第1章 逻辑代数上命题演算.docx
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第1章逻辑代数上命题演算
第1章逻辑代数（上）：
命题演算
1.1逻辑联结词与命题公式
1.1.1逻辑联结词
否定词（negation）“并非”（not），用符号（或）表示。
设p表示一命题，那么p表示命题p的否定。
当p真时p假，而当p假时p真。
p读作“并非p”或“非p”。
用类似表1.1的真值表（truthtable）规定联结词的意义。
表1.1
p
p
0
1
1
0
合取词（conjunction）“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即当p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
合取词∧的意义和命题p∧q的真值状况可由表1.2来刻划。
表1.2
p
q
p∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
析取词（disjunction）“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”，“p或q”。
析取词∨的意义及复合命题p∨q的真值状况由表1.3描述。
表1.3
p
q
p∨q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
蕴涵词（implication）“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”，它常被称作条件命题。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，p→q，q→p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
蕴涵词→的意义及复合命题p→q的真值状况规定见表1.4。
表1.4
p
q
p→q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
双向蕴涵词（two-wayimplication）“当且仅当”（ifandonlyif），用符号«表示之。
设p，q为两命题，那么p«q表示命题“p当且仅当q”，“p与q等价”，即当p与q同真值时p«q为真，否则为假。
p«q读作“p双向蕴涵q”，“p当且仅当q”，“p等价于q”。
由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用，因而用第一种读法更好些。
双向蕴涵词的意义及p«q的真值状况由表1.5给出。
表1.5
p
q
pq
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1.1.2命题公式
定义1.1归纳定义命题公式（简称公式propositionformula）：
（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。
（2）如果A，B是命题公式，那么（A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（AB）也是命题公式。
（3）只有有限步引用条款
（1），
（2）所组成的符号串是命题公式。
定义1.2设公式A含有命题变元p1，p2，…，pn（有时用A（p1，p2，…，pn）表示这一状况），称p1，p2，…，pn每一取值状况为一个指派（assignments），用希腊字母，等表示，当A对取值状况为真时，称指派弄真A，或是A的弄真指派，记为（A）=1；反之称指派弄假A，或是A的弄假指派，记为（A）=0。
1.1.3语句形式化
将自然语言表述的命题“翻译”成命题公式，常称为语句形式化。
语句形式化要注意以下几个方面：
●要善于确定原子命题，不要把一个概念硬拆成几个概念，例如“弟兄”是一个概念，不要拆成“弟”和“兄”、“我和他是弟兄”是一个原子命题。
●要注意语句的语用，不同的语用有不同的逻辑含义。
例如“狗急跳墙”可能说的是一个规律，也可能说的是一个现象。
●要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略）。
例如“风雨无阻，我去北京”一句，可理解为“不管是否刮风、是否下雨我都去北京”。
●否定词的位置要放准确。
●需要的括号不能省略；而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。
●注意“只要，就”“只有，才”的正确理解。
因果关系也常常用蕴涵词来表示，这一点是有争议的。
●语句的形式化的结果未必是唯一的。
练习1.1题解
1、选择题
（1）设P:
我将去镇上，Q:
我有时间。
命题“我将去镇上，仅当我有时间”符号化为（）
A．P→Q；B.Q→P；C.P↔Q；D.Q∨
P.。
【答案】：
A
（2）设P:
张三可以做这件事，Q李四可以做这件事。
命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（）
A．P∨Q；B.P∨
Q；C.P
↔Q；D.（
P∨
Q）
【答案】：
A
（3）设P:
我们划船，Q:
我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）
A．
P∧
Q；B.
P∨
Q；C.
（P↔Q）；D.P↔
Q
【答案】：
B
（4）下列语句中哪个是真命题（）
A．我正在说谎
B.如果1+2=3，那么雪是黑的
C.如果1+2=5，那么雪是黑的
D.严禁吸烟
【答案】：
C
（5）
P→Q的逆命题是（）
A.Q→
PB.P→
QC.
Q→
PD.
P→
Q
【答案】：
A
（6）下面哪一个命题是命题“2是偶数或3是负数”的否定（）
A．2是偶数或3不是负数
B.2是奇数或3不是负数
C.2不是偶数且3不是负数
D.2是奇数且3不是负数
【答案】：
C
2、填空题
（1）下列句子中，是命题的有.
（a）我是教师。
（b）禁止吸烟。
（c）蚊子是鸟类动物。
（d）上课去！
【答案】：
（a），（c）
（2）设P：
我生病，Q：
我去学校
（a）命题“我虽然生病但我仍去学校”可符号化为。
（b）命题“只有我生病的时候，我才不去学校”可符号化为。
（c）命题“只要我生病，我就不去学校”可符号化为。
（d）命题“当且仅当我生病，我才不去学校”可符号化为。
【答案】：
（a）P∧Q；（b）.
