高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修I.docx

高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修I.docx

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高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修I

2019-2020年高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修（I）

一、选择题

1．【北京通州潞河中学xx高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（）.

A.B.

C.D.

【答案】A

点睛：

求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：

直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

（4）代入（相关点）法：

动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程

2．【云南省昆明一中xx届高三第二次月考】已知点，，动点满足，则点的轨迹为（）

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

【答案】B

【解析】点的坐标为，则

，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．

3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二上学期第8周周考】设A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是（　　）

A.（x－1）2＋y2＝4B.（x－1）2＋y2＝2C.y2＝2xD.y2＝－2x

【答案】B

【解析】设圆（x－1）2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是（x－1）2＋y2＝2，选B.

点睛：

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：

直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：

根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：

利用圆的几何性质列方程．

④代入法：

找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

4．【四川省达州市高级中学高xx级零诊】若方程C：

（是常数）则下列结论正确的是（）

A.，方程C表示椭圆B.，方程C表示双曲线

C.，方程C表示椭圆D.，方程C表示抛物线

【答案】B

∵不论取何值，方程C：

中没有一次项方程不能表示抛物线，故D项不正确

综上所述，可得B为正确答案

故选B

5．【江西师大附中xx学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

A.B.C.D.

【答案】B

点睛：

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：

直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：

根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：

利用圆的几何性质列方程．

④代入法：

找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

二、解答题

6．【xx学年贵州省遵义市航天高级中学高三（上）10月月考】已知点P是圆F1：

（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点G（0，）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）

（2）在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

【解析】试题分析：

（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得，即．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．

（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立

可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

则+=，=，

假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，

则，即．

∵，

∴=+=+

∴，解得m=﹣1．

因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

点睛：

本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等.

7．【山西实验中学、南海桂城中学xx届高三上学期联考】设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.

（1）求点的轨迹方程；

（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方，，求的范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；

（2）点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.

方法一：

设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，

因为点的坐标为在点的轨迹上，所以

得

，

因为，，

.

所以解得.

得，代入

（1）得

.

因为，，

.

所以解得.

代入

（1）得

，

，

，，

.

所以解得.

方法四：

设点的坐标为，点的坐标分别为

直线的斜率，直线的斜率

由得

所以

（1）

直线的斜率，直线的斜率

由得

.

所以解得.

点睛：

本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．

8．【北京昌平一中xx学年高二上学期期中】已知点的坐标为，圆的方程为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且．

（1）求点的轨迹方程．

（2）过点作圆的两条切线，，分别与圆相切于点，，求直线的方程，并判断直线与点所在曲线的位置关系．

【答案】

（1）

（2），相交

试题解析：

（1）设，点的坐标为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且，则点为，的中点，所以得代入圆的方程

．

（2）过点作圆的两条切线，，分别与圆相切于点，，则，则，设圆以为圆心，以为半径，

，∴，

∴

．则EF为圆与圆的公共弦，

联立，，作差得直线EF方程

∴，，∴相交．

点睛：

本题主要考查了直线与圆的方程的应用，第一问求轨迹的方程是相关点法，设所求点的坐标为，找出所求点与已知点的等量关系，借助已知点所满足的方程求出所求，此外还有定义法，直接法，参数法.

9．【云南省德宏州芒市第一中学xx学年高二上学期期中】已知圆C：

为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为M.若点P运动到（1,3）处，求此时切线；

求满足条件的点P的轨迹方程.

【答案】

（1）或；

（2）

【解析】试题分析：

（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；

（2）设出P点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.

（2）设,则

，

，由得：

，

化简得：

点睛：

本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于的关系，化简即可求出轨迹方程.

10．【北京市西城鲁迅中学xx学年高二上学期期中】两点，，曲线上的动点满足．

（Ⅰ）求曲线的方程．

（Ⅱ）曲线上是否存在点，使得？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】

（1）

（2）存在和

【解析】试题分析：

（1）根据椭圆定义判断并确定基本量，写出其标准方程

（2）设点坐标，利用向量数量积得点坐标关系式，再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标

（Ⅱ）假设存在点，

∵，，

∴，

，

∴

．

∴，

，

∴存在和，

满足条件．

11．【云南省昆明一中xx届高三一模】已知动点满足：

.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：

直线恒过定点，并求该定点的坐标.

【答案】

（1）；

（2）直线过定点，证明见解析.

