八年级数学 常量和变量教案.docx

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八年级数学常量和变量教案

2019-2020年八年级数学常量和变量教案

〖教学目标〗

◆1、通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化。

◆2、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。

◆3、会在简单的过程中辨别常量和变量。

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：

常量和变量的概念。

◆教学难点：

本节范例由于学生对宇航中的一些量不熟悉，而且涉及一定的物理知识，是本节教学的难点。

〖教学过程〗

一、引言：

一辆长途客车从杭州驶向上海，全程哪些量不变？

哪些量在变？

当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的量，如物体运动中的速度、时间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；某城市一天中各时刻变化着的气温；某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中，有些量固定不变，有些量不断改变。

二、合作交流，探求新知：

1、请讨论下面的问题：

（1）圆的周长公式为，请取的一些不同的值，算出相应的的值：

cmcm

cmcm

cmcm

cmcm

……

在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变，哪些量不变？

（2）假设钟点工的工资标准为6元/时，设工作时数为t,应得工资额为m,则

=6

取一些不同的的值，求出相应的的值：

cm

cm

cm

cm

……

在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中，哪些量在改变？

哪些量不变？

设问：

一个量变化，具体地说是它的什么在变？

什么不变呢？

引导学生观察发现：

是量的数值变与不变。

2、变量与常量的概念形成：

在一个过程中，固定不变的量称为常量，如上面两题中，圆周率和钟点工的工资标准6元/时。

可以取不同数值的量称为变量，如上面两题中，半径和圆面积s，工作时数t和工资额都是变量。

又如购买同一种商品时，商品的单价就是常量，购买商品数量和相应的总价就是变量；某段河道一天中各时刻变化着的水位也是变量。

注意：

常量与变量必须存在与一个变化过程中。

判断一个量是常量还是变量，需这两个方面：

①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

3、巩固概念：

（1）向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆，①在这个变化过程中有哪些是变量？

②若面积用，半径用表示，则和的关系是什么？

是常量还是变量？

③若周长用C，半径用表示，则C和的关系是什么？

（2）在行程问题中，当汽车在匀速行驶的过程中，速度、行驶的时间和路程哪些是常量，哪些是变量？

若一辆汽车从甲地向乙地行驶，所需的时间、行驶速度和路程哪些是常量，哪些又是变量？

常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。

三、例题讲解：

出示例题（见书本第151页）

分析：

在这6分时间内，火星车运动的时间是变量；火星车在空气阻力的作用下，速度不断减小，速度是变量。

火星车与火星越来越接近，火星车所受火星的引力越来越大，也是变量。

火星着陆前6分时的位置和着陆点都是空间中确定的两个位置，两者之间的距离是一个确定的量，所以是一个常量。

最后完成例题中的“想一想”（先请学生单独考虑，再作讲解）

四、练习巩固：

课内练习1、2、

五、小结回顾，反思提高

1、常量和变量的概念。

2、常量与变量必须存在与一个变化过程中。

3、常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。

六、作业：

作业本

7.2认识函数

（1）

〖教学目标〗

◆1、通过实例，了解函数的概念．

◆2、了解函数的三种表示法：

（1）解析法；

（2）列表法；（3）图象法．．

◆3、理解函数值的概念．

◆4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：

函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．

◆教学难点：

用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．

〖教学过程〗

教学过程分以下6个环节：

创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业

1．创设情境

问题1小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：

工作时间（时）

1

5

10

15

20

…

…

报酬（元）

然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？

哪些是变量？

（常量16，变量、）

（2）能用的代数式来表示的值吗？

（能，=16）

教师指出：

在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．

问题2跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离（米）与助跑的速度（米／秒）有关．根据经验，跳远的距离（0<<10.5）．

然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？

哪些是变量？

（常量0.085，变量、）

（2）计算当分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离是多少（结果保留3个有效数字）?

（3）给定一个的值，你能求出相应的的值吗?

