高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题学案理.docx

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高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题学案理

第4讲　导数的热点问题

[考情考向分析]　利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大．

热点一　利用导数证明不等式

用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．

例1　（2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考）已知函数f（x）＝ae2x－aex－xex（a≥0，e＝2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立．

（1）求实数a的值；

（2）证明：

f（x）存在唯一极大值点x0，且＋≤f（x0）<.

（1）解　由f（x）＝ex（aex－a－x）≥0对于x∈R恒成立，

设函数g（x）＝aex－a－x，

可得g（x）＝aex－a－x≥0对于x∈R恒成立，

∵g（0）＝0，∴g（x）≥g（0），

从而x＝0是g（x）的一个极小值点，

∵g′（x）＝aex－1，∴g′（0）＝a－1＝0，即a＝1.

当a＝1时，g（x）＝ex－1－x，g′（x）＝ex－1，

∵x∈（－∞，0）时，g′（x）<0，g（x）在（－∞，0）上单调递减，

x∈（0，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴g（x）≥g（0）＝0，故a＝1.

（2）证明　当a＝1时，f（x）＝e2x－ex－xex，

f′（x）＝ex（2ex－x－2）．

令h（x）＝2ex－x－2，则h′（x）＝2ex－1，

∴当x∈（－∞，－ln2）时，h′（x）<0，h（x）在（－∞，－ln2）上为减函数；

当x∈（－ln2，＋∞）时，h′（x）>0，h（x）在（－ln2，＋∞）上为增函数，

∵h（－1）<0，h（－2）>0，

∴在（－2，－1）上存在x＝x0满足h（x0）＝0，

∵h（x）在（－∞，－ln2）上为减函数，

∴当x∈（－∞，x0）时，h（x）>0，

即f′（x）>0，f（x）在（－∞，x0）上为增函数，

当x∈（x0，－ln2）时，h（x）<0，

即f′（x）<0，f（x）在（x0，－ln2）上为减函数，

当x∈（－ln2,0）时，h（x）

即f′（x）<0，f（x）在（－ln2,0）上为减函数，

当x∈（0，＋∞）时，h（x）>h（0）＝0，

即f′（x）>0，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－ln2，＋∞）上只有一个极小值点0，

综上可知，f（x）存在唯一的极大值点x0，

且x0∈（－2，－1）．

∵h（x0）＝0，∴2－x0－2＝0，

∴f（x0）＝－－x0＝2－（x0＋1）＝－，x0∈（－2，－1），

∵当x∈（－2，－1）时，－<，∴f（x0）<；

∵ln∈（－2，－1），

∴f（x0）≥f ＝＋；

综上知＋≤f（x0）<.

思维升华　用导数证明不等式的方法

（1）利用单调性：

若f（x）在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f（a）≤f（x）≤f（b）；②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1

（2）利用最值：

若f（x）在某个范围D内有最大值M（或最小值m），则对∀x∈D，有f（x）≤M（或f（x）≥m）．

（3）证明f（x）

跟踪演练1　（2018·荆州质检）已知函数f（x）＝ax－lnx.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若a∈，求证：

f（x）≥2ax－xeax－1.

（1）解　由题意得f′（x）＝a－＝（x>0），

①当a≤0时，则f′（x）<0在（0，＋∞）上恒成立，

∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减．

②当a>0时，

则当x∈时，f′（x）>0，f（x）单调递增，

当x∈时，f′（x）<0，f（x）单调递减．

综上当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；

当a>0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明　令g（x）＝f（x）－2ax＋xeax－1

＝xeax－1－ax－lnx，

则g′（x）＝eax－1＋axeax－1－a－

＝（ax＋1）＝（x>0），

设r（x）＝xeax－1－1（x>0），

则r′（x）＝（1＋ax）eax－1（x>0），

∵eax－1>0，

∴当x∈时，r′（x）>0，r（x）单调递增；

当x∈时，r′（x）<0，r（x）单调递减．

∴r（x）max＝r＝－≤0，

∴当0－时，g′（x）>0，

∴g（x）在上单调递减，在上单调递增，

∴g（x）min＝g，

设t＝－∈，

则g＝h（t）＝－lnt＋1（0

h′（t）＝－≤0，h（t）在上单调递减，

∴h（t）≥h（e2）＝0；

∴g（x）≥0，故f（x）≥2ax－xeax－1.