试题解析：

（1）由已知，动点到点，的距离之和为，

且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，

所以，动点的轨迹的方程：

.

12．【湖北省沙市中学xx学年高二上学期第三次双周考】已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为，D是AB的中点．

（1）求动点D的轨迹C的方程；

（2）若过点（1,0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，当|PQ|＝3时，求直线l的方程。

【答案】

（1）x2＋y2＝3.

（2）.

【解析】试题分析：

（1）设A（a，a），B（b，－b）,根据AB的长为2得（a－b）2＋（a＋b）2＝12，再根据D是AB的中点得a－b=2y,a+b=2x,代入化简可得点D的轨迹C的方程

（2）设直线点斜式方程，根据垂径定理列式解斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意

试题解析：

解：

（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，－b）,

∵ D是AB的中点，∴x＝，y＝，

∵|AB|＝2，∴（a－b）2＋（a＋b）2＝12，

∴（2y）2＋（2x）2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3.

（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1，），Q（1，－），

此时|PQ|＝2，不符合题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x－1），

由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，

由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝（x－1）.

13．【xx届云南省名校月考

（一）】已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在上，连结并延长至点，使得，设点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设为坐标原点，点，连结交于点，若直线的斜率与直线的斜率存在且不为零，证明:

这两条直线的斜率之比为定值.

【答案】

（1）；

（2）2

试题解析：

（1）设椭圆的长轴为，短轴长为，焦距为，则，所以.因为，所以

，又点在上，故，所以.设，则，化简得.所以.

（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，，所以.因为，则，同理，当时，

14．【云南省昆明一中xx届高三第二次月考】已知点在圆上，的坐标分别为，，线段的垂直平分线交线段于点

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.

【答案】

（1）

（2）矩形的面积的最大值为，此时，

四个点的坐标为：

，，，．

【解析】试题分析：

（1）由线段垂直平分线性质得，再根据椭圆定义确定轨迹，最后根据基本量求方程

（2）由题意得四边形为矩形，各点关于对称轴对称，因此可设点坐标，表示四边形的面积，再根据基本不等式求最值，最后求对应点坐标

所以

，

当且仅当，即，时，取“”，

所以矩形的面积的最大值为，此时，

四个点的坐标为：

，，，．

15．【河北省定州中学xx学年高二上学期第一次月考】如图，设与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，

（1）求点的轨迹曲线的方程：

（2）过定点的直线交曲线于两点，以三点（为坐标原点）为顶点作平行四边形,若点刚好在曲线上，求直线的方程．

【答案】

（1）;

（2）;

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设点M的坐标为M（x，y），结合点到直线距离公式可得，整理可得曲线C的方程为.

（Ⅱ）很明显直线斜率不存在时不满足题意，当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到关于斜率的方程，解方程可得，则直线的方程是.

（Ⅱ）当直线l2的斜率不存在时，显然不适合题意；

当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程：

联立方程：

，得，

设，，则，

，

即P,又点P刚好在曲线C上，∴

解得：

.

所以直线l2的方程为：

16．【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二12月月考】已知动点到定点的距离与到直线的距离之比为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于两点，且为线段中点，求直线的方程.

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）按照题目意思点到点的距离与点到线的距离成比例列出轨迹方程

（2）因为知道中点，可以采用点差法求得直线方程

试题解析：

到定点的距离与到直线的距离之比为

…（3分）点的轨迹的方程为.

注：

此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.

解法二：

设，，中点不在轴上，

.

设联立

直线的方程为。

点睛：

当题目的条件里给出了“某条直线与曲线相交两点，一点为中点”并给出点坐标时，往往可以运用点差法求出直线斜率，然后再求出直线方程。

将问题转化为其几何意义，先求斜率再求直线方程。

17．【江西科技学院附属中学xx学年上学期高二第一次月考】已知，，动点满足.设动点的轨迹为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？

若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

【答案】

（1）见解析

（2）.

【解析】试题分析：

（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是图形：

轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆；

（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过A，再利用PA⊥QA，求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

18．【湖北省黄冈中学xx届高三下学期高考三模】如图，在平面直角坐标系中，已知圆：

，点，点（），以为圆心，为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.

（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；

（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，记面积为，面积为，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（I）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．

（II）设直线l：

x=my-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），推导出，由

得

，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出的取值范围.

（2）由题可知，设直线：

，不妨设，

∵

，

∴，

∴.