教师指出：

在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．

本环节设计的意图：

通过对两个学生熟悉的问题的讨论，既巩固了上一节课中常量、变量的概念，又为本节课学习函数的概念作好准备．

2．探究新知

（1）函数的概念

在第一个环节的基础上，教师归纳得出函数的概念：

一般地，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量．

例如，上面的问题1中，是的函数，是自变量；问题2中，是对的的函数，是自变量．

教师指出：

①函数概念的教学中，要着重引导学生分析问题中一对变量之间的依存关系

——当其中一个变量确定一个值，另一个变量也相应有一个确定的值．

②函数的本质是一种对应关系——映射，由于用映射来定义函数，对初中生来说是难以接受的，所以课本对函数概念采取了比较直观的描述．这种直观的描述也和传统教材有所区别：

描述中改变了过去那种“y都有唯一确定的值和它对应”的说法，即避开“对应”的意义．

③实际问题中的自变量往往受到条件的约束，它必须满足①代数式有意义；②符合实际．

如问题1中自变量表示一个月工作的时间，因此t不能取负数，也不能大于744；如问题2中自变量表示助跑的速度，它的取值范围为0<<10.5．

（2）函数的表示法

①解析法：

问题1、2中，=16和这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．

②列表法：

有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如表（图7-2）表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

平均气温（℃）

3.8

5.1

9.3

15.4

20.2

24.3

28.6

28.0

23.3

17.1

12.2

6.3

③图象法:

我们还可以用法来表示函数，例如图7-1中的图象就表示骑车时热量消耗（焦）与身体质量（千克）之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．

教师指出：

（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．

（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．

（3）函数值概念

与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．

若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．

例如对于函数=16，当=5时，把它代人函数解析式，得=16×5=80（元）．

=80叫做当自变量=5时的函数值．

由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．

若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如一年内某城市月份与平均气温的函数关系中，当=2时，函数值=5.1；当=10时，函数值=17.1．

若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗（焦）与身体质量（千克）之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？

如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点（50，0），这条直线与图象的交点P（50，399）的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399（焦）．

教师指出：

当函数用解析法表示时，函数值的概念与学生已经学过的代数式的值的概念几乎没有什么区别，所以课本没有对函数值的概念作重新定义，教学中可以增加一些求函数值的练习，使学生感悟函数值与代数式的值两个概念之间的关系．

3．应用新知

例1等腰△ABC的周长为20，底边BC长为，腰AB长为，求：

（1）关于的函数解析式；

（2）当腰长AB=7时，底边的长；

（3）当=11和=4时，函数值是多少？

答案：

（1）=20-2；

（2）腰长AB=7，即=7时，=6，所以底边长为6；（3）当=11和=4时，函数值不再有意义．

说明

（1）第1问中的函数解析式不能写成的形式，一定要把写成的代数式

（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5<<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当=11和=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量的值都不在相应的取值范围内，因此当=11和=4时，函数值不再有意义．

例2某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:

月用水量x（度）

0

12

x>18

收费标准y（元/度）

2.00

2.50

3.00

（1）y是x的函数吗？

为什么？

（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．

答案：

（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；

（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；

当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；

当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．

说明本例安排的目的两个：

①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，

即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y=2×12+6×2.5+3×20=99（元）．

例3下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：

（1）这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？

路程s可以看成t的函数吗？

（2）求当t=5分时的函数值？

（3）当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？

并说明它的实际意义？

（4）学校离家有多远？

小明放学骑自行车回家共用了几分钟？

答案：

（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；

（2）当t=5分时函数值为1km；

（3）当10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；

（4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟．

说明安排本例的主要目的是让学生体会当函数用图象法给出时函数值的求法．通过本例的教学，使学生体会函数图象是如何反映自变量与函数之间的关系的，进一步加深学生对函数概念的理解，体验数形结合的数学思想，为后面的一次函数的应用作好准备．

4．课堂练习

课本P155课内练习1，2

补充下图是表示某一个月的日平均温度变化的曲线，根据图象回答问题：

①这个曲线反映了哪两个变量之间的关系？

日平均温度T是x的函数吗？

②求当x=5,13,16,25时的函数值？

③这个月中最高与最低的日平均温度各是多少?

