高中数学 第三章 概率测评A 新人教A版必修3.docx

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高中数学第三章概率测评A新人教A版必修3

2019-2020年高中数学第三章概率测评A新人教A版必修3

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.抽查10件产品,设事件A:

至多有两件次品,则A的对立事件为（　　）

A.至多两件次品B.至多一件次品

C.至多两件正品D.至少两件正品

答案:

C

2.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为（　　）

A.0.005B.0.004C.0.001D.0.002

解析:

由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比,即=0.005.

答案:

A

3.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为（　　）

A.B.C.D.

解析:

设一个小正方形面积为1,则桌面面积为9,阴影面积为3.则所求概率为.

答案:

4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（　　）

A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7

解析:

摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.

答案:

C

5.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册自左到右或自右到左恰好为第1,2,3册的概率为（　　）

A.B.C.D.

解析:

按照自左到右的顺序,基本事件有:

（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,符合条件的有（1,2,3）和（3,2,1）两个事件,所以概率为.

答案:

B

6.若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为（　　）

A.B.C.D.

解析:

所有满足条件的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中大于40的有8个.

所以所求概率为.

答案:

C

7.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为（　　）

A.B.1-C.D.-1

解析:

要使函数有零点,则Δ=（2a）2-4（-b2+π2）≥0,a2+b2≥π2.

又因为-π≤a≤π,-π≤b≤π,

所以基本事件的范围是2π·2π=4π2,函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2-π3.

所以所求概率为=1-.

答案:

B

8.某人射击4枪,命中3枪,3枪中恰有2枪连中的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析:

设射击的4枪依次为a,b,c,d,命中3枪的情况有abc,abd,acd,bcd,其中恰有2枪连中的是abd,acd,所以所求概率为.

答案:

D

9.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（　　）

A.B.C.D.

解析:

设被污损的数字是x,则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90,[83+83+87+（90+x）+99]=,设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A,

则此时有90>,解得x<8,则事件A包含x=0,1,2,3,4,5,6,7,共8个基本事件,则P（A）=.

答案:

C

10.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为[10,15）,[15,20）,[20,25）,[25,30）,[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训,则这2位工人不在同一组的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析:

根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15）,[15,20）内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4,

设生产产品件数在[10,15）内的2人分别是A,B,设生产产品件数在[15,20）内的4人分别是C,D,E,F,

则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）,共15种.

2位工人不在同一组的结果有

（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,共8种.

则选取这2人不在同一组的概率为.

答案:

C

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上）

11.在区间[0,6]上随机取一个数x,则x∈[0,2]的概率为　　　　　. 

答案:

12.为了测算如图的阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点.已知恰有200个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是　　　　. 

解析:

设阴影部分的面积为S,向正方形内随机投掷1个点,落在阴影部分的概率的估计值是,

则,又正方形的面积是36,

则S=×36=9.

答案:

9

13.随机地向半圆0

解析:

如图可知,设基本事件表示半圆的面积,事件A为图中阴影部分的面积,则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比,即P（A）=.

答案:

14.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为n,方程组只有一组解的概率是　　　　　. 

解析:

由题意,当,即3m≠2n时方程组只有一解.

基本事件总数为36,满足3m=2n的基本事件有（2,3）,（4,6）共两个,故满足3m≠2n的基本事件数为34个.

故所求概率为P=.

答案:

15.在区间[0,1]中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率为　　　　　. 

解析:

设任取的两数分别为x,y,则要求x+y<的概率,即求直线y=-x与坐标轴围成的三角形的面积与边长为1的正方形面积的比,所以P=.

答案:

三、解答题（本大题共4小题,共25分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分6分）假设向三个相邻的敌方军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.

解:

设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,则P（A）=0.025,P（B）=P（C）=0.1.

又设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A∪B∪C,其中A、B、C是互斥事件,因为只投掷了一颗炸弹,不会同时炸中两个以上军火库,所以P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.025+0.1+0.1=0.225.

17.（本小题满分6分）有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.

（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局）,求甲获胜的概率;

（2）摸球方法与

（1）相同,若规定:

两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?

请说明理由.

解:

（1）用（x,y）（x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件空间为:

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,共16个.

设甲获胜的事件为A,则事件A包含的基本事件有:

（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,共有6个,则P（A）=.

（2）不公平.理由:

设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C,事件B所包含的基本事件有:

（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,共有4个,则P（B）=,

所以P（C）=1-P（B）=1-,

P（B）≠P（C）,所以这样规定不公平.

18.（本小题满分6分）为预防H1N1病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过）,公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如下表:

A组

B组

C组

疫苗有效

673

x

y

疫苗无效

77

90

z

已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.

（1）求x的值;

（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?

（3）已知y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率.

解:

（1）∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率为0.33,即=0.33,∴x=660.

（2）C组样本个数为y+z=2000-（673+77+660+90）=500,用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,应在C组抽取个数为360×=90（个）.

（3）设测试不能通过事件为M,C组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y,z）,由

（2）知y+z=500,且y,z∈N,基本事件有（465,35）,（466,34）,（467,33）,（468,32）,（469,31）,（470,30）,共6个.

若测试不能通过,则77+90+z>2000×（1-90%）,即z>33.

事件M包含的基本事件有（465,35）,（466,34）,共2个,则P（M）=.故不能通过测试的概率为.