19．【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二上学期期末】已知点是平面直角坐标系中的动点，，，在中，.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程及求的周长的取值范围；

（Ⅱ）直线与轨迹的另一交点为，求的取值范围.

【答案】

（1）点的轨迹方程为.的周长的取值范围

（2）

【解析】试题分析：

（Ⅰ） 利用直接法求点的轨迹的方程；利用特殊位置，即可求的周长的取值范围；

（Ⅱ） 直线与轨迹的另一交点为，

，利用韦达定理，即可求的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）由已知有

，

∴点的轨迹方程为.

∵在中，，则

的周长

∴的周长的取值范围.

∴的取值范围为.

【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系的运用，对学生的思维能力和计算能力要求较高

20．【广东省汕头市金山中学xx届高三上学期期中】在平面直角坐标系中，设点（1，0），直线:

，点在直线上移动，是线段与轴的交点,异于点R的点Q满足：

，.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线

的弦.，设.的中点分别为．

问直线是否经过某个定点？

如果是，求出该定点，

如果不是，说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）以直线恒过定点．

【解析】试题分析:

（1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．

（2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点．

（Ⅱ）设，，

由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为

则

（1）—

（2）得，即，

代入方程，解得．所以点Ｍ的坐标为．

同理可得：

的坐标为．

直线的斜率为，方程为

，整理得，

显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点．

2019-2020年高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修

一、选择题

1．【北京通州潞河中学xx高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（）.

A.B.

C.D.

【答案】A

本题选择A选项.

点睛：

求轨迹方程的常用方法

（1）直接法：

直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0.

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

（4）代入（相关点）法：

动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程

2．【云南省昆明一中xx届高三第二次月考】已知点，，动点满足，则点的轨迹为（）

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

【答案】B

【解析】点的坐标为，则

，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．

3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二上学期第8周周考】设A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是（　　）

A.（x－1）2＋y2＝4B.（x－1）2＋y2＝2C.y2＝2xD.y2＝－2x

【答案】B

【解析】设圆（x－1）2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是（x－1）2＋y2＝2，选B.

点睛：

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：

直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：

根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：

利用圆的几何性质列方程．

④代入法：

找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

4．【四川省达州市高级中学高xx级零诊】若方程C：

（是常数）则下列结论正确的是（）

A.，方程C表示椭圆B.，方程C表示双曲线

C.，方程C表示椭圆D.，方程C表示抛物线

【答案】B

∵不论取何值，方程C：

中没有一次项方程不能表示抛物线，故D项不正确

综上所述，可得B为正确答案

故选B

5．【江西师大附中xx学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

A.B.C.D.

【答案】B

点睛：

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：

直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：

根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：

利用圆的几何性质列方程．

④代入法：

找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

二、解答题

6．【xx学年贵州省遵义市航天高级中学高三（上）10月月考】已知点P是圆F1：

（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点G（0，）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）

（2）在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

【解析】试题分析：

（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得，即．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．

（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立

可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

则+=，=，

假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，

则，即．

∵，

∴=+=+

∴，解得m=﹣1．

因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

点睛：

本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等.

7．【山西实验中学、南海桂城中学xx届高三上学期联考】设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.

（1）求点的轨迹方程；

（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方，，求的范围.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；

（2）点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.

化简，得点的轨迹方程为

方法一：

设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，

因为点的坐标为在点的轨迹上，所以

所以解得.

方法二：

设点的坐标为，点的坐标分别为

直线的斜率，直线的斜率

由得

所以

（1）

又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以

得，代入

（1）得

.

因为，，

.

所以解得.

又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以

代入

（1）得

，

，

，，

.

所以解得.

方法四：

设点的坐标为，点的坐标分别为

直线的斜率，直线的斜率

由得

所以

（1）

方法五设点的坐标为，点的坐标分别为

直线的斜率，直线的斜率

由得

.

所以解得.

点睛：

本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．

8．【北京昌平一中xx学年高二上学期期中】已知点的坐标为，圆的方程为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且．

（1）求点的轨迹方程．

（2）过点作圆的两条切线，，分别与圆相切于点，，求直线的方程，并判断直线与点所在曲线的位置关系．

【答案】

（1）

（2），相交

试题解析：

（1）设，点的坐标为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且，则点为，的中点，所以得代入圆的方程

．

（2）过点作圆的两条切线，，分别