5．知识整理

师生可共同梳理知识点：

6．布置作业

课本作业题1，2，3，4，5．

7.2认识函数

（2）

〖教学目标〗

◆知识技能目标

1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；

3.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围.

◆过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；

2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：

求函数解析式是重点．

◆教学难点：

根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式（组）学生不易理解．

〖教学过程〗

一、创设情境

问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?

如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，你能写出y与x的函数关系式吗?

解如图能发现涂黑的格子成一条直线．

函数关系式为：

y＝10－x．

问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

解y与x的函数关系式：

y＝180－2x．

问题3如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式．

解y与x的函数关系式：

．

二、探究归纳

思考

（1）在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？

如果有，写出它的取值范围．

（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？

当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．

问题2，因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．

问题3，开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．

解

（1）问题1，自变量x的取值范围是：

1≤x≤9；

问题2，自变量x的取值范围是：

0＜x＜90；

问题3，自变量x的取值范围是：

0≤x≤10．

（2）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．　　

上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：

s＝60t，S＝πR2．

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．

三、实践应用

例1求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝3x－1；

（2）y＝2x2＋7；（3）；（4）．

分析用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在

（1），

（2）中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在（3）中，x＝－2时，没有意义；在（4）中，x＜2时，没有意义．

解

（1）x取值范围是任意实数；

（2）x取值范围是任意实数；

（3）x的取值范围是x≠－2；

（4）x的取值范围是x≥2．

归纳四个小题代表三类题型．

（1），

（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的分式；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式．

例2等腰三角形ABC的周长为10,底边长为y,腰AB长为x.求:

（1）y关于x的函数解析式；

（2）自变量x的取值范围；

（3）腰长AB=3时,底边的长.

分析

（1）问题中的x与y之间存在怎样的数量关系?

这种数量关系可以什么形式给出?

（2x+y=10）

（2）这个等式算不算函数解析式?

如果不算,应该对等式进行怎样的变形?

（3）结合实际,x与y应满足怎样的不等关系?

归纳

（1）在求函数解析式时,可以先得到函数与自变量之间的等式,然后解出函数关于自变量的函数解析式；

（2）在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑:

①代数式要有意义；②要符合实际.

例3如图，正方形EFGH内接于边长为1的正方形ABCD．设AE=x，试求正方形EFGH的面积y与x的关系，写出自变量x的取值范围，并求当x=时，正方形EFGH的面积．

解：

正方形EFGH的面积=大正方形的面积-4一个小三角形的面积，

则y与x之间的函数关系式为

（0

（0

当x＝时，

所以当x＝时，正方形EFGH的面积是．

例4求下列函数当x=2时的函数值：

（1）y=2x-5；　　　

（2）y=－3x2；

（3）；　　　（4）．

分析　函数值就是y的值，因此求函数值就是求代数式的值．

解

（1）当x=2时，y=2×2－5=－1；

（2）当x=2时，y=－3×22=－12；

（3）当x=2时，y==2；

（4）当x=2时，y==0．

例5游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水前存水936立方米,换水时打开排水孔,以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t时,游泳池内的存水量为Q立方米.

（1）求Q关于t的函数解析式和自变量t的取值范围；

（2）放水2时20分后，游泳池内还剩水多少立方米?

（3）放完游泳池内的水需要多少时间?

分析此题要先弄清楚放出的水量,剩余的水量和原存水量之间的关系.然后让学生直接得出函数解析式；第

（2）题是由自变量的值求函数值,可由学生自己完成；第（3）题则与第

（2）题相反，是已知函数值,求相应自变量的值,可化归为解方程.