19.（本小题满分7分）已知一条直线型街道的A,B两盏路灯之间的距离为120米,由于光线较暗,想在中间再随意安装两盏路灯C,D,顺序为A,C,D,B,求A与C,B与D之间的距离都不小于40米的概率.

解:

设A与C,B与D之间的距离分别为x米、y米,则所有可能的结果为

Ω={（x,y）|00,y>0}.

设A与C,B与D之间的距离都不小于40米为事件A',则事件A'的可能结果为

A'={（x,y）|x≥40,y≥40,0

如图所示,全部结果构成区域Ω为直线与两坐标轴所围成的△OEF,而事件A'所构成区域是三条直线x+y=120,x=40,y=40所夹中间的阴影部分.

于是根据几何概型公式,得到P（A'）=.

所以A与C,B与D之间的距离都不小于40米的概率为.

2019-2020年高中数学第三章概率测评B新人教A版必修3

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.（xx辽宁高考）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析:

所求概率为,故选B.

答案:

B

2.（xx陕西高考）从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析:

设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:

AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:

AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=,故选B.

答案:

B

3.（xx陕西高考）对一批产品的长度（单位:

毫米）进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25）上为一等品,在区间[15,20）和[25,30）上为二等品,在区间[10,15）和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是（　　）

A.0.09B.0.20

C.0.25D.0.45

解析:

由频率分布直方图知识可知:

在区间[15,20）和[25,30）上的概率为0.04×5+[1-（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45.

答案:

D

4.（xx湖南高考）在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析:

由几何概型的概率公式可得P（X≤1）=,故选B.

答案:

B

5.（xx湖北高考）随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则（　　）

A.p1

B.p2

C.p1

D.p3

解析:

由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.故选C.

答案:

C

6.（xx江西高考）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析:

从A,B中各任取一个数有（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,共6种情况,其中两个数之和为4的有（2,2）,（3,1）,故所求概率为.故选C.

答案:

C

7.（xx湖南高考）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=（　　）

A.B.

C.D.

解析:

如图,设AB=2x,AD=2y.

由于AB为最大边的概率是,则P在EF上运动满足条件,且DE=CF=x,

即AB=EB或AB=FA.

∴2x=,

即4x2=4y2+x2,

即x2=4y2,

∴.

∴.

又∵,故选D.

答案:

D

8.（xx安徽高考）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析:

五人录用三人共有10种不同方式,分别为:

{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.

其中含甲或乙的情况有9种,故选D.

答案:

D

9.（xx课标全国Ⅰ高考）从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析:

由题意知总事件数为6,且分别为（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.

答案:

B

10.（xx湖北高考）由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析:

如图,由题意知平面区域Ω1的面积=S△AOM=×2×2=2.

Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分,面积S阴=-S△ABC=2-×1×.

由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P=.故选D.

答案:

D

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上）

11.（xx课标全国Ⅰ高考）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为　　　　　. 

解析:

记两本数学书分别为a1,a2,语文书为b,则3本书一共有6种不同的排法:

a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:

a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为.

答案:

12.（xx年福建高考）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为　　　　　. 

解析:

由3a-1<0,得a<.

∵0≤a≤1,

∴0≤a<.

根据几何概型知所求概率为.

答案:

13.（xx广东高考）从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为　　　　. 

解析:

基本事件总数有10个,即（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（c,d）,（c,e）,（d,e）,其中含a的基本事件有（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=.

答案:

14.（xx浙江高考）在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是　　　　　. 

解析:

甲、乙两人各抽取1张,一共有3×2=6种等可能的结果,两人都中奖的结果有2×1=2种,由古典概型计算公式可得所求概率为P=.

答案:

15.（xx江苏高考）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是　　　　　. 

解析:

从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=.

答案:

三、解答题（本大题共4小题,共25分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分6分）（xx天津高考）某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.

（1）用表中字母列举出所有可能的结果;

（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.

解:

（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.

（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.

因此,事件M发生的概率P（M）=.

17.（本小题满分6分）（xx陕西高考）某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

赔付金额（元）

0

1000

2000

3000

4000

车辆数（辆）

500

130

100

150

120

（1）若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;

（2）在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.

解:

（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得

P（A）==0.15,

P（B）==0.12.

由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元,所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27.

（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆.

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24,

由频率估计概率得P（C）=0.24.

18.（本小题满分6分）（xx福建高考）根据世行xx年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:

行政区

区人口占城市人口比例

区人均GDP（单位:

美元）

A

25%

8000

B

30%

4000

C

15%

6000

D

10%

3000

E

20%

10000

（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;

（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.

解:

（1）设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为

=6400.

因为6400∈[4085,12616）,

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.

（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.

设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,

则事件M包含的基本事件是:

{A,C},{A,E},{C,E},共3个,

所以所求概率为P（M）=.

19.（本小题满分7分）（xx山东高考）海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量（单位:

件）如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C

数量

50

150

100

（1）求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;

（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.

解:

（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是,

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:

50×=1,150×=3,100×=2.

所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.

（2）设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:

A;B1,B2,B3;C1,C2.

则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:

{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.

每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.

记事件D:

“抽取的这2件商品来自相同地区”,

则事件D包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.

所以P（D）=,即这2件商品来自相同地区的概率为.