y2z0则y1，即n（0,1,1）.设所求角为，则sinPCnPCn223，所求角的大小为arcsin223.AOn（3）设所求距离为h，由O（1,2,0）,AO（1,2,0），得：

2hn8、【解析】解法一：

因为平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=A，B所以BC平面ABEF.所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即EFBE.因为BC平面ABCD,BE平面BCE,BCBE=B所以EF平面BCE6分（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN12ABPCPMNC为平行四边形,所以PMCN.CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,PM平面BCE.8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延长线于G,则FGEA.从而FG平面ABCD,作GHBD于H,连结FH,则由三垂线定理知BDFH.FHG为二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,AEF=45,AEF=90,FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=则FGAFsinFAG1在RtBGH中,GBH=45,BG=AB+AG=1+2=GHBGsinGBH3232224在RtFGH中,tanFHGG2H3二面角FBDA的大小为arctan2312分解法二:

因ABE等腰直角三角形，ABAE，所以AEAB又因为平面ABEF平面ABCDAB，所以AE平面ABCD，所以AEAD即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系,（I）设AB1，则AE1，B（0,1,0）,D（1,0,0）,E（0,0,1）,C（1,1,0）FAFE,AEF45，0AFE90，11从而F（0，）2211EF（0,），BE（0,1,1）,BC（1,0,0）2211于是EF0，EFBC0BE022EFBE,EFBCBE平面BCE，BC平面BCE，BCBEBEF平面BCE1111（II）M（0,0,）,P（1,0），从而PM（1,）2222111111于是PMEF（1,）（0,）00222244PMEF，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM平面BCE（III）设平面BDF的一个法向量为n，并设n1（x,y,z）1BD（1,1,0）,BF（0,3212）BDBF即yy012z0取y1，则x1，z3，从而n（1，1，3）1取平面ABDD的一个法向量为（0,0,1）n2cosn、n12n1n1n2n2311131111故二面角FBDA的大小为arccos311119、（）证发1：

连接BD，由底面是正方形可得ACBD。

SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.（II）解法1：

SD平面ABCD，平面，SDCD.又底面是正方形，DD，又AD=D，CD平面SAD。

过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=602在RtADE中，AD=a,DE=a，AE=a1。

于是，DF=ADDEAE2a1在RtCDF中，由cot60=DFCD21得21332，即33=3（0,1，解得=2210、解:

（）如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.而DEA1E，AA1A1EA1,所以DE平面ACCA.又DE平面11ADE，1故平面ADE平面ACC1A1.1（）解法1:

过点A作AF垂直A1E于点F,连接DF.由（）知，平面ADE平面ACC1A1，1所以AF平面A1DE,故ADF是直线AD和平面ADE所成的角。

因为DEACC1A1，1所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=23，AE=4-CE=4-12CD=3.又因为AA17，所以A1E=22AEAAAE1122（7）3=4,AFAEAA1AE17,sinADFAFAD218即直线AD和平面ADE所成角的正弦值为1218解法2:

如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A（2,0,0,）,A1（2,0,7）,D（-1,3,0）,E（-1,0,0）.易知AD=（-3，3，-7），DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0）.1r设n（x,y,z）是平面A1DE的一个法向量，则ruuvunDE3y0,ruuuvnAD3x3y7z0.1解得7xz,y0.3r故可取n（7,0,3）.于是ruurucosn,ADruurunADruuru=nAD37218423由此即知，直线AD和平面ADE所成角的正弦值为121811解（）取CD的中点G连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG2.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG.所以226MNMGNG6分（）假设直线ME与BN共面，.8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。

.12分12、【解析】解法一：

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