四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

（1）要使函数的解析式有意义．

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：

跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

（1）一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm．求y和x间的关系式；

（2）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

（3）矩形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的关系式，并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积．

2.求下列函数中自变量x的取值范围：

（1）y＝－2x－5x2；（3）y＝x（x＋3）；

（3）；（4）．

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t（秒）滑下的距离s（米）由下式给出：

s＝10t＋2t2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？

4.当x＝2及x＝－3时，分别求出下列函数的函数值：

（1）y＝（x+1）（x－2）；

（2）y＝2x2－3x＋2；（3）．

六、作业布置

作业本和书本P158-159的作业题

7.3一次函数

（1）

〖教学目标〗

◆1、理解正比例函数、一次函数的概念。

◆2、会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的解析式。

◆3、会求一次函数的值。

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：

一次函数、正比例函数的概念和解析式。

◆教学难点：

例2的问题情境比较复杂，学生缺乏这方面的经验。

〖教学过程〗

比较下列各函数，它们有哪些共同特征？

提示：

比较所含的代数式均为整式，代数式中表示自变量的字母次数都为一次。

定义：

一般地，函数

叫做一次函数。

当时，一次函数就成为

叫做正比例函数，常数叫做比例系数。

强调：

（1）作为一次函数的解析式，其中中，哪些是常量，哪些是变量？

哪一个是自变量，哪一个是自变量的函数？

其中符合什么条件？

（2）在什么条件下，为正比例函数？

（3）对于一般的一次函数，它的自变量的取值范围是什么？

做一做：

下列函数中，哪些是一次函数？

哪些是正比例函数？

系数和常数项的值各为多少？

例1：

求出下列各题中与之间的关系，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数：

（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数与种植面积之间的关系。

（2）正方形周长与面积之间的关系。

（3）假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。

本钱与所存月数之间的关系。

此例是为了及时巩固一次函数、正比例函数的概念，相对比较容易，可以让学生自己完成。

解：

（1）因为每平方米种玉米6株，所以平方米能种玉米株。

得，是的一次函数，也是正比例函数。

（2）由正方形面积公式，得，不是的一次函数，也不是正比例函数。

（3）因为该种储蓄的月利率是0.16%，存月所得的利息为，所以本息和，是的一次函数，但不是的正比例函数。

练习：

1.已知若是的正比例函数，求的值。

2.已知是的一次函数，当时，；当时，

（1）求关于的一次函数关系式。

（2）求当时，的值。

例2：

按国家xx年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%，超过500元至xx元部分的税率为10%

（1）设全月应纳税所得额为元，且。

应纳个人所得税为元，求关于的函数解析式和自变量的取值范围。

（2）小明妈妈的工资为每月2600元，小聪妈妈的工资为每月2800元。

问她俩每月应纳个人所得税多少元？

提示：

此题较为复杂，而有关个人所得税的计算方法和一些专有名词学生可能很生疏。

所以讲解时，首先要帮助学生理解问题，对个人所得税，应纳税所得额这些名词的含义要予以说明。

尤其是根据累进税率计算个人所得税的方法，要举例说明。

例如，某人某月工资收入为2400元，则应纳税所得额为，应纳个人所得税为

。

讲解第

（2）题时，要提醒学生注意函数解析式中自变量的意义，表示的是工资中应纳税的部分，所以不能把题设中的工资额直接代入函数解析式计算个人所得税。

解：

（1）

所求的函数解析式为，自变量的取值范围为。

（2）小明妈妈的全月应纳税所得额为将代入函数解析式，得

小聪妈妈的全月应纳税所得额为将代入函数解析式，得

答：

小明妈妈每月应纳个人所得税155元，小聪妈妈每月应纳个人所得税175元。

练习：

教科书，1，2。

作业：

教科书A组，B组；作业本

（2）。

7.3一次函数

（2）

〖教学目标〗

◆1、知识与技能目标：

通过本节课学习，使学生进一步巩固一次函数的知识；掌握待定系数法的一般步骤，求一次函数的解析式；会用一次函数的知