Q→P；（c）P→
Q；（d）P↔
Q
（3）“a≥0”表示a>0a=0；“a是非负实数”表示a≥0a是实数（在空格中填上适当的命题联结词）。
【答案】：
∨；∧
（4）在空格中填上表（表1.6）各列所定义的命题联结词：
表1.6
PQ
PQ
PQ
00
1
1
01
1
0
10
0
0
11
1
1
【答案】：
→；↔
（5）P，Q为两个命题，当且仅当时，P→Q的真值为0。
【答案】：
P真且Q假
（6）公式P→Q的否命题为，逆否命题为。
【答案】：
﹁P→﹁Q；﹁Q→﹁P
3．将下列命题形式化：
（1）你是博士，但我是硕士。
【答案】：
可表示为（p∧q），其中p：
你是博士；q：
我是硕士
（2）我今天或明天去泰山的说法是谣传。
【答案】：
可表示为（p∨q），其中p：
我今天去泰山；q：
我明天去泰山
（3）如果买不到飞机票，我不去海南岛。
【答案】：
可表示为p→q，其中，p：
我买到飞机票，q：
我去海南岛
（4）只要他出门，他必买书，不管他带的钱多不多。
【答案】：
可表示为（p∧q→r）∧（p∧q→r）或q→r，其中p：
他带的钱多，q：
他出门，r：
他买书。
（5）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。
【答案】：
可表示为（p∨q）↔r，其中p：
你陪伴我，q：
你代我雇车，r：
我去
（6）只要充分考虑一切论证，就可得到正确见解；必须充分考虑一切论证，才能得到正确见解。
【答案】：
可表示为（p→q）∧（q→p）或pq，其中p：
你充分考虑了一切论证，q：
你得到了正确见解
（7）除非你是成年人，否则只要你身高不超过1米3，就能到儿童游乐场玩耍。
r↔（s→t），其中r：
你是成年人，s：
你身高超过1米3，t:
你到儿童游乐场玩耍
（8）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。
【答案】：
可表示为（q→p）→q，其中p：
我懂得希腊文，q：
我了解柏拉图
（9）侈而惰者贫，而力而俭者富。
（韩非：
《韩非子显学》）
【答案】：
可表示为（（p∧q）→r）∧（（p∧q）→r），其中p：
你奢侈，q：
你懒惰，r：
你贫困
（10）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
（荀况：
《荀子劝学》）
【答案】：
可表示为（p→q）∧（s→r）∧（m∧n→o）∧（m∧n→v），其中p：
骐骥一跃，q：
骐骥行十步，r：
驽马行千里，s：
驽马不断奔跑，m：
你雕刻，n：
你放弃，o：
你将朽木折断，v：
你将金石雕刻
4．根据命题公式的定义和括号省略的约定，判定下列符号串是否为公式，若是，请给出它的真值表，并请注意这些真值表的特点（p,q,r,s为原子命题）：
（1）（p）
【答案】：
（p）不是公式
（2）（p∨qr）→s
【答案】：
（p∨qr）→s不是公式
（3）（p∨q）→p
【答案】：
（p∨q）→p是公式，其真值表如表1.7所示：
表1.7
p
q
p∨q
（p∨q）→p
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
（4）p→（p∨q）
【答案】：
p→（p∨q）是公式，其真值表如表1.8所示（恒真）：
表1.8
p
q
p∨q
p→（p∨q）
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
（5）p∧（p→q）→q
【答案】：
p∧（p→q）→q是公式，其真值表如表1.9所示（恒真）：
表1.9
p
q
p→q
p∧（p→q）
p∧（p→q）→q
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
（6）p∧（p→q）∧（p→q）
【答案】：
p∧（p→q）∧（p→q）是公式，其真值表如表1.10所示（恒假）：
表1.10
p
q
┐q
p→q
p∧（p→q）
p→┐q
p∧（p→q）∧（p→q）
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
（7）（p∨q）q∧p
【答案】：
（p∨q）q∧p是公式，其真值表如表1.11所示（恒真）：
表1.11
p
q
p
q
p∨q
（p∨q）
q∧p
（p→q）（q→p）
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
（8）p∨q（p→q）
【答案】：
p∨q（p→q）是公式，其真值表如表1.12所示（恒真）：
表1.12
p
q
p
p∨q
p→q
p∨q（p→q）
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
（9）（p→q）∧（q→r）→（p→r）
【答案】：
（p→q）∧（q→r）→（p→r）是公式，其真值表如表1.13所示（恒真）：
表1.13
p
q
r
p→q
q→r
p→r
（p→q）∧（q→r）
（p→q）∧（q→r）→（p→r）
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