热点二　利用导数讨论方程根的个数

方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．

例2　（2018·衡水金卷分科综合卷）设函数f（x）＝ex－2a－ln（x＋a），a∈R，e为自然对数的底数．

（1）若a>0，且函数f（x）在区间[0，＋∞）内单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若0

解　

（1）∵函数f（x）在[0，＋∞）内单调递增，

∴f′（x）＝ex－≥0在[0，＋∞）内恒成立．

即a≥e－x－x在[0，＋∞）内恒成立．

记g（x）＝e－x－x，

则g′（x）＝－e－x－1<0恒成立，

∴g（x）在区间[0，＋∞）内单调递减，

∴g（x）≤g（0）＝1，∴a≥1，

即实数a的取值范围为[1，＋∞）．

（2）∵0－a），

记h（x）＝f′（x），则h′（x）＝ex＋>0，

知f′（x）在区间内单调递增．

又∵f′（0）＝1－<0，f′

（1）＝e－>0，

∴f′（x）在区间内存在唯一的零点x0，

即f′（x0）＝－＝0，

于是＝，x0＝－ln.

当－a

当x>x0时，f′（x）>0，f（x）单调递增．

∴f（x）min＝f（x0）＝－2a－ln

＝－2a＋x0＝x0＋a＋－3a≥2－3a，

当且仅当x0＋a＝1时，取等号．

由00，

∴f（x）min＝f（x0）>0，即函数f（x）没有零点．

思维升华　

（1）函数y＝f（x）－k的零点问题，可转化为函数y＝f（x）和直线y＝k的交点问题．

（2）研究函数y＝f（x）的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势．

跟踪演练2　（2018·全国Ⅱ）已知函数f（x）＝ex－ax2.

（1）若a＝1，证明：

当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，＋∞）上只有一个零点，求a.

（1）证明　当a＝1时，f（x）≥1等价于（x2＋1）e－x－1≤0.

设函数g（x）＝（x2＋1）e－x－1，

则g′（x）＝－（x2－2x＋1）·e－x＝－（x－1）2e－x.

当x≠1时，g′（x）<0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递减．

而g（0）＝0，故当x≥0时，g（x）≤0，即f（x）≥1.

（2）解　设函数h（x）＝1－ax2e－x.

f（x）在（0，＋∞）上只有一个零点等价于h（x）在（0，＋∞）上只有一个零点．

（ⅰ）当a≤0时，h（x）>0，h（x）没有零点；

（ⅱ）当a>0时，h′（x）＝ax（x－2）e－x.

当x∈（0,2）时，h′（x）<0；当x∈（2，＋∞）时，h′（x）>0.

所以h（x）在（0,2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增．

故h

（2）＝1－是h（x）在（0，＋∞）上的最小值．

①若h

（2）>0，即a<，h（x）在（0，＋∞）上没有零点．

②若h

（2）＝0，即a＝，h（x）在（0，＋∞）上只有一个零点．

③若h

（2）<0，即a>，

因为h（0）＝1，所以h（x）在（0,2）上有一个零点；

由

（1）知，当x>0时，ex>x2，所以h（4a）＝1－＝1－>1－＝1－>0，故h（x）在（2,4a）上有一个零点．

因此h（x）在（0，＋∞）上有两个零点．

综上，当f（x）在（0，＋∞）上只有一个零点时，a＝.

热点三　利用导数解决生活中的优化问题

生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．

例3　罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

（1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？

解　

（1）设需新建n个桥墩，

则（n＋1）x＝m，即n＝－1.

所以y＝f（x）＝32n＋（n＋1）（2＋）x

＝32＋（2＋）x

＝m＋2m－32（0

（2）当m＝96时，f（x）＝96＋160，

则f′（x）＝96＝（－64）．

令f′（x）＝0，得＝64，所以x＝16.

当0

当160，f（x）在区间（16,96）内为增函数，

所以f（x）在x＝16处取得最小值，此时n＝－1＝5.

答　需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小．

思维升华　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

（1）建模：

分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．

（2）求导：

求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0.

（3）求最值：

比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．

（4）作答：

回归实际问题作答．

跟踪演练3　图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB＝2x，BC＝y.

（1）写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；

（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

解　

（1）易知半圆CmD的半径为x，

故半圆CmD的弧长为πx.

所以4＝2x＋2y＋πx，

得y＝.

依题意知0

所以y＝.

（2）依题意，得T＝AB·S＝2x

＝8x2－（4＋3π）x3.

令T′＝16x－3（4＋3π）x2＝0，得x＝0或x＝.

因为0<<，

所以当00，T为关于x的增函数；

当

所以当x＝时凹槽的强度最大.

真题体验

（2017·全国Ⅰ）已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

解　

（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），

f′（x）＝2ae2x＋（a－2）ex－1＝（aex－1）（2ex＋1）．

（i）若a≤0，则f′（x）<0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减．

（ii）若a>0，则