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1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（10）（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）
【答案】：
（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）是公式，其真值表如表1.14所示（恒真）：
表1.14
p
q
r
p∨q
p∨q→r
p→r
q→r
（p→r）∧（q→r）
（p∨q→r）（p→r）∧（q→r）
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
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1
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0
1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5．给出弄真下列命题公式的指派：
（1）（（p→q）∧q）→┐p
【答案】：
弄真指派有（0,0），（0,1），（1,0）
（2）（（p→q）→r）→（（q→p）→r）
【答案】：
弄真指派有（0,0,0），（0,0,1），（0,1,0），（0,1,1），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）
（3）（（pq）→r）→（（q→p）r）
【答案】：
弄真指派有（0,0,0），（0,0,1），（0,1,0），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）
（4）（（p∨q）∧r）→（r→p）
【答案】：
弄真指派有（0,0,0），（0,1,0），（0,1,1），（1,0,0），（1,0,1），（1,1,0），（1,1,1）
1.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
1.2.1重言式
定义1.3如果对命题公式A中命题变元的一切指派均弄真A，那么，称A为重言式（tautology）；重言式又称永真式；如果至少有一个这样的指派弄真A，那么，称A为可满足式（satisfactableformula），否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。
1.2.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
定义1.4当命题公式AB为永真式时，称A逻辑等价于B，记为A┝┥B，它又称为逻辑等价式（logicallyequivalent）。
以下是一些重要的逻辑等价式，其中A，B，C表示任意命题公式：
E1A┝┥A双重否定律
E2A∨A┝┥A，A∧A┝┥A幂等律
E3A∨B┝┥B∨A，A∧B┝┥B∧A交换律
E4（A∨B）∨C┝┥A∨（B∨C）结合律
（A∧B）∧C┝┥A∧（B∧C）
E5A∧（B∨C）┝┥（A∧B）∨（A∧C）分配律
A∨（B∧C）┝┥（A∨B）∧（A∨C）
E6（A∨B）┝┥A∧B德摩根律
（A∧B）┝┥A∨B
E7A∨（A∧B）┝┥A吸收律
A∧（A∨B）┝┥A
E8A→B┝┥A∨B
E9AB┝┥（A→B）∧（B→A）
E10A∨t┝┥t，A∧f┝┥f
E11A∨f┝┥A，A∧t┝┥A
E12A∨A┝┥t，A∧A┝┥f
E13t┝┥f,f┝┥t
E14A∧B→C┝┥A→（B→C）
E15A∨B→C┝┥（A→C）∧（B→C）
E16A→B┝┥B→A
E17（A→B）∧（A→B）┝┥A
E18AB┝┥（A∧B）∨（A∧B）
定义1.5当命题公式A→B为永真式时，称A逻辑蕴涵B，记为A┝B，它又称为逻辑蕴涵式（logicallyimplication）。
一些十分重要的逻辑蕴涵式：
I1A┝A∨B，B┝A∨B
I2A∧B┝A，A∧B┝B
I3B┝A→B
I4A∧（A→B）┝B
I5（A→B）∧B┝A
I6A∧（A∨B）┝B，B∧（A∨B）┝A
I7（A→B）∧（B→C）┝A→C
I8（A→B）∧（C→D）┝（A∧C）→（B∧D）
I9（AB）∧（BC）┝AC
I10A┝t；f┝A
逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。
定理1.1对任意命题公式A，B，C，A'，B'，
（1）A┝┥B当且仅当┝AB
（2）A┝B当且仅当┝A→B
（3）若A┝┥B，则B┝┥A
（4）若A┝┥B，B┝┥C，则A┝┥C
（5）若A┝B，则┐B┝┐A
（6）若A┝B，B┝C，则A┝C
（7）若A┝B，A┝┥A'，B┝┥B'，则A'┝B'
定理1.2设A为永真式，p为A中命题变元，A（B/p）表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式（称为A的一个代入实例），那么A（B/p）亦为永真式。
定理1.2常被称为代入原理（ruleofsubstitution），简记为RS
定理1.3设A为一命题公式，C为A的子公式，且C┝┥D。
若将A中子公式C的某些（未必全部）出现替换为D后得到的公式记为B，那么A┝┥B。
定理1.3常被称为替换原理（ruleofreplacement）简记为RR。
请注意RS与RR的区别，详见表1.15。
表1.15
代入原理RS
替换原理RR
使用对象
任意永真式
任一命题公式
被代换对象
任一命题变元
任一子公式
代换对象
任一命题公式
任一与代换对象等价的命题公式
代换方式
代换同一命题变元的所有出现
代换子公式的某些出现
代换结果
仍为永真式
与原公式等价
当然，证明逻辑蕴涵式A┝B不成立的方法只有一个，那就是：
找出一个指派使得A为真，却使B为假。
证明逻辑等价式A┝┥B不成立的方法是：
证明A┝B不成立或者证明B┝A不成立。
推而广之，为证┝B（为公式集合）不成立，只要找出一个指派使得中所有公式为真，却使B为假。
1.2.3对偶原理
定义1.6设公式A仅含联结词，∧，∨，A*为将A中符号∧，∨，t，f分别改换为∨，∧，f，t后所得的公式，那么称A*为A的对偶（dual）。
下面两定理所描述的事实常称为对偶原理。
定理1.4设公式A中仅含命题变元p1,…,pn，及联结词，∧，∨，那么
A┝┥A*（p1／p1，…，pn／pn）
这里，A*（p1／p1，…，pn／pn）表示在A*中对p1,…,pn分别作代入p1,…,pn后所得的公式。
定理1.5设A，B为仅含联结词，∧，∨和命题变元p1,…,pn的命题公式，且满足A┝B，那么有B*┝A*。
进而当A┝┥B时有A*┝┥B*。
定义1.7B*┝A*，A*┝┥B*分别称为A┝B和A┝┥B的对偶式。
1.2.4应用逻辑
命题逻辑的相关知识，特别是逻辑等价式和逻辑蕴含式所反映的逻辑思维规律，如，排中律、矛盾律、双重否定律、德摩根律等，是人们逻辑推理的基础，在逻辑训练和实际生活中有十分广泛的应用。
练习1.2题解
1．选择题
（1）K是重言式，那么K的否定是（）
A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.不能确定
【答案】：
B
（2）K不是重言式，那么它是（）
A.永假式B.矛盾式C.可满足式D.不能确定
【答案】：
C
（3）命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）
A．矛盾式B.可满足式C.重言式D.不能确定
【答案】：
C
（4）命题公式（P∧（P∨Q））∧Q是（）
A．矛盾式B.可满足式C.重言式D.不能确定
【答案】：
B
（5）如果P→Q为真时我们称命题P强于Q，那么最强的命题是（），最弱的命题是（）。
A．永假式B.可满足式C.永真式D.不能确定
【答案】：
A，C
2．填空题
（1）两个重言式的析取是，一个重言式与一个矛盾式的析取是。
两个重言式的合取是，一个重言式与一个矛盾式的合取是。
一个重言式蕴涵一个矛盾式的是，一个矛盾式蕴涵一个重言式的是。
【答案】：
重言式，重言式，重言式，矛盾式，矛盾式，重言式
（2）在下列各式中，是永真式的有。
（a）（P∧（P→Q））→Q
（b）P→（P∨Q）
（c）Q→（P∧Q）
（d）（﹁P∧（P∨Q））→Q
（e）（P→Q）→Q
【答案】：
（a），（b），（d）
（3）化简下列各式：
（a）（﹁P∧Q）∨（﹁P∧﹁Q）可化简为。
（b）Q→（P∨（P∧Q））可化简为。
（c）（（﹁P∨Q）↔（Q∨﹁P））∧P可化简为。
【答案】：
（a）﹁P；（b）Q→P；（c）P
（4）公式（P∨Q）→R的只含联结词
，∧的等价式为，它的对偶式为。
【答案】：
（
（
P∧
Q）∧
R）；
（P∧Q）∧R
3．试判定以下各式是否为重言式：
（1）（p→q）→（q→p）
【答案】：
否
（2）﹁p→（p→q）
【答案】：
是
（3）q→（p→q）
【答案】：
是
（4）p∧q→（pq）
【答案】：
是
（5）（p→q）∨（r→q）→（（p∨r）→q）
【答案】：
否
（6）（p→q）∨（r→s）→（（p∨r）→（q∨s））
【答案】：
否
4．试用真值表验证E6，E8，E15，E17。
（1）【答案】：
E6﹁（A∨B）┝┥﹁A∧﹁B的真值表如表1.16所示：
表1.16
A
B
A∨B
﹁（A∨B）
﹁A
﹁B
﹁A∧﹁B
﹁（A∨B）﹁A∧﹁B
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
﹁（A∧B）┝┥﹁A∨﹁B的真值表如表1.17所示：
表1.17
A
B
A∧B
﹁（A∧B）
﹁A
﹁B
﹁A∨﹁B
﹁（A∧B）﹁A∨﹁B
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
（2）【答案】：
E8A→B┝┥﹁A∨B的真值表如表1.18所示：
表1.18
A
B
A→B
﹁A
﹁A∨B
A→B﹁A∨B
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
（3）【答案】：
E15A∨B→C┝┥（A→C）∧（B→C）的真值表如表1.19所示：
表1.19
A
B
C
A∨B
A∨B→C
A→C
B→C
（A→C）∧（B→C）
（A∨B→C）（A→C）∧（B→C）
0
0
0
0
1
1
1
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